俯沖帶板內地震豎向位移譜阻尼修正系數模型研究

王本三，靳羽陽，劉名吉

（山東建筑大學土木工程學院，山東濟南 250000）

引言

國內外大多數抗震設計規范都給出水平向5%阻尼比絕對加速度或偽加速度規范設計反應譜［1－7］，而我國《核電廠抗震設計規范》（GB50267-97）［4］、歐洲抗規（EC8）［5］、美國抗規（FEMA P-750）［7］等也同時標定了豎向5%阻尼比設計反應譜。大多數的地震動衰減關系（GMPEs）也一般基于5%阻尼比水平，如ZHAO等［8］、POWER 等［9］、BOZORGNIA 等［10］和CAMPBELL 等［11］。然而隨著高層建筑與消能減震裝置的應用，不同阻尼比的結構日趨增多。現有規范通常采用阻尼修正系數（Damping Modification Factor，DMF）（定義為式（1）［1－7］，以位移譜為例）對其調整得到非5%阻尼比下的設計反應譜。

式（1）中：Bd為位移譜DMF；T為譜周期；ζ為阻尼比；Sd（T，ζ）和Sd（T，0.05）分別表示周期為T，阻尼比為ζ與阻尼比為0.05時的位移反應譜。

DMF 模型研究最初是由NEWMARK 等［12］展開，基于28 條沖積層地震記錄和加州San Fernando 地震數據（1971）給出了僅與阻尼比有關的DMF表達式，后被用于美國抗規［7］。隨著研究的深入，人們發現譜周期、場地條件和震源因素等對DMF的影響不容忽視。馬東輝等［13］強調了DMF與周期密切相關并建議采用分段形式的DMF 模型；LIN 等［14］基于1 037 條地震記錄，統計研究了考慮場地類別影響的DMF，并討論了振動周期、阻尼比和場地類別對DMF的影響；CAMERON 等［15］考慮震源因素，研究發現震源類型及場地條件等對地震動頻率有顯著影響，進而影響DMF 模型；郝安民等［16］考慮矩震級影響，給出各類場地下DMF 表達式；ATKINSON 等［17］建立了適用于北美東部的DMF 模型，并探究了震級和震源距對DMF 的影響；REZAEIAN 等［18］基于NGA-West2數據建立了考慮震級與震源距的DMF模型。然而上述研究，很少有涉及地震類型因素影響的DMF模型，更少有豎向反應譜的DMF模型提出。

如今，愈多實測數據顯示：高烈度區及近斷層區域的豎向地震作用甚至超過水平地震，且隨著各種大跨及超高體系、隔震結構的廣泛應用，豎向地震作用的影響尤為突出［19］。現有規范對其計算過于粗糙，如我國《建筑抗震設計規范》（GB50011-2010）［1］規定取豎向地震動的影響系數最大值為水平地震動的65%，而《公路橋梁抗震設計細則》（JTG/TB02-01-2008）［20］中則用分段的V/H 反應譜比表示豎向地震動作用。事實上由于豎向地震動與水平向地震動的顯著差異導致簡單的V/H 模型無法準確描述豎向地震動的反應譜特征［21－22］。BOZORGNIA 等［21］對美國Northridge 地震（1994）的研究表明：V/H 反應譜比受震級、周期及震源距的影響且在近場區和短周期內遠高于通常假定的2/3。周正華等［22］在對臺灣集集地震（1999）豎向反應譜的研究中發現：V/H反應譜比是周期的函數且場地條件對譜比值影響顯著。可見：使用固定的V/H比值或簡單的V/H模型并不盡合理；此外也有學者直接對豎向地震動衰減關系進行研究，如ZHAO等［23］和JIANG等［24］分別建立了用于俯沖帶淺殼和上地幔以及板內地震的豎向地震動衰減關系。另一方面，傳統的設計方法是基于結構總加速度乘以質量（即慣性力）來求解結構在慣性力作用下產生的位移，因為結構是否達到破壞狀態是由結構部件相對位移決定，如結構層間相對位移；對于結構水平向地震反應，PRIESTLEY［25］于2000年提出了更為直觀的基于結構位移的抗震設計方法。在這種設計理論中可以直接使用結構位移反應譜［25－27］。然而由于不同阻尼比的反應譜模型相對較少，一般根據偽譜關系式（2）由加速度反應譜SA來計算位移反應譜SD：

式（2）中：T為譜周期；ζ為阻尼比；SD、SA和SPA分別為相對位移譜、絕對加速度譜和偽加速度譜。值得注意的是，當且僅當ζ較小時（ζ≤0.05），大多數譜周期SPA≈SA，但在高阻尼比或長周期時簡單使用此關系進行轉換，必將高估結構彈性恢復力，體現不出消能器耗能的優勢。故直接基于位移譜研究其DMF模型是合理且必要的。

ZHAO等［28］研究證實：反應譜與地震類型顯著相關。故本文考慮地震類型因素，以日本俯沖帶地區4 695條板內地震記錄豎向分量為基礎數據，運用固定效應法分別給出四類場地下的豎向位移譜DMF 模型，并根據隨機效應模型分析各參數對DMF 模型誤差產生的影響［37］，以期更好地完善模型。本文建立的DMF 模型可為我國俯沖帶地區（如臺灣和南海）的抗震設計提供參考。

1 強震數據來源與處理

該研究所需地震動數據來源于日本K-NET 和KiK-net 強震動臺網（https：//www.kyoshin.bosai.go.jp/）。目前臺站總數達1 700多個，采用高靈敏度強震儀，可以記錄3個方向（東西、南北和豎向）地震動分量以及基巖深度20 m 范圍內的鉆孔資料，最大采樣頻率高達200 Hz，為獲取豐富可靠的數據資料提供了強大的技術支撐。

篩選出136 次板內地震事件的4 695 條地震記錄（Mw≥5.0）作為該研究的基礎數據。方法如下：依據美國地質調查局（USGS，http：//earthquake.usgs.gov/data/slab/）提供的slab1.0 模型和ZHAO 等［28］采用的日本地震分類手段，分離出俯沖帶板內地震（Subduction Slab）。板內地震多發生在俯沖的海洋板塊內，插入角度大，震源深度通常在50 km 以上。隨后參考ZHAO 等［29］基于場地周期Ts見式（3）的場地分類方法，將地震記錄分成SCI～SCIV四類場地進行研究（期間通過基線校正與濾波處理）［30］。場地分類標準與記錄數量見表1。

表1 四類場地分類標準與記錄數量Table 1 Site classification criteria and record quantity of four kinds of sites

Ts計算式如下：

式（3）中：Ts為場地周期，單位為s；H為地表面至基巖頂部的深度，單位為m；Vsite為基巖上覆土層的加權平均剪切波波速，單位為m/s。

2 建立DMF均值模型

2.1 數據分析

基于4 695 條俯沖帶板內地震記錄（Mw≥5.0），首先計算出36 個譜周期（0.01～5.0 s）和14 個阻尼比（1%～30%）的相對位移反應譜，進而求得對應的DMF 幾何均值`Bd作為回歸分析與殘差分析的基礎數據。譜周期編號見表2，阻尼比編號見表3。

表2 譜周期編號Table 2 Number of spectral periods

表3 阻尼比編號Table 3 Number of damping ratios

圖1（a）至圖1（d）給出了四種阻尼比（1%、3%、15%和30%）下各類場地的DMF 均值與譜周期T 的分布圖。圖中可見：（1）整體來看：指定阻尼比時，四類場地的DMF均值隨譜周期的變化趨勢相同。同一譜周期，阻尼比越大，四類場地的DMF 均值越小，與理論相符。（2）極短周期（T≤0.02 s）時，DMF 均值都等于1，與場地條件無關，同時符合單自由度結構地震反應放大系數在自頻非常大時動力反應與阻尼比無關。（3）譜周期處于0.03～0.12 s 范圍時，SCI 與其他三類場地區別較大；0.32 s 之后，SCIV 與其他三類場地有較大的差異。（4）隨著譜周期的增大，DMF均值趨向于1，符合長周期時位移反應譜趨于地表最大位移。（5）阻尼比小于5%時，四類場地的DMF均值先增后減；阻尼比大于5%時則相反。

圖1 SCI～SCIVDMF均值分布曲線（阻尼比為1%、3%、15%、30%）Fig.1 Curve of mean values of DMF for four site classes（ζ=1%、3%、15%、30%）

2.2 顯著性檢驗

為探究分場地建立DMF模型的必要性，運用Z檢驗方法（取α=0.05，|Z|≥1.96）對數據進行統計檢驗，即當Z值落在拒絕域內時，表示兩組數據差異顯著。統計量Z表示為：

為直觀顯示，基于四種代表性阻尼比（1%、3%、15%和30%）給出其兩兩場地間Z值趨勢變化圖如圖2所示。分析得出：（1）由圖2（a）至圖2（c）可見：當譜周期小于0.1 s 時，對應 |Z|統計值大于1.96，說明SCI 與SCII、SCI與SCIII和SCI與SCIV均值數據顯著不同。可能受到場地共振影響，導致短周期內SCI的位移譜與其他場地相比較大，而其它場地的位移譜差別相對較小。（2）由圖2（c）和圖2（e）可見：譜周期0.32～5 s 范圍時，四種阻尼比對應的 |Z|統計值均大于1.96；圖2（c）中譜周期0.02～0.08 s 時也符合這一情況，說明均值數據統計上顯著不同。（3）圖2（d）中，近半數譜周期對應的 |Z|統計值大于1.96。由（4）圖2（f）可見：當阻尼比為30%，周期小于0.08 s時 |Z|統計值遠大于1.96，數據統計上顯著不同。說明SCIII與SCIV 在短周期高阻尼比下的均值數據差別較大。綜上，通過對 |Z|統計量的檢驗發現，分場地建立不同的DMF模型是非常必要的。

圖2 SCI～SCIV間Z檢驗統計值Fig.2 |Z|values for statistical tests between each pair of SCI～SCIV sites

2.3 建立DMF均值模型

在建立DMF 均值模型時，參考STAFFORD 等［31］和HATZIGEORGIOU［32］關于均值模型的經驗公式，同時考慮阻尼比與周期的影響［33-36］，給出DMF均值關于阻尼比對數二次項的回歸方程式，見式（5）：

運用固定效應方法對系數a和b進行回歸，得到不同譜周期下的a和b值。表4給出了回歸后的系數值a和b（譜周期0.01 s與0.02 s系數值為0，表中不再給出（下同）；譜周期0.03 s、0.04 s和0.05 s不進行函數化，系數值可由插值給出；譜周期0.06 s 之后進行譜周期平滑，必要時進行迭代）。不同阻尼比不同周期下的系數可由表中數據插值得到。

表4 DMF模型回歸系數Table 4 Model coefficients for theDMF models

圖3 給出了四類場地下回歸系數a、b 與譜周期的變化圖。其中散點表示模型系數由插值得到，實線表示系數值經譜周期函數化。由圖3（a）可見：譜周期小于0.1 s 及譜周期0.64～3 s 內，SCI 與SCIV 模型一次項系數分別與其他三類場地有較大差異。圖3（b）顯示：各類場地模型的二次項系數差異較小。

圖3 系數a和b隨譜周期分布圖Fig.3 Distributions of coefficients with spectral periodsfor SCI～SCIV sites

圖4 給出了DMF 均值擬合值與原始值的對比，可以看出兩組數據高度擬合且擬合值滿足平滑要求，說明該模型回歸方程形式及考慮的影響因素基本合理。當阻尼比為1%時，擬合值與實際值有小幅的偏差，在短周期0.07～0.15 s 尤為明顯。圖中數據顯示：DMF 均值隨著阻尼比的增大而減小且隨著譜周期的增大，DMF 均值趨向于1，符合長周期時位移反應譜趨于地表最大位移，與阻尼比無關。綜上，利用阻尼比對數二次項的回歸方程式，對DMF均值有良好的擬合效果。

圖4 SCI～SCIV擬合DMF值與實際DMF值對比圖Fig.4 Comparison ofpredicted values forDMF and actual values for SCI～SCIV sites

3 殘差和標準差分析

以上研究發現：該DMF模型的回歸效果良好。然而為了對其擬合效果進行更全面的評價并確定誤差的來源，必須在此基礎上作進一步的殘差分析。本文選用ABRAHAMSON 等［37］提出的隨機效應方法將殘差合理分離，以便在數值方面闡釋DMF模型的擬合優度，探究各參數對DMF模型誤差的影響。

模型總殘差表示為式（6）：

式（6）和式（7）中：i和j分別表示第i次地震事件和第j次記錄；表示模型總殘差，標準差為σT；ηi表示事件間殘差，標準差為τ；ξi,j表示事件內殘差，標準差為σ；其各類殘差均值都為0。三者標準差有如下關系：

分別給出指定阻尼比與譜周期下事件間殘差隨震源深度和震級以及事件內殘差隨震源距離的分布趨勢，如圖5-6所示。

圖5 事件間殘差隨震源深度和震級分布圖（周期1.25s，阻尼比30%）Fig.5 Distributions of between-event residuals with respect to focal depth and magnitude（T=1.25s，ζ=30%）

圖5（a）可見：事件間殘差整體分布于0刻度線附近，趨勢線呈現的輕微斜率表明事件間殘差與震源深度有一定的相關性；圖5（b）采用ZHAO 等［38－39］提出的不同震級標度比率的二段線性模型（取分段點Mw=7.1），可見震級小于7.1 級時其斜率明顯，說明事件間殘差與震級的相關性比較顯著。同理，圖6 趨勢線呈現的較大斜率說明震源距也是影響DMF 模型的重要因素。綜上，加入震級、震源深度和震源距等參數項可以提高DMF 模型的擬合優度，在下一步全參數模型中會有所展現。本文簡單模型旨在規范設計反應譜，方便工程應用，沒有加入以上相關參數。

圖6 事件內殘差隨震源距分布圖（周期0.08s，阻尼比30%）Fig.6 Distributions of within-event residuals with respect tosourcedistance（T=0.08s，ζ=30%）

給出DMF模型的各類殘差標準差的數值，見表5至表7。其中數值大小反映了DMF模型的擬合程度。

表5 總殘差標準差Table 5 Total standard deviations

表6 事件內殘差標準差Table 6 Within-event standard deviations

表7 事件間殘差標準差Table 7 Between-event standard deviations

續表

為了更直觀的分析DMF 模型各類殘差之間的關系，圖7 給出了四種阻尼比（ζ=1%、3%、15%和30%）下各類殘差標準差隨譜周期的分布圖。

圖7 各類殘差標準差分布圖（阻尼比為1%、3%、15%、30%）Fig.7 Distribution of standard deviations（ζ=1%、3%、15%、30%）

圖中可見：（1）事件內與事件間殘差標準差趨勢基本相同，而事件內殘差標準差普遍大于事件間殘差標準差，說明場地及路徑效應等造成的隨機誤差大于震源效應造成的隨機誤差。（2）極短周期（T≤0.02 s）時，事件間殘差標準差與事件內殘差標準差都為0，長周期（T＞5 s）時，兩者逐漸趨于相等。說明在長周期（T＞5 s）時，震源效應與其他效應（路徑效應、場地效應）造成的隨機誤差是近似相等的。

根據隨機效應模型進一步將事件內殘差分為場地內殘差與場地間殘差，分別代表了路徑效應與場地效應造成的影響。表達式如下：

式中：u和v分別表示第u類場地與第v條地震記錄；ξu,v表示事件內殘差，標準差為σ；表示場地間殘差，標準差為τs；表示場地內殘差，標準差為σs；其各類殘差均值都為0。

三者標準差有如下關系：

圖8 為15%和30%阻尼比水平下SCII 模型標準差隨譜周期的分布圖。圖中可見：（1）場地內殘差標準差在多數譜周期上大于場地間與事件間殘差標準差，表明路徑效應造成的隨機誤差要大于場地效應與震源效應造成的隨機誤差。（2）周期小于1.1 s 時，場地間殘差標準差大于事件間殘差標準差，場地效應造成的隨機誤差大于震源效應造成的隨機誤差；1.1 s 之后則相反。（3）由趨勢線走向可推斷：長周期（T＞5 s）時，場地內殘差標準差與事件間殘差標準差趨于相等，說明在長周期（T＞5 s）上，路徑效應與震源效應造成的隨機誤差是大致相當的。

圖8 SCII模型殘差標準差隨譜周期的分布圖Fig.8 Distribution of standard deviations with spectral periods for SCII sites

圖9 為30%阻尼比下四類場地的場地內殘差標準差σs與場地間殘差標準差τs的分布圖。圖中可見：（1）場地內殘差標準差在整個周期上普遍大于場地間殘差標準差，說明路徑效應造成的隨機誤差占比更大。（2）場地內殘差標準差在整個周期上較為相近，主要是因為場地內殘差由路徑效應引起，理論上與場地類別無關。（3）場地間殘差標準差在0.32 s之后有逐漸上升的趨勢，說明隨著周期的增大，場地效應造成的隨機誤差越來越大。

圖9 SCI～SCIV場地內、場地間殘差標準差隨譜周期分布圖（阻尼比30%）Fig.9 Distribution of within-site and between-site standard deviations with spectral periods for four site classes（ζ=30%）

最后給出阻尼比為1%與30%時四類場地總殘差標準差σT的對比圖（圖10）。圖中可見：（1）任一阻尼比水平下，四類場地標準差曲線的走勢基本相同，30%阻尼比下四類場地的標準差普遍大于1%阻尼比下的標準差。（2）短周期（0～0.05 s）時，總標準差隨著譜周期的增大而增大；譜周期大于0.05 s 時，總標準差開始減小（拐點周期隨阻尼比增大稍有后延），但隨著阻尼比的增大有回升趨勢。（3）阻尼比為30%時，SCI短周期（0～0.06s）的總殘差標準差明顯大于其他三類場地。

圖10 SCI～SCIV總殘差標準差隨譜周期分布圖Fig.10 Distributionof total standard deviations with spectral periods for four site classes

DMF模型的各類標準差都遠小于地震動衰減關系相應的標準差，表明各個阻尼比殘差純在統計上部分相關而這些相關部分在計算不同阻尼比反應譜比值時抵消，導致DMF模型標準差較小。

4 結論

基于日本K-NET 和KiK-net 臺網中4 695 條俯沖帶板內地震記錄的豎向分量，建立了考慮場地類別、譜周期以及阻尼比的位移譜DMF模型。通過隨機效應模型將模型總殘差分為事件間和事件內殘差，進一步將事件內殘差分為場地間及場地內殘差，來探究各參數對DMF模型隨機誤差的影響。主要結論如下：

（1）利用阻尼比對數二次項的回歸方程式，對DMF均值有良好的擬合效果。

（2）Z檢驗結果表明：不同場地類型對DMF 均值的影響程度顯著，分場地來建立DMF 均值模型是必要的。

（3）通過隨機效應模型對殘差的分析可知：事件間殘差與事件內殘差分別和震級、震源深度與震源距相關。加入震級、震源深度和震源距等參數項可以提高DMF模型的擬合優度。后續研究會據此對模型作進一步的完善。

（4）縱觀全周期，路徑效應造成的誤差占比相對更大；周期小于1.1 s 時，場地間殘差標準差大于事件間殘差標準差，場地效應造成的誤差大于震源效應造成的誤差，1.1 s后則相反；長周期（T＞5 s）上，路徑效應與震源效應造成的隨機誤差大致相當；隨著譜周期的增大，場地效應造成的隨機誤差越來越大。

（5）本文建立的DMF模型利用俯沖帶板內地震數據，可為我國臺灣及南海地區的抗震設計提供參考。