有限元仿真教學與學生科學探索能力的培養

梁育林

（廣西醫科大學附屬腫瘤醫院 廣西 南寧 530021）

2015年，中國成功發射了第一顆暗物質粒子探測衛星 “悟空” 號。2016年，在貴州建成的500米口徑球面射電望遠鏡（FAST）是目前世界上最大的射電望遠鏡。2017年，中國科學家成功構建光量子計算機，標志著我國在基于光子的量子計算機研究方面取得突破性進展。2019年，中國 “嫦娥四號” 月球探測器實現了人類首次月球背面軟著陸和巡視勘察，成為當年中國十大科技新聞之一。2020年，中國科學家率先公布了致病的新型冠狀病毒的基因序列，并分享給全世界，贏得廣泛贊譽。2022年，中國空間站將全面建設完成。黨的十八大以來，以習近平同志為核心的黨中央著眼全局、面向未來，作出 “堅持把創新作為引領發展的第一動力” 的重大戰略抉擇，實施創新驅動發展戰略，加快建設創新型國家，吹響建設世界科技強國的號角。事實表明，理論基礎與實踐相結合，科學研究與工程應用相結合，才能結出累累碩果。

目前我國積極建設創新型國家和科技強國，廣大科技工作者是科技強國主力軍，研究生是科研的生力軍，而本科生是重要的科研后備力量。在當前本科生教育中存在科學探索能力培養不足，理論、仿真與實際應用脫節等諸多問題。作為高等學校的教育工作者，培養本科生的科學探索能力，創新協作精神，為服務國家發展戰略需求培養創新型復合人才任重道遠。

應將大學物理、計算物理、等離子體、電磁學、結構力學、傳熱學、電化學等本科生課程建設與多物理場前沿仿真研究結合起來，針對生物醫學工程、醫學物理、臨床醫學等學科教學需求，開展理論基礎、仿真實踐和科教融合的創新實踐教學改革。

1 有限元方法介紹

有限元方法（Finite element method，FEM）主要用于工程和數學建模中產生的數值求解微分方程，隨著計算機技術的快速發展已經成為一種現代計算方法。有限元方法在工程上得到了廣泛的應用，經過了幾十年的發展，相關理論和算法日趨完善，并且在工程設計和分析中得到了越來越多的重視，已經成為解決復雜工程分析問題的一種有效手段。目前該方法典型的應用領域包結構分析、機械制造、傳熱、流體流動、質量傳輸、電磁、航空航天、船舶、電子電氣、國防軍工等。

FEM是用于在兩個或三個空間變量中求解部分微分方程的一般數值方法（即一些邊界值問題）。為了解決問題，FEM將大型系統分為較小，更簡單的部分，稱為有限元。這是通過空間尺寸中的特定空間離散化來實現，該空間尺寸由對象的網格構造來實現：解決方案的數值域，其具有有限數點。邊值問題的有限元方法制訂最終得到一個代數方程組。該方法近似于域上的未知函數。然后將模擬這些有限元的簡單方程組合成一個更大的方程組，對整個問題進行建模。然后，FEM通過變分法最小化相關誤差函數來近似解決方案。

FEM將整個領域細分為更簡單的部分有幾個優點：①復雜幾何的精確表示；②不同材料特性的包含；③總解的簡單表示法；④捕捉局部效應。

該方法的典型工作包括：①將問題域劃分為子域集合，每個子域由一組原始問題的單元方程表示。②系統地將所有單元方程組重新組合為一個全局方程組，從而進行最終計算。

在實際應用中采用有限元方法的分析手段就稱為有限元分析（Finite element analysis，FEA），其已經擴展到幾乎所有的科學技術領域，成為一種豐富多彩、應用廣泛并且高效適用的數值分析方法。目前常用的FAE軟件有ANSYS、COMSOL Multiphysics、SolidWorks、Abaqus等。

2 建設內容和特色

結合國內外先進教材及最新文獻，將前沿研究領域納入課程學習中，開設前沿講座、文獻調研、小班討論課，豐富和完善課程，充實課程體系，融入科教融合的理念，為學校生物醫學工程、臨床醫學等專業本科生的科學探索能力和科技論文撰寫能力培養提供軟硬件環境。在課程仿真中采用COMSOL Multiphysics多物理場仿真軟件模擬真實場景下的物理現象設計和優化實際工程問題。

3 仿真實踐與挑戰性案例解析

3.1 低溫等離子體案例解析

題目：隨著脈沖功率技術的不斷進步與發展，納秒脈沖放電等離子體研究已經得到較好的發展，并且在理論及實驗方面也取得重大突破。為了研究納秒脈沖針―板放電過程電子布等微觀過程，建立了二維對稱結構計算模型，開展數值模擬研究（圖1）。

圖1 高斯脈沖下電壓電流特性曲線

教師具體指導過程如下：使用COMSOL Multiphysics軟件具有的等離子體模塊中的DC放電物理場接口，求解一對描述電子密度和電子能密度的漂移-擴散方程。

方程中的源項由等離子體化學反應速率決定。

模型采用二維軸對稱結構，如圖2所示。定義電極材料為銅，其中針位于板電極的正上方，電極頭部曲率半徑1mm，兩電極間距10mm，板電極寬10mm，電極間區域采用空氣進行填充，并設定計算邊界。計算時將高壓端連接針電極，將板電極接地。高壓端輸出波形為高斯脈沖分布函數，峰值為6kV。

圖2 等離子體放電模型及求解網格

電場強度和電子溫度先在針電極處達到一個極大值，其后隨著時間的推移逐漸減小，最大值始終位于軸線處，發展到達陰極時，陰極表面電場強度達到最大值（圖3）。該案例將大氣壓放電理論與數值仿真結合，研究大氣壓下等離子體的放電特性，能夠加強仿真建模綜合能力的訓練。

圖3 電場強度隨時間變化示意圖

3.2 高強度超聲聚焦技術案例解析

題目：高強度超聲聚焦（High-intensity focused ultrasound，HIFU）是一種非侵入性治療技術，其使用非電離超聲波加熱或燒蝕組織。HIFU可用于增加血液或淋巴流，或破壞通過熱和機械機制的組織，例如腫瘤。HIFU的前提是它是一種無侵入性的低成本治療。當施加高強度聚焦超聲時，超聲波在焦點上耗散實現組織凝結和消融。我們可以通過仿真進一步分析該技術的聲學特性和非線性性質。

教師具體指導過程如下：模型中使用的換能器外殼和鏡頭被假定為剛性的。半徑為r和孔徑為a的球面透鏡發出一個五個周期聲波脈沖，聚焦在位于組織中的焦點F。信號的振幅為0.1MPa，中心頻率為1MHz，在傳播過程中只會涉及有限的部分域。當信號傳播時，振幅足以產生高階諧波，但不足以形成激波，這意味著不需要能夠捕獲激波的功能（圖4）。

圖4 二維軸對稱幾何模型示意圖

可以使用以下公式計算從信號到焦點的傳播時間：

其中c為聲速，d是相應材料中的傳播距離。

從下面的結果中，我們可以看到聲波信號開始于t=10 s，并在水和組織域之間傳播。我們還可以看到部分信號在t=20 s時反射回源。此外，信號的聚焦在t=30 s時可見，在t=40 s時達到最大值。這些結果表明，越接近焦點區，信號強度越大（圖5）。

圖5 t=10、20、30和40 s時，超聲信號的傳播

HIFU傳統上和其他成像技術相結合，如醫學超聲或MRI，以實現對治療和監測的指導。該案例將前沿科研理論與仿真結合，極大增強本科生創新實踐與科學探索能力。

3.3 肝臟腫瘤消融技術案例解析

題目：肝臟惡性腫瘤也就是人們常說肝癌已經成為危害人民群眾身體健康的一種重大疾病。目前對于肝癌的治療手段主要是手術、化療和放射治療。但是這些方法都有其局限性，通常肝癌患者檢查出患病時已經發展到中晚期失去手術治療的機會。而化療會造成全身損傷，并且容易產生耐藥性。放射治療過程中也會對腫瘤周圍正常器官和組織造成一定的放射性損傷，同時也有腫瘤耐輻射的問題。肝臟腫瘤消融術是一種新型的腫瘤治療技術，其原理是通過對惡性組織加熱，達到臨界溫度后殺死癌細胞。在治療過程中一般把腫瘤組織加熱到45℃到50℃以上從而達到消融目的。通過仿真能夠直觀地看到惡性腫瘤內部溫度分布情況及相關物理參數對溫度的影響。

教師具體指導過程如下：采用圓柱體模擬身體組織，具體如圖6（p73）所示。并且假設在整個過程中，模型的邊界溫度保持在37℃。腫瘤靠近圓柱體的中心，其熱屬性與周圍組織相同。此模型中，探針沿圓柱體中心線放置，因此，電極涵蓋了腫瘤所在的區域。模型中還包含一根大血管。

圖6 模型結構示意圖

組織中的傳熱使用生物熱方程計算，具體表達如下：

其中，是時間縮放系數；是組織密度；是組織的比熱；k是熱導率。在等式右側，為血液密度；是血液的比熱；是其灌注速率；是動脈血溫度； 和 分別是新陳代謝和空間加熱產生的熱源。

圖7 顯示的是電極臂前端的溫度隨時間的變化曲線，從圖中能夠看出前2min其溫度迅速上升，并在4min后溫度趨于緩慢增加直至達到大約97℃這一穩定值。

圖7 電極臂尖端處溫度隨時間的變化

圖8 顯示的壞死組織占比的可視化。從圖中能夠明顯看出腫瘤組織被有效殺傷，達到了消融的目標。通過對物理參數的調節能夠找到對特定腫瘤治療的最優化條件。

圖8 壞死組織占比

肝臟腫瘤消融技術也能與超聲技術相結合起到在治療過程中進行檢測的目的。該案例的仿真能夠讓學生直觀地了解前沿臨床技術的應用及原理，為后續的科學研究提供思路和數據支持。

4 結語

本有限元實踐課將有限元理論與低溫等離子體、高強度超聲聚焦、肝臟腫瘤消融等醫學物理技術的研究熱點及前沿相結合，采取了理論基礎學習、工程實際問題建模和訓練、突出教學與科研融合的教學改革，倡導自主學習、研究探索、學以致用的理念，激發學生的探索求知欲和創新活力，培養本科生的科研探索能力和嚴謹的科研素養，為醫學院校生物醫學工程、醫學物理和臨床醫學等學科領域的人才培養打下堅實基礎。