數在形中更直覺，形有數時易入微

顏 江

數形結合是一種數學思想方法，通過把抽象的數學語言、數量關系與幾何圖形、位置關系結合起來，借助“以形助數”或“以數解形”的方法使問題簡單化。此數學思想在現代小學數學教學活動中較為常見，作為貫穿整個小學階段的數學教學有效的解題方法之一，正在被廣泛應用。數形結合思想的本質是通過抽象思維與形象思維的結合，使復雜問題簡單化、抽象問題具體化，培養學生的“有氧思維”，從而提高課堂效率，實現高效教學。本文結合課堂實例，具體闡述如何在數學課堂教學中開展數形結合的有效教學。

一、數形結合的教學優勢

（一）直觀化教學

數學教學活動的組織、實施必須以提升學生的數學學習能力為基本標準，教師要結合學生的數學理解能力、數學學習過程設計對應的數學教學方案，從數學解題、問題推導、信息搜集等角度入手，剖析問題的具體構成元素，啟發學生的數學思維。但對小學生來說，多要求共存的數學教學模式并不利于學生的接受：多種理論與教學要求在課堂上共存，導致學生難以快速地掌握數學知識；大部分數學教學資源以數字、符號為構成元素，理解難度較大，教學素材難以理解。在針對有關數學知識開展數學教學活動時，很難使學生快速掌握數學學習要求。數形結合則為學生學習數學知識提供了新的思路：在數學課堂上，有關教學活動圍繞著數字、圖形兩大要素開展，教師幫助學生挖掘教材中的算理知識，但不以計算的方式進行授課，而是借由圖形加工相關數學問題，幫助學生進行理解。在數形結合的推動下，答案、結果等評價性要素被暫時舍棄，學生需要借助直觀的幾何圖形去理解數學問題，從而形成數學探究思維[1]。對小學生來說，數形結合給出了更為直觀的學習方式：先看圖，再提問，最后解決問題。數學教學演化為一個搜集資源和知識的過程，教學質量得到了有效提升。

（二）理性化教學

著名數學家歐幾里得提出的“幾何學”的有關概念為現代數學的發展和人類文明的進步作出了巨大的貢獻。隨著后世幾何學的不斷發展，數字與圖形之間的壁壘被逐漸打破，關于數字與圖形之間關系的探索逐漸演化為推動教育改革的原動力。阿恩海姆認為，思維的基本材料是表象，而不是人們通常所強調的概念和語言。這一觀點指明了思維與客觀現象之間的關系：學生在認識到有關材料之后形成數學思維，并通過對材料的挖掘、探究來鍛煉自身的思維意識。對教學活動來說，“表面現象”遠比復雜的數學理論更為重要。在數形結合教學下，數學圖形材料作為“現象”出現在數學教學活動當中，在向學生展示數學知識的同時，借助圖形來掩蓋數學理論，要求學生通過理性分析過程掌握相關數學關系，重新理解數學知識[2]。圖形中包含多種數學信息，可對學生的數學推導能力和邏輯思維等關鍵素養進行開發，從而促使學生快速掌握數學知識，找準數學學習的突破口。教師要抓住教學的理性化、功能化特點組織授課，積極挖掘數形結合的教學功能，以圖形呈現數學關系，鍛煉學生的相關數學思維，優化數學教學方法。

二、數形結合在小學數學計算教學中的應用策略

（一）以 “圖” 引 “數”，掌握計算思路

計算教學只有搞明白了算理“為什么要這樣算”，才能真正掌握算法“如何計算”。在“數”中尋找“形”，把計算問題轉化為形狀、圖示去解決問題，這樣的直觀呈現，易于學生理解和接受[3]。同時，學生在探究、領悟算理的過程中，建模思維也可得到發展，形成抽象的計算方法，提高計算的正確率和速度。小學生由于感性思維的發育程度比理性思維要高，其在數學學習中更容易從直觀的“形”中讀取信息，而對抽象的“數”缺乏敏感度。在這種情況下，數學教師需要幫助學生彌補短板，在數形結合教學中，訓練學生對“數”的判斷能力，使其在面對“數”時，也能夠擁有足夠的分析能力，更好地解決問題。

例如，在教學“分數乘法”一課時，如果只是讓學生知道計算方法——分子乘分子作分子，分母乘分母作分母，相信所有的學生都能記住并運用，計算的正確率較高。但是，教學不僅僅是為了讓學生會機械地計算，還需要讓學生知道分數乘分數的算理。課堂上，教師通過圖形的展示為學生講解相關數學知識：將一個圓形分成6 份，要求學生說明每一份與原圖形之間的關系。通過算理推導不難發現，被分割之后的圖形與原圖形之間保留著“局部”“整體”的關系，即6 份能夠重新組合成一個圖形，由此引出“六分之一”的數學概念。教師在講解算理之后導入新一輪的數學教學：既然等分的圖形可以用“幾分之幾”這一概念來表示，那么圖形所分成的分數是不是也會對數產生影響？由此引出對分子、分母兩個數學概念的探究，圍繞著數字的寫法、表達特點繼續展開討論。

（二）理 “數” 畫 “形”，突破難點

“數字”對一年級的學生來說是比較抽象的，他們具備的是形象思維，傾向于通過表征來接受新知識。為了彌補短板，小學生需要進行有關“數”的訓練，將“數”中的信息轉變為“形”，從而逐步提高自身對“數”的敏感度。在實際教學中，數學教師應注意相關練習的安排，在圍繞“數字”展開教學的過程中，有意識地加入“數字”向“圖形”的轉化，讓學生在不知不覺中適應這種學習方式。因此，在教學時，教師應根據數字畫出圖形，借由圖像、線條等素材展示數學知識，用寫繪的形式凸顯知識的難點，從而使學生突破難點，掌握知識[4]。

例如，在教學“10 以內數的加法”這一部分內容時，教學的難點在于：在原有的基數上再累加上去。簡單的數學知識當中包含著算理，這一環節的教學要為學生后續數學技能的發展服務。在組織教學活動的過程中，可配合數形結合方法來實施授課。教師為學生準備寫有數字1—9 的卡片，在課堂上與學生進行游戲：學生每人畫出一條數軸，隨后隨機抽取兩張或多張卡片，如抽取兩次卡片，分別抽取到“5”和“9”，則要在數軸上先向前移動5 個點，再向前移動9 個點，并計算出移動的最終距離。基礎板塊的數學計算教學難度偏低，但算理的有關概念較為復雜，因此，教師要正確理解算理與數學計算之間的關系，挖掘算理的本真價值，借由數形結合，將數學計算活動轉化為一個直觀、高效的過程，使學生在實踐的同時理解數學知識。

（三）析 “數” 聯 “形”，直擊重點

“數形結合”是數學學科中格外重要的一種理念，貫穿數學教學的各個階段。學生熟練掌握“數形結合”，可以在后續的學習中減少許多困難，更加高效地解決問題。在課堂教學中，數學教師要從多個角度展現“數”與“形”的關系，并引導學生采取不同的方式對二者進行轉化與聯合解讀，使學生熟練地運用解題工具。在算理教學中，教師可引導學生用數聯系形，以形詮釋數，實現數形聯合，從而直擊知識重點，使學生在直觀中明晰算理，在抽象中掌握算法。

例如，教師在教學“筆算兩位數乘兩位數”時，可以兩位數乘整十數和兩位數乘一位數的筆算為基礎。教學“14×12”時，引導學生厘清算理，讓學生嘗試自己獨立完成計算，可以用畫一畫、圈一圈、算一算等方法實施授課。教師可以常見的“點子圖”為對象，指導學生進行數學計算：繪制兩張橫向、縱向分別有10 個點的點子圖，在每張點子圖上分別選定12、14 個點，進行乘法計算。學生手持畫有12個點的點子圖，在上面標記點數，與所選中的14 個點相乘，每次點擊一個點，則最終的計算結果要增加14。在利用點子圖進行計算的過程中，幫助學生整理數學計算思路：既然每一次點擊都代表著增加14，是否可以將12 分成不同的數字進行點擊？如將12 劃分為6+6、10+2 等，將兩位數與兩位數的乘法轉化為兩位數乘一位數的乘法。教師可以有意識地引導學生觀察點子圖和口算以及筆算之間的聯系，使學生明白數字當中的乘積關系，確定數學計算方向。教師引導學生口算與點子圖進行溝聯、口算與筆算進行溝聯、點子圖與筆算進行溝聯，進行多番的轉換，直擊算理的重點，直觀中抽象出計算方法，并建立表象，形成模型，從而掌握兩位數乘兩位數的計算方法。

（四）“形” 上覓 “數”，非此即彼

數學概念比較抽象，需要較強的邏輯思維能力。而學生形象思維占主體，要理解、形成和內化、運用概念，需要建立具象和表象。教學中運用“形”的直觀性，引入概念，發現概念的形成過程，抓住概念的本質屬性，結合“數”概括出其內涵，深刻理解概念，發展學生發散性思維[5]。對小學生來說，數學知識本身帶有獨立性、不可替代性的特點，但借由圖形材料解答相關數學問題，則可以模糊數學知識之間的邊界，將學生已經掌握的數學知識引入到全新的教學活動當中，啟發學生的數學思維。

教師要嘗試利用各類數學用具、圖像來貫徹“數形結合”思想，以形展示數、以數標記形，啟發學生的數學探究思維。以數學教材中“大數的認識”為例，學生開始接觸百萬、千萬等大數，數的概念被無限放大，如果通過數位、數字等簡單的數學知識要求學生進行記憶，則數學教學活動過于單一，教師可通過數形結合喚醒學生的數學思維：以個、十、百三個基礎單位為對象引導學生進行思考，要求其通過畫正方形的方式說明三個數位之間的關系。用面積為1 的正方形代表個位，則面積為10 的正方形代表十位，邊長為10 的正方形代表百位，面積即是數位的最大值。而面對“百萬”“千萬”等更大的數位，則可以通過數學計算來繪制數學圖形，通過圖形來理解數學單位。我們目前學到的最大的單位是萬，如果用正方形來表示萬，那么這個正方形的邊長是多少？如果用表示萬的正方形來表示百萬，這個正方形的邊長又是多少？一萬當中包含著100個100，故正方形的面積為10000，邊長為100。對于一百萬，則相當于100 個面積為10000 的正方形，邊長要變為原來的10 倍。在形上尋找數的“蹤跡”，將抽象的數字轉化為直觀的幾何概念，可以有效提升學生的數學理解能力。

（五）潤 “形” 解 “數”，還原本質

在傳統教育模式下，理論類的知識點往往被錯誤地看作需要“背誦”的部分，進而產生了一系列機械式教學方法，使學生陷入無窮無盡的死記硬背中，喪失學習活力。實際上，數學概念的學習并不是一個死記硬背的過程，是需要學生經過自主消化、吸收的過程，學生只有自己領悟其中的本質，才能很好地掌握并運用概念。對于概念的展開，運用“數形結合”，追溯概念的根本，掌握概念的本質，順藤摸瓜理解概念的外延，進而達到靈活應用[6]。

例如，同一個數在不同的數位所表示的大小和意義是不一樣的，學生剛接觸這一知識點時理解起來還是有一定的難度的。要把這個難點突破并內化成自己的知識，可以進行一些操作實踐，一步一步地領悟。學生可以學著教師的樣子，把一顆珠子在計數器上擺一擺，在擺的過程中推導算理——相同的珠子擺放在百位上、擺放在十位上，其大小是否會發生變化，并思考這個數在不同數位上所表示的數學概念。在擺放珠子、記錄數字的過程中，通過形的展示幫助學生理解數位的有關概念：由于數位的不同，同一個數所表示的意義和大小其實是完全不同的，本質含義一目了然。這樣的教學可以使學生自己領悟和理解概念的內涵，掌握知識，最后通過這樣的活動舉一反三，在探索的過程中領悟其他的知識。

“數形結合”的思想方法是數學課堂中不可或缺的一種教學方法，更是學生學習過程中的一種重要解題方法。學生掌握“數形結合”學習策略后，在厘清算理、透析概念、解決問題方面有了本質的改變，明白了在數學學習的過程中要理解知識的本質、明了概念的形成，把抽象的知識具體化、形象化，做到“有形”，在“有形”的數學中掌握知識要領，發展了“有氧思維”，從而形成了“無形”的思維。