雙伺服刀架系統頻率可靠性及靈敏度分析

杜宏，王東柱

（1.大慶油田有限責任公司第十采油廠，黑龍江 大慶 163000；2.中國石油大慶石化公司化工一廠輸轉聯合車間，黑龍江 大慶 163714）

0 引言

雙伺服刀架作為數控機床的關鍵功能部件，數控機床的加工精度、被加工件質量和穩定性很大程度取決于刀架的動態特性[1-2]。當刀架工作時的激振頻率接近其固有頻率時會發生共振[3]，極大程度地影響數控機床的加工精度，嚴重時甚至會導致刀架發生破壞。

目前國內外眾多學者在對可靠性設計與評估方法、頻率可靠性以及數控機床及其零部件的可靠性設計方面取得了較多成果，但是對于雙伺服刀架頻率可靠性的研究還比較少。在可靠性設計與評估方法方面，HuangXZ等[4]提出了一種用截斷隨機變量評價齒輪機構運動精度可靠性的新方法，建立了齒輪機構可靠性分析的數學模型。對實際應用進行了討論，并詳細分析了該方法的有效性。隨后，針對二次多項式曲面的失效概率無法求解的問題，一種利用鞍點近似進行可靠性分析的二階可靠性方法被提出了[5]，并通過三個數值算例，比較了所提出的二階可靠性方法與一階可靠性方法、常規二階可靠性方法和蒙特卡羅模擬方法的性能。Nguyen N等[6]提出一種既考慮間歇性影響，又考慮低慣性影響的高貫穿風力發電系統可靠性評估新方法，此方法是利用離散卷積方法開發的，在IEEE RTS-79系統上進行了實現，并做了適當的修正。XuJ等[7]提出了一種新的二元降維方法(BDRM)，用于統計力矩評估和結構可靠性分析，還利用已有的一些方法證明了該方法的優越性。結果表明，所提出的方法可以保持結構可靠性分析的精度和效率。在頻率可靠性分析方面，Zhang YM等[8]根據頻率可靠性理論，提出了一種計算機械結構在動態激勵下的可靠度的方法，并通過數值實例驗證了該方法的有效性和準確性。Lei M等[9]采用隨機因子法研究了材料參數不確定性對自然頻率隨機性的影響。此外，還基于頻率可靠性理論，提出了一種計算機械結構在動態激勵下的可靠性靈敏度的方法。Lu CM等[10]研究了實際工程隨機動力結構系統中任意分布參數的頻率可靠性及其相關理論，并利用機械動力學、隨機有限元法和可靠性理論，提出了避免共振的頻率可靠性方法。在數控機床及其零部件的可靠性設計方面，Zhang XF等[11]采用乘法降維法(M-DRM)對機床進行了系統可靠性和全局靈敏度分析，并用蒙特卡羅模擬方法驗證了計算結果。劉晨曦等[12]采用多態故障樹對伺服刀架進行了系統可靠性分析，并得出電氣子系統和密封子系統為伺服刀架的薄弱環節。Li CY等[13]基于測量不確定性理論分析了動力伺服刀架的分度精度可靠性及其靈敏度，并用試驗數據進行了驗證。隨后，針對數控機床可靠性低的問題，Li CY等[14]提出了計算機數控車床主軸過大靜態變形失效的可靠性優化設計。王新剛等[15]建立了端齒盤的分度誤差模型，將可靠性理論與靈敏度分析方法相結合，給出了動力伺服刀架端齒盤分度精度可靠性靈敏度設計的分析方法。楊周等[16]研究了結構參數變化對數控機床中的電主軸抗共振性能的影響，并通過頻率可靠性及靈敏度分析給出了改善電主軸性能的方法。

本文分析了雙伺服刀架的頻率可靠性及隨機變量的靈敏度，并給出了提高刀架可靠性的建議。第1節建立了雙伺服刀架的有限元模型；第2節對雙伺服刀架進行了模態分析；第3節對雙伺服刀架的參數進行篩選以及采用BP神經網絡進行固有頻率的擬合；第4節分別采用隨機攝動法與Monte-Carlo法求解雙伺服刀架整機頻率可靠度，兩種方法的計算結果相對誤差是0.16%，這證明了用BP神經網絡建立的狀態函數的合理性和有效性。最后對各隨機變量的靈敏度進行分析，篩選處敏感參數為進一步的穩健優化提供指導。

采用有限元法對雙伺服刀架建立了參數化模型并進行模態分析。利用改進的拉丁超立方試驗方法隨機抽取大量試驗樣本，并采用BP神經網絡對試驗樣本進行函數關系的擬合，最后分別采用隨機攝動法與Monte-Carlo法求解雙伺服刀架整機頻率可靠度與隨機變量的靈敏度。

1 雙伺服刀架系統的參數化建模

雙伺服刀架系統結構如圖1所示，包括刀盤、刀架箱體、刀盤驅動伺服電機、動力刀驅動伺服電機、刀盤轉位傳動機構和動力刀驅動傳動機構。其中刀盤轉位傳動機構包括刀盤驅動軸、齒輪、動齒盤、定齒盤、鎖緊齒盤和刀盤；動力刀驅動傳動機構包括離合裝置、第Ⅰ傳動軸、第Ⅱ傳動軸、第Ⅲ傳動軸、水平錐齒輪、豎直錐齒輪、從動錐齒輪和主動錐齒輪。

圖1 雙伺服刀架結構

1.1 雙伺服刀架參數的選擇

為了便于建立雙伺服刀架的參數化模型，提高有限元分析的效率，在不影響分析結果的情況下對模型做以下簡化：

(1)簡化截面形狀，去掉較小的倒角和圓角，用直角過渡。(2)在保證孔徑準確的前提下，將螺紋孔簡化為光孔。(3)軸、鍵與聯軸器為過盈配合，所以將三者進行一體化處理；同時將錐齒輪簡化為等體積等直徑的圓柱體。

在雙伺服刀架系統中，各零件結構參數和材料參數的變化會影響伺服刀架整機的固有頻率，進而影響其可靠度，故將重要零件的結構特征與材料特性作為隨機參數。

1.2 雙伺服刀架有限元模型

使用實體單元對刀架整機模型進行網格劃分，由于雙伺服刀架內部零件較多而且結構復雜，所以采用四面體網格，并做合理簡化。網格劃分結果為13 621個單元，343 910個節點，有限元模型如圖2所示。

圖2 雙伺服刀架有限元模型

2 雙伺服刀架模態分析

n自由度的線性系統的運動微分方程為：

式中：[M]為系統的質量矩陣；[C]為阻尼矩陣；[K]為剛度矩陣；為加速度響應矩陣；為 速度響應矩陣；{u}為位移響應矩陣；{f(t)}為激勵力矩陣。

由于雙伺服刀架結構的阻尼較小，可將其阻尼忽略不計，進而得到雙伺服刀架系統的無阻尼自由運動微分方程：

設解為：

式中：{A}i為振幅列矩陣；ωi為系統的固有頻率；θ為初相位。

式 (3)帶入式 (2)，有

雙伺服刀架系統的固有頻率和振型即為式(4)的特征值和特征向量。

采用Workbench求解出刀架整機前六階固有頻率與固有振型，各階固有頻率數值如表1所示，對應固有振型如圖3所示，其中最低階固有頻率為456.35 Hz，遠大于雙伺服刀架最高轉速12 000 r/min所對應的頻率200 Hz，表明刀架安全性較高。

表1 雙伺服刀架前6階固有頻率

圖3 雙伺服刀架前6階振型圖

如圖3所示，雙伺服刀架的第一階振型為動力刀座的X方向擺動；第二階振型為動力刀座的Z方向擺動；第三階振型為箱體尾部Z方向擺動；第四階振型為從動錐齒輪的Y方向擺動；第五階振型為轉位電機的Z方向擺動；第六階振型為從動錐齒輪的Z方向擺動。

3 雙伺服刀架參數的篩選及固有頻率擬合

利用isight集成Workbench進行試驗設計，通過改變輸入參數的取值來獲得對應的輸出參數，極為高效地得到所需樣本數據。為了保證雙伺服刀架的安全性，刀架工作時的最高轉速應小于其最低臨界轉速，因此本文在進行可靠性分析時只考慮雙伺服刀架的第一階固有頻率。

將23個結構參數和21個材料參數作為輸入參數，每一次輸入參數的變化都會獲得對應的第一階固有頻率數值。由于雙伺服刀架系統的參數數目較多，而部分參數的變化對刀架的固有頻率影響并不明顯，所以在進行可靠性分析時可以忽略這些參數。

首先對結構參數和材料參數進行正交試驗設計，得到Pareto貢獻圖，由于貢獻度排序中從第10個及之后參數貢獻度較小，所以取前10個參數作為隨機變量。本文中所有隨機變量參數均服從正態分布，標準差取均值的0.05倍。各隨機變量的均值和標準差如表2所示。

表2 各隨機變量的均值和標準差

對篩選后的10個隨機變量進行試驗設計，采用最優的拉丁超立方試驗方法生成1 000組試驗樣本，10個隨機變量對第一階固有頻率的Pareto貢獻圖如圖4所示。其中，dn、Edp、Ecp、dz2、d41和d43對第一階固有頻率是正影響，ρdp、ρcp、ρz和d22對第一階固有頻率是負影響。

圖4 隨機變量對第一階固有頻率的影響

利用BP神經網絡擬合雙伺服刀架系統第一階固有頻率與隨機變量之間的函數關系。其中，輸入層參數為上述10個隨機變量，輸出層參數為雙伺服刀架第一階固有頻率，即輸入層節點數為10，輸出層節點數為1。本文采用一個隱含層，隱含層傳遞函數為Log-Sigmoid，輸出層傳遞函數為Purelin。確定隱含層節點數的經驗公式為：

式中：M為隱含層節點數；m和n分別為輸入層和輸出層節點數；a為[0，10]之間的常數。

選取M=30。雙伺服刀架系統第一階固有頻率Y和隨機變量X之間的函數關系可以表示為：

式中：wij、wjk分別為輸入層-隱含層和隱含-輸出層的連接權值；bj、bk分別為隱含層和輸出層的閾值；φ(·)為隱含層的傳遞函數；ψ(·)為輸出層的傳遞函數。

由于輸入的數據波動性較大，為了提高訓練速度與精度，在神經網絡訓練之前要對輸入和輸出數據進行歸一化處理：

式中：x為樣本數據中參數的初始值；x*為對樣本數據歸一化后的值；xmax為數據中參數最大值；xmin為數據中參數最小值。

網絡訓練誤差的目標設定為10-6，將1000組數據隨機劃分成800組訓練樣本和200組測試樣本，先對網絡進行訓練，完成函數的擬合，再進行測試。訓練過程中均方誤差的變化曲線如圖5所示，經過4 067次訓練，樣本的均方誤差達到了9.999 7×10-7；從圖6可以看出，訓練后網絡實際輸出接近期望輸出，神經網絡擬合效果比較理想；由圖7可知，測試階段數據擬合較準確，因此神經網絡擬合出的函數可以用于構建功能函數。

圖5 神經網絡訓練過程誤差變化

圖6 訓練階段期望值與實際值對比

圖7 測試階段期望值與實際值對比

4 頻率可靠性及靈敏度分析

本文研究的雙伺服刀架系統的最高轉速為12 000 r/min，對應頻率為200 Hz，根據可靠性干涉理論，功能函數可以表示為

式中：F(X)為通過神經網絡擬合得到的網絡輸出值；X=(Edp，ρdp，Ecp，ρcp，ρz，dn，dz2，d22，d41，d43)T為基本隨機變量向量；γ為一特定區間，通常為基頻的15%倍，即0.15F(X)。

本文分別采用隨機攝動法[17]與Monte-Carlo法計算雙伺服刀架的頻率可靠度，其中Monte-Carlo法抽樣105次。攝動法的可靠度計算公式為

式中：fX(X)為基本隨機變量向量的聯合概率密度函數；g(X)為功能函數。

隨機變量X和狀態函數g(X)與其對應的數學期望、方差為

式 中：[X-E(X)][2]=[X-E(X)]?[X-E(X)]為[X-E(X)]的Kronecker冪，符號?為Kronecker積。

把gp(X)在E(X)=Xd附近Taylor展開到一階為止，有：

把式(17)代入式(16)中可得：

式中：Var(X)為隨機變量的方差；σg(X)2為狀態函數的方差。

可靠性指標β定義為：

可靠度為：

式中：Φ(·)為標準正態分布函數。

可靠度計算結果如表3所示。

表3 雙伺服刀架頻率可靠度計算結果

進一步求解可靠度關于基本隨機變量均值和方差的靈敏度[18]，其表達式分別為

式中：

式 (28)中：In為n×n單位矩陣；Un×n為n2×n2矩陣。

由于雙伺服刀架模型中的各個隨機變量單位不統一，無法直接進行比較，需要對其進行無量綱化。轉化矩陣分別為T1和T2，且為對角矩陣。

式中：σi為隨機變量的標準差；R2為刀架整機頻率可靠度。無量綱化后的均值和方差的靈敏度矩陣為：

無量綱化后的靈敏度計算結果為

由表3中的可靠度計算結果可知，隨機攝動法與Monte-Carlo法計算出的可靠度數值比較接近，可以驗證隨機攝動法的準確性，而且隨機攝動法節省時間，提高了可靠性分析效率。

從無量綱化后的隨機變量均值的靈敏度計算結果可以看出，隨著Edp、Ecp、dn、dz2、d41、d43參數均值數值的增加，雙伺服刀架系統頻率的可靠性更高，結構更趨于穩定。參數ρdp、ρcp、ρz、d22均值的增加會導致雙伺服刀架系統頻率可靠度變低。其中ρdp對刀架整機的頻率可靠性最為敏感，優化此參數對刀架整機穩定性的提高起重要作用。

從無量綱化后的隨機變量方差的靈敏度計算結果可以看出，所有隨機變量方差降低可以導致雙伺服刀架系統頻率可靠性變高，抵抗共振的能力更強。

5 結語

(1)本文分別采用隨機攝動法與Monte-Carlo法計算了雙伺服刀架的頻率可靠度，并且計算出的可靠度數值接近，驗證了雙伺服刀架可靠性分析的正確性；且可靠度較高，表明雙伺服刀架系統比較穩定。

(2)通過對雙伺服刀架中各個隨機變量的可靠性靈敏度分析可得：ρdp對雙伺服刀架頻率可靠度影響最大，適當的增加dn、dz2、d41和d43的尺寸會提高刀架的頻率可靠度，而且提高雙伺服刀架中零部件的加工質量與加工精度也會使雙伺服刀架系統趨于可靠。

(3)本文通過BP神經網絡建立了雙伺服刀架可靠性數學模型，這種方法可以應用于其他類型的伺服刀架中。而且通過試驗設計得出的Pareto貢獻圖與通過可靠性與靈敏度理論計算得到的隨機變量影響程度與影響性質一致，驗證了通過神經網絡建立的功能函數的準確性，同時也驗證了可靠性靈敏度分析的準確性。