大概念視角下復數乘法教學的問題設計*

杜志偉 孫傳彬

(渦陽縣第四中學 安徽亳州 233600)

一、問題的提出

數系從實數擴充到復數，乘法的運算性質保持不變，人教版教材在處理這部分內容時，直接給出復數的乘法法則，筆者在教學過程中，發現學生對這種“數學規定”產生了一定的困惑。究其原因，是學生在經歷數系擴充的過程中，沒有系統地理解這些“數學規定”。如何讓學生理解復數乘法的“數學規定”呢？《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》指出，落實核心素養，需要更新教學內容，優化知識結構，重視以學科大概念為核心，使課程內容結構化。為此，筆者以“數系擴充中的數學規定”作為大概念，將復數的乘法法則作為主要內容，圍繞大概念設計主要問題，實施單元教學。

二、單元教學整體設計

單元教學設計是以教材為基礎，運用系統論方法對教材中“具有某種內在關聯”的內容進行分析、重組、整合，并形成相對完整的單元教學設計。如何整合“具有某種內在關聯”的內容，國內外很多專家把目光聚焦于學科大概念，以大概念為錨點，分析數學知識的結構，研究數學知識的本質。借鑒已有研究成果，本文采用“總—分—總”設計模式,主要設計路徑如下：

《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》指出，本單元的學習，讓學生理解引入復數的必要性，了解數系的擴充，掌握復數的表示、運算及其幾何意義。具體內容包括：復數的概念、復數的運算、復數的三角表示。本章內容突出幾何直觀和代數運算之間的融合，重點讓學生感悟數學知識之間的關聯，加強學生對數學整體性的認識，從而培養學生數學運算和直觀想象素養。

學科大概念是指能反映學科本質，具有廣泛適用性和解釋力的原理、思想和方法，它能將多樣化的數學概念連接為統一的整體，從而避免當下教學設計過于注重單個知識點和學生學習過于碎片化的現象。本單元研究的主要問題是數系擴充過程中的新概念、數的表示、運算法則及其幾何意義。在數系的擴充過程中，如何定義一類新的數，如何規定它的運算性質及其幾何意義等，教材都做了規定，學生需要探究的是為什么這么規定以及這些“數學規定”的合理性。因此，將本單元的大概念提煉為“數系擴充中的數學規定”。

本單元的學習，學生要掌握復數的概念、表示、運算和幾何意義，因而復數的學習可以類比實數的學習，二者的運算和幾何意義，具有很多的相似性，如實數可以和數軸上的點建立一一對應關系，復數可以和平面上的向量建立一一對應關系，只是前者是一維的，后者是二維的。圍繞大概念“數系擴充中的數學規定”，本單元教學目標設計如下。

單元教學中如何滲透大概念，如何完成單元目標中的“所知、所能和所成”，需要教師設計基本問題。基本問題要具有明確的指向性和驅動性，指向大概念的理解和掌握，驅使學生具備理解大概念所需要掌握的知識和能力，最終發展其數學核心素養。下面以復數的乘法為例，設計單元教學基本問題。

問題2 對于數列1,x,-1，你能否找到一種運算，將1轉變為x，再將x轉變為-1？

追問1 計算i，i2，i3的值，你發現了什么？這里面包含了什么運算？

追問2 從復數的幾何表示出發，解釋i·i的幾何含義。

追問3 類比上面處理問題的方法，你能否解釋1·i，1·i·i的幾何含義？

圖1 復數的幾何解釋

問題3 你是如何理解教材中對復數乘法法則的規定的？

追問1 你在什么地方也遇到過這樣的“規定”？

追問2 這些“數學規定”在某種程度上有沒有共性？

追問3 這樣的“數學規定”有什么意義？

從小學到高中有許多“數學規定”，如0乘任何數都等于0，a0=1，空集是任何集合的子集。如何將這些“數學規定”聯系起來，幫助學生發現這些“數學規定”的共性和合理性，是本節課的教學難點。本節課以“數系擴充中的數學規定”作為大概念，引導學生探究小學、初中和高中遇到的“數學規定”。在學生暢所欲言后，教師可適當作一些歸納總結。數學課程中的“規定”具有一定的思想性：(1)確定性。如函數定義中的“確定性”是為了讓函數模型符合實際，質數不包含1是為了保證任何一個合數分解成質數的形式唯一；(2)辯證統一性。在數系擴充的過程中，要讓新的運算符合相應的規律或者規則，不能僅僅憑自身判斷，如無理數指數冪、有理數指數冪運算遵循整數指數冪運算法則，規定20=1而不是0，是因為20=22÷22。

問題4 請探究復數乘法是否滿足交換律、結合律和乘法對加法的分配律。

追問1 你將如何證明復數乘法的運算律？

追問2 結合實數和復數乘法運算律，再次感受“數學規定”的意義。

探究復數乘法運算律是研究一類新的運算的必經之路，課本以探究題的形式，引導學生發現并證明復數乘法的運算律。學生通過探究，不僅可以發現復數乘法的運算方法，同時還能發現復數乘法和實數乘法具有一定的一致性。在探究問題的過程中，教師要做好引導。以乘法的交換律證明為例，首先引導學生探究z1，z2，z3∈C，等式z1·z2=z2·z1是否成立？其次，以其中某一等式為例，引導學生嘗試證明，并予以示范。學生在證明的過程中，將體會到復數的乘法要依托實數的乘法，同時這種嚴密的思維訓練將為大學線性代數的學習打下基礎。

問題5 試探究復數乘法的幾何意義。

追問1 借助圖形，表示復數加法的幾何意義。

追問2 復數的乘法與向量有沒有關系？請說明原因。

追問3 將1轉變為x，再將x轉變為-1時有沒有出現乘法，乘的是什么？其幾何含義是什么？

追問4 你覺得復數的乘法與什么有關？

問題6 你能不能引進新的量來表示復數和復數的乘法？

追問1 如圖(見圖2)，設復數z滿足|z|=r，∠xOz=θ，求復數z.(將復數z寫成a+bi的形式)

圖2 復數的三角表示

追問2 已知z1=r1(cosθ1+isinθ1)，z2=r2(cosθ2+isinθ2)，求z1·z2。

追問3 用圖形來表示追問2中的z1·z2。

追問4 復數的乘法的幾何意義是什么？

追問5 設復數z滿足(1+i)z=2i，求|z|.

大概念單元教學評價以形成性評價為主，根據教師設計的表現性任務，重點關注學生的思考過程、行為表現和情感態度，即什么證據能表明學生或協作小組已經深入思考了這些問題，并表現出積極修訂、積累經驗的傾向。本單元的學習評價主要考查學生對數系擴充的理解水平，根據各層次的表現性任務，評價要點如下表(見表1)所示。

表1 學習評價表

三、課堂教學反思與建議

以大概念為核心的單元教學設計的主要特征有關聯性和整體性，在復數乘法的單元教學設計中，以“數系擴充中的數學規定”作為大概念，將有理數到實數的擴充過程中的思想方法應用到本單元中，同時復數的乘法又將復數的幾何意義、復數的加法和三角表示串聯起來，促進學生整體上建構數學知識體系。

(一)以大概念為錨點，保證課程結構的完整性

數學知識之間具有嚴密的邏輯關系，且這種關系是一種具有層次的網狀結構，以教材為主的單元(章節)和以發展學生核心素養為目的重組的“大單元”，在一定程度上能幫助學生探究數學知識間的關系，從而建構知識體系。如何組織單元教學，需要以學科大概念為錨點，不僅能在橫向上精選知識，完善知識結構，而且能在縱向上促進小初高銜接。

(二)以基本問題為核心，提高學生的數學理解能力

如何在教學中落實核心素養？需要教師圍繞大概念，設計促進學生理解大概念的基本問題。基本問題的設計要考慮學生的數學經驗和生活經驗，從學生的實際生活出發，聯系學生已有的數學知識和方法，以促進學生概念進階為目的，以發展學生數學核心素養為目標，選擇恰當的問題、設置合理的表現性任務，幫助學生對知識進行選擇、加工和處理，促進學生對數學知識的理解。