優化解題策略 突破思維障礙

?江蘇省鄭集高級中學城區校區 楚先雷

在高中數學學習中常常會出現這樣的情況，學生課上學得很輕松，概念、定理、公式背得滾瓜爛熟，課內的練習題做起來也是得心應手，然而課下練習或考試時處理一些綜合性問題卻常常感覺無從下手，要么找不到解題的思路，要么因運算或思路受阻而造成解題中斷，不僅解題效率無法提升，解題的準確率也難以保證.那么是什么原因造成了解題障礙呢？在解題中又應該如何突破呢？筆者分析了出現障礙的原因，并以一道解析幾何題為例，探析了幾點優化策略，供參考.

1 出現障礙的原因

學生在學習中之所以聽得懂而不會解題主要有以下幾點原因：

首先，教學形式單一.雖然信息技術的發展為教學形式的多樣化提供了更多的可能，但部分高中教師覺得教學時間緊、任務重，沒有必要將精力放在花哨的形式上，在教學中依然習慣講“干貨”，課堂依舊以“灌輸”為主，學生的積極性和參與度難以提升，課堂效率低下.

其次，教學內容單一.教材是抽象出的精華，其中蘊含著豐富的內涵.教學時若僅圍繞教材，不重視知識的拓展，也不關注知識點間的聯系，學生的眼界難以拓寬，知識體系也難以得到完善，這樣勢必影響學生數學知識綜合應用能力的提升.

再次，學生自主學習能力差.以傳授為主的數學課堂，教師往往將重難點以灌輸的方式教給學生，在學生解題時也會下意識地加以提醒.這樣學生在教師的引導下解題顯得得心應手，然而放手讓學生自己解題時，因為沒有教師的提醒和引導，學生在審題時不能提取更多的有用信息，也不能將已知和結論進行關聯，進而難以找到解題的突破口，故出現了“懂而不會”的現象.可見，對教師的依賴影響了學生自主學習能力的提升，也限制了學生思維能力的發展，顯然不利于解題能力的提升.

最后，學生獨立思考能力匱乏.因教師錯誤地認為只有講得多，學生才能學得多，殊不知，講的越多學生思考的時間就越少，這樣使得數學學習變成了簡單的機械記憶，學生分析問題的能力難以提升，知識難以內化，學習能力也難以提升.因此，放手讓學生思考顯得尤為重要，給學生時間讓其利用已有經驗進行新知的自我內化和自我完善，有助于個體學習能力的提升.

2 突破障礙的策略

基于解題中出現的“懂而不會”的現象，筆者例舉了一道簡單的解析幾何問題，以期通過觀察、總結、反思引導學生關注問題的本質，重視知識的拓展和延伸，最終將知識轉化為能力.

題目△ABC三個頂點的坐標分別為A(4,1)，B(7,5)，C(-4,7)，求∠A的平分線所在直線l的方程.

2.1 認真審題，抓住題目特征

審題是解題的第一步，也是最關鍵的一步.只有會審題才能從眾多已知中提取出有利于解題的重要信息，進而抓住題目特征，找到解題的切入點，從而順利解決問題.當然，審題能力的培養不是一蹴而就的，這不僅需要長期的引導和培養，也需要學生具備堅實的基礎和完善的認知結構.審題能力是學習能力的一種重要表現形式，是解題的重中之重.

圖1

評注：本題應用了數形結合的解題策略，通過觀察找出了特殊點E，根據等腰三角形的性質找到了解題的突破口，此方法也展示了學生較強的觀察能力.雖然本題順利求解了，但點E具備一定的特殊性，所以方法1并不具備一般性，故需要嘗試應用其他方法繼續探究.

圖2

評注：方法2根據已知條件得到了∠BAC=90°，進而借助這一特殊特征找到了解題的切入點，通過求l的斜率完成求解.

反思：從兩種解決方法來看，雖然解題的思路不同，但都是從已知出發，通過觀察分析得出題目的重要特征，然后借助特征求解.顯然，本題的已知條件中隱含一定的特殊性，如點E為線段AC的中點，∠BAC=90°等；若本題無這些特殊的性征，是否也可以求解呢？基于此，引導學生將問題向一般性轉化，進而找到解決此類問題的通法，作進一步推廣.

2.2 化特殊為一般，深挖問題的本質

提升學生的解題能力必須讓學生掌握解決問題的一般方法，這樣學生在解題時才能結合已知條件迅速地找到適合的切入點，進而找到解題思路.

圖3

方法3：如圖3，在射線AC上取一點B′(x,y)，使|AB′|=|AB|=5，則有

由x<4，解得x=0，y=4，即B′(0,4).接下來可以利用方法1的解題思路求解.

評注：顯然方法3中求點B′應用的是一般方法，通過構造等腰三角形ABB′，將∠A的平分線問題轉化為△ABB′高的問題，進而通過求解BB′的斜率得到直線l的方程.

評注：方法4為方法2的一般方法，拋開∠BAC=90°這一特征，從一般的角度進行思考，進而找到了解決問題的一般方法.

若本題作為考試題，學生可以根據題目的已知條件，利用特殊值求解，這樣往往會減少計算量，有利于提升解題效率.然而在日常教學中不僅要關注題目的特殊特征，而且要引導學生尋找一般的解題方法，這樣即使已知中條件不存在特殊的特征，學生也能根據通法找到合適的解題方法.因此，在教學中切勿就題論題，一定要注意引申和拓展，進而讓學生抓住問題的本質，優化解題思路和方法，提升解題效率.

2.3 關注轉化，促思維升華

為了拓寬學生視野，拓展解題思路，在教學中教師要善于引導學生通過多種解法來發展學生的思維能力.本題雖為一個平面幾何問題，但在解題時是否可以利用代數方法，即通過方程、不等式求解呢？

設D(x,y)，則有

故根據兩點式求得直線l的方程為7x+y-29=0.

當然，本題還可以應用其他方法求解，如利用角分線性質3，借助點B關于直線l的對稱點B′進行求解，或利用向量法求解等.一題多解的目的就是為了引導學生多觀察、多聯想，突破思維局限，盡量發散思維，提升思維能力.同時，一題多解有利于學生掌握問題的本質，在理解通性和通法的基礎上，通過轉化找到解題的最優方案，進而提升解題效率.

總之，若想提升學生的解題能力，在日常解題教學中就不能拘泥于一種解法.要通過一題多解引導學生關注知識點間的聯系，加深對問題本質的理解，從而使問題從特殊向一般轉化，使思維從單一化向多元化轉化，進而在積累解題經驗的基礎上促進思維能力的提升，推動學生的全面發展.