運用復數思維解決非復數類問題“五法”

?福建省廈門市第六中學 吳 瑾

1 引言

高中關于復數的系統學習，主要集中在人教版選修2-2第三章“數系的擴充與復數的引入”.復數思維是建立在復數知識之上的一種重要數學思維，它利用復數的代數式、三角式，模及其運算的幾何意義，為我們解決代數、三角、幾何等學科中的非復數問題提供了又一個思維方法和解題途徑.

2 解決非復數問題“五法”

2.1 利用復數冪的周期性

根據代數式的對稱性和排列組合數的規律性，我們可以將其轉化為復數問題[1]，利用復數的性質進行求值或證明，從而達到快速解題的目的.

=1+ωn+(ω2)n

又根據二項式定理,得

方法與技巧：通過觀察，發現題目中這些組合數的上標從0，1，2，3起，組合數的符號具有“+、+、-、-”的周期性，自然會聯想到復數，進而利用復數的性質完成證明.本題主要運用了in的周期性及棣莫佛定理.

2.2 利用復數的模

利用復數模的不等式，能夠為我們解決實數的有關問題提供模型，把諸如求函數值域、解(證明)不等式、求極值等問題轉化為復數問題.這種間接的解題方法具有“化繁為簡”的優越性.

f(x)=|z1|-|z2|.

因為 ||z1|-|z2||≤|z1-z2|=1,

①

所以||z1|-|z2||<1.

故所求函數的值域為(-1,1).

方法與技巧：本題巧妙地利用了復數模的不等式，將函數問題轉化為復數問題.從本題的求解過程可以發現以下規律，對于復數模的不等式||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|，當且僅當z1=kz2(k>0)時，|z1+z2|=|z1|+|z2|，|z1-z2|=|z1|-|z2|；當且僅當z1=kz2(k<0)時，|z1+z2|=||z1|-|z2||，|z1-z2|=|z1|+|z2|.

例4已知|a2-b2|+2|ab|=1(a，b∈R).

證明：設z=a+bi，則z2=a2-b2+2abi.于是 |Re(z2)|+|Im(z2)|=1.

因為對于任意復數z，總有

②

所以可得|z|2=|z2|≤|Re(z2)|+|Im(z2)|=1，即|z|≤1.

方法與技巧：本題是運用復數的模證明不等式的典型實例，其中②式揭示了復數的模與其實部、虛部絕對值之間的關系，把a2-b2與2ab看作復數(a+bi)2的實部與虛部也是解題常用的一種技巧.

2.3 利用復數積(商)的輻角

在求三角函數值的一些問題中，可以利用復數積的輻角等于兩個復數的輻角之和，或者運用共軛復數的性質進行等價變形等方法來求解，這樣既可以避免繁瑣的計算，又容易找到解決問題的突破口.

所以原式=arg(3+i)+arg(5+i)+arg(7+i)+arg(8+i)

=2kπ+arg[(3+i)(5+i)(7+i)(8+i)]

方法與技巧：本題將反三角函數中的角轉化為復數的輻角，進而利用復數積的輻角等于各復數輻角之和，充分體現了用復數思維解這類題的優越性.

圖1

例6如圖1，在平面直角坐標系中，在y軸的正半軸(坐標原點除外)上給定兩點A，B，試在x軸的正半軸(坐標原點除外)上求點C，使得∠ACB取得最大值.

解：以直角坐標系確定一個復平面，設A，B，C三點對應的復數為zA,zB,zC，則

zA=ai，zB=bi(00).

2.4 利用復數的n次方根

例7求tan 9°+cot 117°-tan 243°-cot 351°的值.

解：設z=cos 9°+isin 9°，則z10=i.

所以 tan9°-cot351°+cot117°-tan243°

=tan9°+cot9°-tan27°-cot27°

方法與技巧：本題先利用誘導公式，將諸角化為某一個角的倍數關系，以便應用棣莫佛定理的變形公式.由解題的過程可以看出，運用復數思維來步步化簡的方法顯得非常簡潔明快.

證明：因為z7-1=(z-1)(z6+z5+z4+z3+z2+z+1)，又根據根的定義，有

令z=1，得

2.5 利用向量的旋轉與共線

對于解析幾何中涉及到的較復雜的特殊角的多邊形類問題，如果利用復向量的旋轉與共線的性質來解決會顯得很簡捷.

圖2

解：如圖2，根據直角坐標系確定一個復平面，設點P，Q，A對應的復數分別為zP，zQ，zA，根據點P，Q關于點A對稱可知z→AP=z→QA.

即

zP-zA=zA-zQ.

③

又因為zA=9,所以zQ=18-zP.

因為z→O′P=zP-zO′=zP-(5+5i),所以z→O′R=z→O′P·i=zPi+(5-5i).

于是zR=z→O′R+zO′=zPi+(5-5i)+(5+5i)=zP·i+10.

z→QR=zR-zQ=(zP·i+10)-(18-zP)=(1+i)·zP-8=[zP-(5+5i)](1+i)+5(1+i)2-8=[zP-(5+5i)](1+i)-(8-10i).

方法與技巧：本題中運用共線向量導出③式以便應用zA=9；將zP配湊成zP-(5+5i)以便取模得到半徑，這些都是我們應當學習和掌握的解題技巧.

圖3

例10如圖3，∠MON=60°，邊長為a的正三角形ABP在∠MON內滑動(不能翻轉)，使點A始終在OM上，點B始終在ON上，求點P的軌跡方程.

方法與技巧：本題是把求動點軌跡的問題轉化為復數(復平面)問題來求解，除了運用復數思維，本題還體現了求軌跡問題的設參、消參等參數思想.

3 總結

從上述典型例題的解答中可以看到，運用復數思維解決非復數類問題的方法和技巧具有廣泛性、實用性和極大的靈活性.我們應該通過多種練習，學習、領會和掌握這些方法與技巧，這有助于開闊我們的思路，不斷提高綜合解題能力.