“1”的10用技巧

?浙江省杭州市蕭山第二高級(jí)中學(xué) 吳葉芳

“1”真是個(gè)神奇的數(shù)字，從小學(xué)開(kāi)始我們就知道，“1”是一個(gè)自然數(shù)，是最小的正整數(shù)，是奇數(shù)，“1”既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)，還學(xué)會(huì)了設(shè)“單位1”的解題思路與方法[1].到了中學(xué)階段，又學(xué)會(huì)了更多更巧妙地利用“1”的各種性質(zhì)來(lái)解題的方法與技巧.下面我們通過(guò)實(shí)例來(lái)歸納“1”在數(shù)學(xué)解題中的10種靈活用法.

1 “1”的正用與逆用

例1求證：tan2α+cot2α+1=(tan2α+tanα+1)(cot2α-cotα+1).

證明：右邊=(tan2α+tanα+1)(cot2α-cotα+1)

=cotα(tan2α+tanα+1)·tanα(cot2α-cotα+1)

=(tanα+1+cotα)·(cotα-1+tanα)

=(tanα+cotα)2-1

=tan2α+cot2α+1

=左邊.

所以原式得證.

點(diǎn)評(píng)：在三角函數(shù)中，“1”可以變換為“tanα·cotα”，本題正是反復(fù)正用和逆用了“1=tanα·cotα”這一性質(zhì)，使證明過(guò)程變得簡(jiǎn)捷.

2 巧用“1”求概率

例2某縣選派甲、乙兩所中學(xué)的12名學(xué)生組隊(duì)參加市創(chuàng)客大賽決賽，其中甲中學(xué)推薦了3名男生、2名女生，乙中學(xué)推薦了3名男生、4名女生.兩校隊(duì)員在市教育局集中培訓(xùn)了2天后，因參賽名額限制，決定從兩校隊(duì)員的男生中隨機(jī)抽取3人，女生中隨機(jī)抽取3人，組成代表隊(duì)參加決賽.求甲中學(xué)至少有1名學(xué)生入選的概率.

點(diǎn)評(píng)：本題的思路是利用概率的性質(zhì)從反面求解；因?yàn)樗惺录怕实目偤偷扔?，所以可先求出事件A的反面“甲中學(xué)無(wú)學(xué)生入選”的概率，再用1減去這個(gè)概率即可.

3 妙用“1”化簡(jiǎn)求值

4 換用“1”求極值

5 作中間變量比較大小

例5比較a=ln 2，b=20.3，c=0.32的大小.

解：ln 20.32，所以c

點(diǎn)評(píng)：“1”作為中間變量，在比較大小的運(yùn)算中具有橋梁的作用[2]，很多數(shù)的大小都以0,1為臨界點(diǎn).

6 解決橢圓的相關(guān)問(wèn)題

點(diǎn)評(píng)：本題為了避免求a,b,c的值，將方程中的a設(shè)為1，再根據(jù)橢圓中a2=b2+c2的關(guān)系將b2寫(xiě)成b2=1-c2，然后將上述方程轉(zhuǎn)換成一個(gè)關(guān)于e的方程，最后解出e的值即為所求的離心率.

7 化歸構(gòu)造公式

例7已知A=(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)，試求A-2 003的末尾數(shù)是多少？

解：原式左邊乘(2-1),得A=(2-1)·(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)=(24-1)(24+1)·(28+1)=(28-1)(28+1)=216-1.

因?yàn)?1=2，22=4，23=8，24=16，25=32，個(gè)位數(shù)的特點(diǎn)是每4個(gè)一循環(huán)，而16÷4=4，所以216的末位數(shù)字是6，那么A的末尾數(shù)字是5，A-2003的末尾數(shù)是2.

點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用化歸思想，巧用“1”乘任何數(shù)結(jié)果不變的特點(diǎn)把“1”變成(2-1)的形式，靈活地構(gòu)造出能夠運(yùn)用平方差公式的式子.

8 用代換法解方程

例8解方程：4x-3=1.

解：因?yàn)閍0=1(a≠0)，則4x-3=40，所以x-3=0，解之得x=3.

點(diǎn)評(píng)：本題主要是靈活代換了a0=1(a≠0),將指數(shù)方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程，進(jìn)而輕松獲解.

9 解決函數(shù)恒過(guò)定點(diǎn)的問(wèn)題

例9函數(shù)y=loga(x-4)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)______.

解：由對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0且a≠1)的圖象恒過(guò)點(diǎn)(1，0)，得x-4=1，則x=5.

所以函數(shù)y=loga(x-4)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)(5，0).

點(diǎn)評(píng)：指數(shù)型函數(shù)與對(duì)數(shù)型函數(shù)圖象恒過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題是高考常考的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，解答這類題型經(jīng)常會(huì)用到常數(shù)“1”的轉(zhuǎn)化技巧.

10 求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程

例10設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)為拋物線y2=4px(p>0)上原點(diǎn)以外的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若OA⊥OB,OM⊥AB，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡.

解：(1)當(dāng)直線AB垂直于x軸時(shí)，M(4p,0).

兩邊同除以x2，整理得

y=k(x-4p).

①

又因?yàn)镺M⊥AB，所以直線OM的方程為

②

由①×②消去k，得y2=-x(x-4p)，即(x-2p)2+y2=(2p)2，且M(4p,0)也滿足這個(gè)方程.

所以，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以(2p,0)為圓心，2p為半徑的圓.

事實(shí)上，“1”的用法何止10種！上述舉例只是窺其一斑而已，要知“全豹”，學(xué)習(xí)和掌握更多的“1”的妙用技巧，還需要我們?cè)诮忸}過(guò)程中不斷探索、不斷反思、不斷總結(jié)，學(xué)以致用，不斷提高.