追根溯源 推廣探究
——以2021年數學新高考Ⅰ卷第21題為例

?安徽省蕭城一中 楊 剛

教材與考試大綱是歷年高考命題最直接、最基本的基石，尤其數學教材一直是高考命題的主要依據.借助數學教材中的一些例(習)題，或融合數學知識，或挖掘問題背景，或提煉思想方法，或優化解題策略，或倡導綜合應用，或拓展探究提升等，形式各樣，變化多端.高考命題植于教材情理之中，源于教材意料之外，高于教材能力之上.

1 真題呈現

(1)求C的方程；

題目設置比較常規，第(1)問通過雙曲線的定義確定軌跡方程，比較簡單，如果采用直譯題意建立關系式來處理，化簡方程時運算量比較大；第(2)問通過直線方程的設置，聯立直線與雙曲線方程，消元處理，思維也比較常規.

2 追根溯源

以上高考真題源于普通高中課程標準實驗教科書《數學·選修4-4·A版》(人民教育出版社，2007年1月第2版)第38頁例4：

AB，CD是中心為O的橢圓的兩條相交弦，交點為P.兩弦AB，CD與橢圓長軸的夾角分別為∠1，∠2，且∠1=∠2.求證：|PA|·|PB|=|PC|·|PD|.與以上教材中的例4相應的探究題：如果把橢圓改為雙曲線呢，是否有類似的結論？

3 真題破解

高考真題的第(1)問比較常規，其解答過程如下：

方法一：設線法——普通方程.

所以 |TA|·|TB|

根據|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，可得

所以，直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和為0.

點評：設直線的普通方程，是破解此類直線與圓錐曲線位置關系問題最常用的基本方法.根據直線存在斜率，設出直線的點斜式方程，與圓錐曲線方程聯立，結合消元轉化為對應的方程，利用根與系數的關系以及弦長公式加以變形與轉化，借助替換法求解另兩條線段長積的表達式，進而確定兩直線的斜率之和為0.設線之普通方程法是最基本，也是破解時最容易想到的思路方法，但運算量比較大.

方法二:設線法——構造方程.

所以 |TA|·|TB|

以下與方法一的解析相同.

方法三:設線法——參數方程.

根據|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，可得

所以16cos2α-sin2α=16cos2β-sin2β.

即17cos2α-1=17cos2β-1，亦即cos2α=cos2β.

由α≠β，可得cosα=-cosβ，于是α+β=π，則有tanα=-tanβ，即tanα+tanβ=0.

所以直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和為0.

點評：設線之參數方程法，可以直接利用直線參數方程中對應參數的幾何意義來處理與轉化有關的線段長度問題，使問題的破解更加直接有效；同時又可以避免討論直線斜率的存在性問題，在一定程度上可優化解題過程，減少運算量.設線之參數方程法，現行的教材不作要求，但作為拓展與提升的知識，有時可以很好地處理一些相關問題.

4 變式拓展

事實上，以上高考真題中“有相同交點的兩割線長度的乘積相等”與“有相同交點的兩割線所在的直線的斜率之和為0”是等價條件，可得到以下對應的變式問題.

(1)求C的方程；

所以|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|.

5 推廣探究

總結以上橢圓、雙曲線的問題，進一步加以推廣探究，可以得到以下一般性的結論：

若AB，CD是中心為O的圓錐曲線(橢圓、雙曲線或拋物線中的一種)的兩條相交弦，交點為P.兩弦AB，CD的傾斜角分別為α，β(α≠β)，則α與β互補? |PA|·|PB|=|PC|·|PD|.

此處兩條相交弦所在的直線的傾斜角互補，可以有其他的等價說法，如對應直線的斜率之和為0等.