多角度計算一個三棱錐的體積

?甘肅省張掖市體育運動學校 張青鳳

體積問題是立體幾何中的一個常考問題，如何解決此類問題呢？首先，識別所要計算的立體圖形；其次，分析圖形的結構特征.常見的解決方法包括：公式法、割補法、向量法.對于較為復雜的圖形，還可以利用等價轉化法、質點幾何法、祖暅原理法求解.下面通過一道立體幾何模擬題來展示計算體積的各種方法.

1 題目及分析

圖1

(2022屆廣東省12月份聯考第12題改編)如圖1，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，M,N分別是AD,CC1的中點，P,Q分別是線段AB,C1D1上的點，且AP=2PB，C1Q=2QD1，求三棱錐Q-PMN的體積.

分析：本題所需求體積的幾何體為一個三棱錐，如果直接選擇公式求解，其難度主要集中在“高”的運算上.對于高的運算，可利用幾何法即通過空間中線面間的位置關系構造出“高”再進行計算；或利用向量進行計算.

2 解題探析

方法1：通過計算三棱錐的高來計算體積.

因為在本題中利用幾何法計算三棱錐的高需要構造較多的輔助線，且證明過程較為冗長.本文中不運用該方法求解.僅介紹如何利用向量法求解.

圖2

如圖2，以D為原點，以直線DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸建立空間直角坐標系.

圖3

方法2：割補法求解.

圖4

如圖4，延長QN，DC相交于點T，連接MT，PT.考慮三個三棱錐Q-MPT，Q-MPN，N-MPT.根據體積的可加性知VQ-MPN=VQ-MPT-VN-MPT.

方法2中除了運用割補法外，還體現了等價轉化的思想.接下來將介紹等價轉化法的一般策略.

方法3：等價轉化法.

根據三棱錐的體積公式，可知等底等高的三棱錐體積均相同.為此，可以從構造高的視角進行轉化.

如圖5-1，設點E為B1C1的中點，易得QE∥MP，從而QE∥平面PMN，因此VQ-MPN=VE-MPN.

圖5-1

圖5-2

通過上述解析可知，割補法與等價轉化法常常混合使用.

方法4：質點幾何法[1-2].

質點幾何法的本質是給立體圖形中的各點按線段間的比例賦予一定的質量，再利用質點間的運算法則計算所形成圖形的面積或體積.

因為M，N分別是AD，CC1的中點，所以可設

2M=A+D，2N=C+C1.

①

又因為AP=2PB，C1Q=2QD1，所以可設

3P=A+2B，3Q=C1+2D1.

②

由上述①②中四個方程質點間的運算，可得

36QMPN=(A+D)(C+C1)(A+2B)(C1+2D1)，

③

其中QMPN表示三棱錐Q-MPN的體積，對于③式右側展開式中出現相同點或四點共面的情形時，其對應的體積即為0.據此可知，上式右側展開后剩余的項為

2ABCC1+4ABCD1+ADCC1+2ADCD1+2BDCC1+4BDCD1+2ADC1D1+4BDC1D1.

④

3 解后反思與教學建議

上述的解答過程體現了研究立體幾何中體積問題的各種視角.除了上述方法外，還可利用向量的混合積以及祖暅原理進行求解.

為了突破這一難點，筆者認為可以從以下幾個方面入手.教師要帶領學生識圖，分析圖形的結構特征，根據圖形的特點選擇恰當的公式進行運算.現階段因為信息技術在教學中的應用，所有的立體圖形都可用GeoGebra等數學軟件進行繪制.學生可從視覺上直觀感受圖形的變化以及形成過程.一方面要在教學中靈活地運用相關軟件，提升教學效率；另一方面，也要培養學生基本的繪圖原理，在繪制的過程中感受各種幾何量的形成過程以及依存關系.

在體積的運算過程中，還常常涉及面積等平面幾何的知識.在該板塊的教學中，要帶領學生復習解三角形及平面幾何中的有關知識以及運算技巧.例如，在上文中利用割補法計算△MPT的面積時，可將其理解為四邊形AOTD中的圖形，結合平面圖形的性質即可快速求解.

最后，在教學中要帶領學生開拓視野.如上文中的質點幾何求解法，其本質是構建了一套新的運算法則與規律.在教學中，可通過平面圖形中的面積運算類比至立體幾何中的體積運算.