研題“四部曲”，解題新境界

?江蘇省常州市北郊高級中學 顧海波

1 問題呈現

高考真題(2020年高考數學江蘇卷第11題)設{an}是公差為d的等差數列，{bn}是公比為q的等比數列．已知數列{an+bn}的前n項和Sn=n2-n+2n-1(n∈N*)，則d+q的值是________．

2 第一部曲：會讀

等差數列與等比數列是兩種特殊類型的基本數列，它們有著各自的定義、性質、通項公式與前n項和公式等，相互之間既有聯系又有區別．在一些綜合應用問題中，經常會碰到等差數列與等比數列之間的融合與交匯問題，形式多樣，創新新穎，是歷年高考中的熱點與亮點題型之一，倍受關注．

此題結合兩個特殊類型的數列以創新全新形式呈現，利用一個等差數列與一個等比數列構成的和式數列{an+bn}的前n項和來確定公差d與公比q和的值．合理把數列、數論等相關知識加以有機交匯與融合，以創新新穎的面貌展示在大家面前．

題目簡單明了，難度適中，巧妙綜合了等差數列與等比數列的定義、通項公式與前n項和公式等相關知識，是一道不可多得的數列創新綜合題，值得好好品味與研究．

3 第二部曲：會解

美國數學教育家波利亞說過：“掌握數學就意味著要善于解題．”在讀懂題意的情況下，會解決問題是基本能力之一，也是數學教育與學習的主要目的．

3.1 思維視角一：代數運算

方法1：代數運算法.

解析：當n=1時，S1=a1+b1=1-1+2-1=1.

當n≥2時，an+bn=Sn-Sn-1=n2-n+2n-1-[(n-1)2-(n-1)+2n-1-1]=2n-1+2n-2.

所以

a2+b2=22-1+2×2-2=4，

a3+b3=23-1+2×3-2=8，

a4+b4=24-1+2×4-2=14.

由a2+b2=a1+d+b1q=4，

a3+b3=a1+2d+b1q2=8，

a4+b4=a1+3d+b1q3=14,

可得

d+b1(q-1)=3，

d+b1q(q-1)=4，

d+b1q2(q-1)=6.

即

b1(q-1)=3-d，

b1q(q-1)=4-d，

b1q2(q-1)=6-d.

故填答案：4．

點評：通過n的分類討論以及數列{an+bn}的前4項的確定，結合a1+b1=1與相應的關系式進行代數運算，并結合條件關系式的轉化建立相應的方程，從而得以確定d與q的值．其實，在確定an+bn=2n-1+2n-2時，分別利用等差數列與等比數列的函數性，可以直接確定an=2n-2，bn=2n-1，進而確定公差與公比的值.在解決小題時經常可以這樣處理，以節省時間．

3.2 思維視角二：公式應用

方法2：對比系數法.

解析：等差數列{an}的前n項和公式為

根據題意知q≠1，則等比數列{bn}的前n項和公式為

所以d+q=2+2=4.

故填答案：4．

點評：根據等差數列與等比數列的前n項和公式建立相應的關系式，結合條件Sn=n2-n+2n-1，通過對比相應關系式中的系數建立對應的方程組，進而確定相關參數d與q的值．從數列求和公式入手進行對比系數法處理，從而解決問題．

3.3 思維視角三：函數性質

方法3：待定系數法.

解析：根據等差數列與等比數列的函數性質，可知Sn=An2+Bn+C(qn-1)=n2-n+2n-1.

所以有A=1，B=-1，C=1，q=2.

所以d+q=2+2=4.

故填答案：4．

點評：根據等差數列與等比數列的函數性質，引入參數，直接確定對應的前n項和公式的表達式，結合條件Sn=n2-n+2n-1，通過對比相應關系式中的系數關系及待定系數法的轉化，進而確定相關參數d與q的值．待定系數法，抓住數列的函數性，引入參數，巧妙快捷．利用數列的函數性質加以處理，充分體現了新課標數學高考的“多考思維，少考計算”的命題新理念，意在考查學生的分析、觀察、歸納、猜想和邏輯推理等能力，充分體現學生思維能力的差異性，具有很好的選拔性與區分度．

4 第三部曲：會變

將原題從視角、深度、廣度等方面加以思考與推廣，進行多方位的認識與應用，從而充分體會與挖掘原題的訓練與應用價值．

探究1：保留題目的背景，改變“兩數列對應項的和式數列{an+bn}的前n項和”為“兩數列對應項的積式數列{anbn}的前n項和”，深入拓展應用，提升問題難度，得到以下變式問題．

變式1設{an}是公差為d的等差數列，{bn}是公比為q的等比數列．已知數列{anbn}的前n項和Sn=(2n-4)·2n+4(n∈N*)，若b1=1，則d+q的值是________．

解析：當n=1時，S1=a1b1=(2×1-4)×21+4=0.

當n≥2時，anbn=Sn-Sn-1=[(2n-4)·2n+4]-[(2n-6)·2n-1+4]=(n-1)·2n.

上式也適合n=1的情形，所以

anbn=(n-1)·2n，n∈N*.

又anbn=[a1+(n-1)d]·b1qn-1=(b1dn+a1b1-b1d)·qn-1=(2n-2)·2n-1，對比系數可知

由b1=1，得d=2，所以d+q=2+2=4.

故填答案：4．

點評：同樣的道理，通過n的分類討論來確定數列{anbn}的通項公式，分別結合等差數列與等比數列的通項公式來建立與之相應的關系式，通過對比相應關系式中的系數建立對應的方程組，并結合相關條件確定參數d與q的值．

探究2：保留題目的背景，改變兩個不同數列之間關系的給出方式，以通項公式的關系式為背景來設置問題，從另一角度加以合理變形，得到以下變式問題．

結合等差數列的通項公式，可知(a1+nd)(a1+nd-2d)=q(a1+nd-d)2對一切n∈N*恒成立.

整理，可得

因為q為常數，且n∈N*，所以d=0，q=1，可得

d+q=0+1=1.

故填答案：1．

點評：利用等比數列的定義，結合數列的遞推關系式得到對應的關系式，將恒成立的關系式分離參數q，結合其為常數的隱含條件確定對應的參數值，進而利用數論的相關知識加以分析與推理，并結合相關條件確定參數d與q的值．

5 第四部曲：會學

高中數學學習的主要目的就是讓學生會解決問題，會學習，特別是會自主學習，這才是素質教育的核心，也是學生終身學習的基礎．結合數列知識的內涵，可以得到三個方面的啟示，為學生學會自主學習指明方向．

5.1 把握實質

選擇題或填空題中的數列小題，一般來說是中檔層次的問題．對此類數列問題，學生經常出現的易錯點是對數列本身屬性的認識不夠清晰，沒有準確把握數列中相關要素之間的變化規律．在數列的教學過程中，教師要教會學生把握數列本身的規律，進而確定數列的通項或求和等相關問題，合理提升解題能力和數學能力，養成良好的數學品質，培養數學核心素養．

5.2 交匯融合

在“知識網絡交匯處設計試題”是高考數學大綱的明確要求與高考數學命題的指導思想之一.作為數學的主干知識之一的數列，更是多知識交匯與綜合的重要載體，是創新應用與創新意識的更深層次體現，是每年高考數學中的熱點與亮點之一．數列的交匯綜合問題，以數列的相關知識為背景或串聯點，把相關的數學知識加以合理創新與融合，巧妙通過數與形、數與數等的結合，溝通數學知識之間的聯系，增強數學知識之間的交匯與綜合，提升問題的趣味性與拓展性．

5.3 創新領航

數列問題的創新設計，把數列這一代數概念拓展到更為復雜與綜合的角度進行展示，結合創新背景、創新知識、創新應用等，滲透不同類型的數列之間、數列與其他相關知識之間的聯系與交匯問題.增強邏輯推理，多閱讀，多推理.“多考思維，少考計算”，在一定程度上可以增強解題的綜合性和趣味性，激發學生學習興趣，發展分析能力和解題能力，以及數學知識的綜合應用能力和邏輯推理能力等，全面提升數學品質，培養數學核心素養．