對2022年全國新高考數學Ⅱ卷第22題的探究

?海南省昌江黎族自治縣昌江中學 廖明艷 林瑞記 ?浙江杭州優才教育科技有限公司 李紅慶

1 高考試題呈現

(2022年全國新高考數學Ⅱ卷第22題)已知函數f(x)=xeax-ex.

(1)當a=1時，討論f(x)的單調性；

(2)當x>0時，f(x)<-1，求a的取值范圍；

此題第(1)問難度較小易求解.筆者重點闡述第(2)(3)問的解題方法與邏輯分析.這兩問考查學生證明不等式的綜合能力，證明過程中會用到相關函數的性質，甚至需要學生自行構造新的函數，再推導題目中的不等式成立.

2 第(2)問的解法探析

針對第(2)問，具體解答思考過程的思維導圖如圖1所示：

圖1

解法1:探求充分性，證明必要性.

設φ(x)=ax+1-e(1-a)x，則有φ(0)=0，φ′(x)=a-(1-a)e(1-a)x.

(iii)當a≥1時，存在x0=1，使得h(1)=ea-e+1>0，也不符合題意.

令φ(x)=(x-2)ex+x+2，則φ′(x)=(x-1)·ex+1，從而φ″(x)=xex>0，故φ′(x)在(0,+∞)上單調遞增.

所以，當x>0時，φ′(x)>φ′(0)=0，即φ(x)在(0,+∞)上單調遞增，則φ(x)>φ(0)=0，即h′(x)>0，從而h(x)在(0,+∞)上單調遞增.

因此，當x>0時，h(x)>h(0)=0.

(iii)當a≥1時，存在x0=1，使得h(x0)=ln(e-1)-ln 1-a<0，不符合題意.

解法3：令t=ex>1，則x=lnt.當x>0時，f(x)<-1等價于當t>1時，f(lnt)<-1.

設h(t)=talnt-t+1<0.注意到h(1)=0，下面探求充分性.

(iii)當a≥1時，由t>1易知h′(t)>0，所以h(t)在(1,+∞)上單調遞增，故存在t>1，使得h(t)>h(1)=0.

3 第(3)問的解法探析

針對第(3)問通過對不等式的整理與變換，將證明不等式恒成立的問題轉化為兩個數列求和比較的問題.具體解答思考過程的思維導圖如圖2所示：

圖2

方法一：巧用賦值，化繁為簡.

故所證不等式成立.

方法二：應用換元的方法，將問題簡化求解.

綜上可知，所證不等式恒成立.證畢.

方法三：應用對數均值不等式切入巧解秒殺.

故原不等式得證.

2022年的全國新高考數學試卷突破了模擬試題的套路，試題呈現方式與解法都有創新.廣大數學教師要真正聚焦課堂教學，讓行之有效的學法、教法落實到位，繼續加強對命題及解題方法與策略的研究.