2022年高考數學全國乙卷導數壓軸題解析

?中央民族大學附屬中學呼和浩特分校 李雪峰

1 試題呈現

(2022年高考數學全國乙卷第21題)已知函數f(x)=ln (1+x)+axe-x.

(1)當a=1時，求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程；

(2)若f(x)在區間(-1,0),(0,+∞)各恰有一個零點，求a的取值范圍.

2 試題解析

本題的第(1)問不多贅述，下面給出第(2)問的幾種不同的思考角度和解題方法.

2.1 思路一及解法

2.1.1 解題思路一的形成

因為題中所給條件是函數零點問題，所以我們先觀察函數值的正負情況以及何時為零.

當a≥0時，若x>0,則f(x)=ln (1+x)+axe-x>0恒成立,與題意不符.因此，下面只討論a<0時的情形.

通過觀察易知f(0)=0，當x→-1時，f(x)→-∞；當x→+∞時，f(x)→+∞.要使f(x)在區間(-1,0),(0,+∞)各恰有一個零點，則可以猜測f(x)的圖象大致如圖1所示.

圖1

由圖1可知，f′(0)=a+1<0顯然為其必要條件，即a<-1.下面需要說明：①當a≥-1時，不符合題意；② 當a<-1時，討論函數f(x)的單調性，再根據零點存在定理說明在區間 (-1,0)和(0,+∞) 上各恰有一個零點.

思路一的思維導圖如圖2所示.

圖2

2.1.2 具體解法

設g(x)=ex+a(1-x2).

當-1≤a<0時，在區間(0,+∞)上，有

g(x)=ex+a(1-x2)=(ex+a)-ax2>0.

所以，在區間(0,+∞)上，f′(x)>0，f(x)單調遞增，則f(x)>f(0)=0，這與題意不符.

當a<-1時，g′(x)=ex-2ax，因為g″(x)=ex-2a>0，所以g′(x)在區間(-1,+∞)上單調遞增.

又因為g′(-1)=e-1+2a<0,g′(0)=1>0,所以存在唯一x0∈(-1,0)，使g′(x0)=0.

因此，當x∈(-1,x0)時，g′(x)<0,g(x)單調遞減；當x∈(x0，+∞)時，g′(x)>0,g(x)單調遞增.

(為直觀起見，下面分別畫出函數g′(x),g(x),f(x)的大致圖象，如圖3～5所示.)

圖3

圖4

圖5

當x∈(-1,x1)時，g(x)>0,f′(x)>0,f(x)單調遞增；當x∈(x1,x2)時，g(x)<0,f′(x)<0,f(x)單調遞減；當x∈(x2,+∞)時，g(x)>0,f′(x)>0,f(x)單調遞增.同時可知f(x1)>f(0)=0,f(x2)

(至此，利用隱零點求出了函數f(x)的單調區間.下面利用放縮法進行區間卡根，根據零點存在定理說明在區間 (-1,0)和(0,+∞) 上各恰有一個零點.)

當-1-e(證明略)，所以

f(x)=ln (1+x)+axe-x

由ln (x+1)-ea<0,得x

所以，當a<-1時，函數f(x)區間 (-1,0)和(0,+∞) 上各恰有一個零點.

綜上所述，a的取值范圍是(-∞,-1).

解法2:當a≥0時，在區間(0,+∞)上，f(x)=ln (1+x)+axe-x>0,與題意不符.下面只討論a<0時的情形.

(為直觀起見，給出g(x)的圖象，如圖6所示.)

圖6

(為直觀起見，給出g(x),f(x)的圖象，如圖7.)

下面找點說明f(x) 在區間 (-1,0),(0,+∞) 上有零點.

由ln (1+x)-ae=0，解得x=eea-1.所以可得

f(eae-1)

所以f(x) 在區間 (-1,0),(0,+∞) 上各恰有一個零點.

綜上所述，a的取值范圍是(-∞,-1).

點評：解法1和解法2的基本思路一樣，都是按照一定的標準對參數a進行分類討……