基于深度學習的課堂探究型教學設計*
——以“三棱錐的外接球問題”為例

?江蘇省阜寧教師發展中心 曹子清

1 引言

深度學習是基于數學學科核心內容，以發展高階思維能力為目標，學生圍繞具有挑戰性的學習主題進行深度探究，全身心參與學習活動，形成積極的情感、態度，獲得發展的有意義的學習過程[1].數學是思維的科學，選擇合適的數學模型表達所要解決的數學問題，通過數學學會思維，是培育數學核心素養的有效途徑.

深度學習是探究性學習，數學探究能促進學生養成必備品格、練就關鍵能力、樹立正確的價值觀.數學課堂教學，既要引導學生掌握數學知識，又要讓學生經歷數學探究過程，更要讓學生體驗隱藏在知識背后的數學思想及研究方法.《普通高中數學課程標準(2017年版)》指出：提高從數學角度發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力，通過高中數學課程的學習，樹立敢于質疑、善于思考、嚴謹求實的科學精神[2].在深度思考、充分參與、變式探究中，獲得數學學習的創新感和成就感，是數學教學的關鍵環節.下面，筆者以“三棱錐的外接球問題”設計為例，談如何做好基于深度學習的課堂探究型教學設計.

2 課堂實錄及設計說明

師：三棱錐的外接球問題是一類熱點問題，對空間想象、邏輯推理能力的要求比較高.本節課，我們就此類問題進行專題研討.

A.π B.2π C.3π D.4π

學生短暫思考后，教師隨機選取一小組上臺展示.

圖1

師：解答此問題的關鍵是什么？

生2：本題圖形具有明顯的特征，即四面體的兩個面是有公共斜邊的直角三角形，所以公共斜邊的中點到四面體的四個頂點距離相等，即為球心，半徑是公共斜邊的一半.

師：很好.請歸納一下該數學模型的相關結論.

設計意圖:深度學習需要從本源性問題入手，增強學生的體驗和理解.例1圍繞研究幾何體外接球的核心元素，從學生熟知的數學模型入手，對具有明顯特征的圖形進行模型識別，有利于學生的識圖能力的提升.

師：若三棱錐有兩個側面是直角三角形，但是不共斜邊而共直角邊呢？

學生活動：

圖2

生3：(投影展示圖2)設O1為△ABC的外接圓的圓心，連接AO1并延長交外接球于點D，連接PD，過O1作AD的垂線交PD于點O，則O為外接球球心.

師：本題解題關鍵是什么？

生3：本題的解決，充分利用了球的性質，即球心與小圓的圓心連線垂直于小圓，這也是球的一個顯性幾何特征.

師：定出球心后，接下來要做什么？

生(齊聲)：求半徑.

師：請大家解答一下.

學生分小組展開討論，教師隨機選取一小組上臺展示.

師：請歸納該數學模型的相關結論.

設計意圖:深度學習倡導學生通過探究既要積累學習經驗，又要優化思維方式，促進方法的遷移.本板塊兩個例題的設計，既有相同的要素，即共邊的兩個面都是直角三角形，又有不同的要素，相近而又相異的模型，建立起深度學習的實踐模式，讓學生在解決問題中，增強對數學本源的深刻理解.

生6：應該把球心放在一個平面圖形中.

師：這位同學提供了很好的思路，空間問題應該盡可能地平面化.那么怎么確定這樣的一個平面呢？

圖3

生7：(投影展示圖3)因為平面PAB⊥平面ABC，PA=PB，所以取AB的中點H，連PH，CH，設O1為△ABC外接圓的圓心，則三棱錐外接球的球心O在平面PCH內，且OO1⊥CH.

師：為什么？

生8：可證PH⊥平面ABC，OO1⊥平面ABC，所以PH∥OO1,從而球心O一定在平面PCH內.

師：非常好！但是怎樣確定球心的實際位置呢？

學生一時安靜，不知如何下手.

師：碰到困難時，不妨回到定義解題.球心的性質是什么？

生(齊答)：球心到球面上各個點的距離相等.

師：本題中，應該到三棱錐四個頂點的距離相等.

學生快速解答，教師隨機提問一小組上臺展示.

師：請歸納一下該數學模型的相關結論.

設計意圖:深度學習倡導通過探究具有挑戰性的問題，發展學生的高階思維.本板塊通過側面與底面關系變化，構建形成不同的模型載體，在不同的探究中獲得系統的研究方法.抓住球心所在的平面這一關鍵，利用平面圖形構造直角三角形進行求解，使體現學科本質、富有深度思考的學習活動真正發生.

圖4

師：大家分小組研究一下.

學生分小組展開討論，教師隨機選取一小組上臺展示.

師：很好.能否告訴大家，解答此問題的關鍵是什么？

生12：圖形具有明顯的特征，即屬于三條側棱兩兩垂直的三棱錐的外接球問題，將其補形成長方體，然后找到外接球的球心即可.

師：歸納一下該數學模型的相關結論.

師：剛才我們研究了兩類特殊幾何體的外接球問題，那么請大家看下面一道題.

A.2π B.4π C.6π D.8π

師：大家先分小組研究一下.

學生小組展開討論，教師隨機選取一小組上臺展示.

生14：考慮到四面體ABCD的三組對棱分別相等，可將其補形成長、寬、高分別為x，y，z的長方體，則(2R)2=x2+y2+z2=6(R為球的半徑)，得2R2=3，所以球的表面積為S=4πR2=6π.

師：很好.能否告訴大家，解答此問題的關鍵是什么？

生15：圖形具有明顯的特征，即屬于三組對棱分別相等的四面體的外接球問題，將其補形成長方體，然后找到外接球的球心即可.

師：歸納一下該數學模型的相關結論.

設計意圖:數學是充滿聯系的，不要教孤立的片段，應該教聯系的材料[3].深度學習通過用理解性、階梯式、探究性的問題引導學生深度思考，獲得思維的拓展.本板塊通過對三棱錐邊長關系的變化，設計形成新的圖形特征，構建新的數學模型，在問題解決中實現思維創新.

師(總結)：本節課研究了不同類型的三棱錐外接球問題，其關鍵是尋找球心和半徑.大家總結一下有哪些途徑？

生17：一是直接利用定義找球心，求半徑；二是將三棱錐放入特殊的幾何體中，求半徑；三是找圓心，找球心，利用直角三角形求半徑.

師：在求解的過程中要充分利用平面幾何知識尋找幾何體中元素間的關系，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關系，列方程(組)求解.

師：數學中有很多的模型，雖然看似并不相同，但其實有很多的關聯，我們要學會研究總結，歸類思考.

3 教學啟示

3.1 探究型設計需要選擇適切的模型載體

深度學習是一種由淺入深、由表及里、從已知到創新的深入探究的過程.利用基本模型，讓學生充分經歷直觀感受、批判優化、意義聯接等學習活動，通過觀察和想象，積累活動經驗，用聯系的視野在不同維度的問題探究之間自如切換，形成積極情感體驗和高階思維能力.本節課的探究型教學設計，始終圍繞“模型分析—本質確認—意義獲得”等環節層層展開，深探究、長智慧、促思維、提學力，助推學生對三棱錐外接球問題的本質思考.因為有適切的模型載體，學生的思維策略逐步明朗且不斷深化.

3.2 探究型設計需要持續可視的思維進階

深度學習在問題情境中對知識進行批判理解、主動聯系、整合信息、遷移應用，通過有意義的系列探究問題設計，助推學生由“學科思維”走向“學會思維”，由“認同性思維”走向“批判性思維”，形成系統思維的結構觀念，實現思維的可視化.本節課的探究型教學設計，思考的維度和深度不斷提升，研究的途徑不斷豐富，因而創造思維能力、邏輯思維能力和審辨思維能力也隨之不斷提升.

3.3 探究型設計需要素養培育的有效增值

數學核心素養的提升是綜合、持續發展的過程，它需要重視單元整體知識的構建，增強知識系統化和結構化的網路結構意識.本節課的探究型教學設計，既有教師關鍵節點處的“導”，更有學生疑難處的“探”，更有結課時的思維導圖，新穎而不斷深入的問題情境，幫助學生確立研究問題的思維路徑，不斷地發現問題、生成問題，然后完善問題、發展問題，增強了學生學好數學的自信心和成就感.

探究型設計有助于深度教學、深度學習的開展，而強化教學設計的研究和課堂探究活動的深入展開，還需要更多的作為和實踐.