逆韋布爾分布下n中取k系統(tǒng)的隨機(jī)比較

郭玉琦，呂衛(wèi)東，夏春蒙

(蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，蘭州 730070)

隨機(jī)序是指隨機(jī)變量在一定數(shù)學(xué)意義下,進(jìn)行的“大小”比較.在不同的應(yīng)用背景下,研究者定義了各類不同的隨機(jī)序關(guān)系[1-3].隨機(jī)序在可靠性理論、生存分析、經(jīng)濟(jì)、保險等許多領(lǐng)域都有重要的應(yīng)用.在各類隨機(jī)變量分布中,許多學(xué)者研究了隨機(jī)變量服從伽馬分布、指數(shù)分布、幾何分布、威布爾分布等的隨機(jī)序之間的相互關(guān)系[4-7].但目前為止對服從逆韋布爾分布的隨機(jī)變量在各種隨機(jī)序中的比較關(guān)系卻不多見.

本文將致力于研究隨機(jī)變量服從逆韋布爾分布的隨機(jī)序之間的相互關(guān)系.在此之前,張婭莉等[8]研究了兩個相互獨立且服從逆韋布爾分布的隨機(jī)變量在一般隨機(jī)序、似然比序、失效率序以及凸序之間的相互關(guān)系.邱國新等[9]研究了在獨立的隨機(jī)變量服從壽命參數(shù)不同但形狀參數(shù)相同的逆Weibull分布下，所組成的兩個串(并)聯(lián)系統(tǒng)中,失效率序、反向失效率序、色散序、占優(yōu)序和p-階大序之間的相互關(guān)系.本文在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究了在特征壽命參數(shù)不同，形狀參數(shù)不同或特征壽命參數(shù)相同和形狀參數(shù)不同的逆韋布爾分布下,串聯(lián)系統(tǒng)下的分散序關(guān)系,并聯(lián)系統(tǒng)下的洛倫茨序、星序和失效率序之間的相互關(guān)系.

1 預(yù)備知識

定義1隨機(jī)變量X服從逆韋布爾分布,其分布函數(shù)和密度函數(shù)分別為

(1)

(2)

其中：α和β分別是特征壽命參數(shù)和形狀參數(shù)，記作X～I(xiàn)W(α,β)[10].

定義2

4)如果F-1(β)-F-1(α)≥G-1(β)-G-1(α)成立,0≤α<β≤1,則稱X在分散序意義下大于等于Y,記作X≥dispY.

引理1將α=F(x)代入定義4)中得到G-1(F(x))-x是遞增的，那么則稱X在分散序意義下大于等于Y,記作X≥dispY[12].

引理2一個可微函數(shù)φ(x)是S-凸(S-凹)的，如果當(dāng)且僅當(dāng)i≠j時，有

2 主要結(jié)論

2.1 串聯(lián)系統(tǒng)

X1∶n的反函數(shù)是

2.2 并聯(lián)系統(tǒng)

證明：Xn∶n分布函數(shù)是

反函數(shù)是

當(dāng)0<β1<β2,h′(x)>0.

首先,證明φ(x)是遞增的

當(dāng)r>λ時,x>0,φ′(x)>0;

其次,要證明φ(x)是遞增的

即

rerx-β-re(λ+r)x-β<λe(λ+r)x-β-λeλx-β;rerx-β+λeλx-β

所以φ′(x)>0,當(dāng)x>0,φ(x)是遞增的;

又因為φ(x)>0,φ(x)>0;

圖1 遞增失效率序

圖2 遞減失效率序