非線性Zener隔振系統(tǒng)的動態(tài)響應及遲滯特性分析

俞力洋，李國芳，吳少培，黃 然，丁旺才

(蘭州交通大學 機電工程學院，蘭州 730070)

橡膠材料因其非線性和黏彈特性而被廣泛應用于各類隔振系統(tǒng)中,如高鐵軌下橡膠墊板[1]、鋼軌扣件彈性墊板[2]、空氣彈簧橡膠囊[3]、汽車懸架減振器緩沖塊等.為更準確地反映橡膠隔振系統(tǒng)的動態(tài)特性,前人基于彈簧-阻尼并聯(lián)的Kelvin-Voigt模型和彈簧-阻尼串聯(lián)的Maxwell模型提出了很多復雜的動力學模型,如Zener模型[4]、Berg模型、Dzierek模型及分數(shù)導數(shù)模型.

目前,人們對于橡膠隔振系統(tǒng)靜力學特性的研究已較為成熟[5],而對其動態(tài)特性計算方法的探索卻相對較少.宋康[6]等通過對液壓懸置系統(tǒng)動力學方程的拉普拉斯變換,求得系統(tǒng)動剛度.楊俊等[7]通過對系統(tǒng)本構關系進行傅里葉變換,得到四種橡膠元件動力學模型的復模量,進而計算出系統(tǒng)的動剛度與阻尼.李萬潤等[8]基于ANSYS提出一種用來計算疊層橡膠隔震支座滯回曲線的多尺度模擬方法,并進行相關試驗驗證.韋凱等[9]用復模量法所得滯回曲線上最大位移點與最小位移點所得直線的斜率表示動剛度.周小智等[10]利用旋轉(zhuǎn)矢量法計算了Maxwell模型表征的液壓減振模型的動態(tài)特性.

上述文獻均基于材料的本構模型,通過拉普拉斯變換或復模量法對橡膠材料的動態(tài)特性進行計算,使橡膠隔振系統(tǒng)動態(tài)特性的計算孤立于系統(tǒng)的振動響應.孫建鋒等[11]將抗蛇形減震器簡化為Maxwell模型,計算了系統(tǒng)的等效剛度和等效阻尼.陳國泰[12]基于Maxwell模型研究了抗蛇形減震器的動態(tài)特性,對高速動車組抗蛇形減震器穩(wěn)定性展開研究.王孝然等[13-14]比較了不同類型強迫振動下Maxwell模型和Kelvin-Voigt模型的振動響應,對一種含有負剛度彈簧元件的三要素型動力吸振器模型進行了參數(shù)優(yōu)化.

相對于分數(shù)導數(shù)模型及其他復雜組合模型,Zener模型(也被稱為標準線性黏彈固體模型或三元件Maxwell固體模型)具有較少的系統(tǒng)參數(shù),且其本身能夠同時反映Kelvin-Voigt模型無法反映的松弛特性和Maxwell模型無法反映的蠕變特性,是進行橡膠隔振系統(tǒng)動態(tài)特性研究的較佳模型.本文采用非線性Zener模型表征橡膠隔振系統(tǒng)的非線性特性及遲滯特性.首先建立了系統(tǒng)運動微分方程并進行無量綱化,采用諧波平衡法計算了系統(tǒng)響應的近似解析解,并結(jié)合數(shù)值方法及UM軟件仿真進行了響應對比,給出了一種基于模型近似解計算系統(tǒng)無量綱動剛度與滯后角的方法,分析了參數(shù)對系統(tǒng)多不變集共存區(qū)間及遲滯特性的影響規(guī)律.

1 系統(tǒng)的力學模型和運動微分方程

非線性Zener隔振系統(tǒng)的力學模型如圖1所示,質(zhì)量塊M通過彈簧與阻尼串聯(lián)的Maxwell模型和彈性力F=K(X+εX3)的非線性彈簧連接在支撐基礎上,節(jié)點是位于Maxwell模型彈簧與阻尼中間的無質(zhì)量點,質(zhì)量塊M在簡諧激勵Fsin(ΩT)作用下往復運動,X,Y分別為質(zhì)量塊和節(jié)點的位移.

圖1 非線性Zener隔振系統(tǒng)

圖1所示系統(tǒng)的運動微分方程為:

(1)

為更直觀地體現(xiàn)橡膠等黏彈隔振系統(tǒng)的幅值相關性,引入外激勵幅值F的對照參數(shù)Fs,并進行如下無量綱變換:

則方程(1)被無量綱化為:

(2)

2 系統(tǒng)的幅頻響應

2.1 系統(tǒng)的幅頻響應曲線

設圖1所示系統(tǒng)的主振動為:

(3)

將(3)式代入方程(2),略去其中的高頻項,可得關于質(zhì)量塊幅值A平方的一元三次方程:

(4)

方程(4)所得非負實數(shù)解為質(zhì)量塊的振動幅值,當所得解僅有一個正實根時,對應于系統(tǒng)幅頻響應曲線的單解.當所得解為三個正實根時,對應于系統(tǒng)的三個共存周期解,分別是節(jié)點與質(zhì)量塊的兩個穩(wěn)定幅值和一個不穩(wěn)定幅值.

系統(tǒng)質(zhì)量塊和節(jié)點的振動幅值與相角為:

(5)

利用公式(5)可得系統(tǒng)的幅頻響應,并可結(jié)合數(shù)值方法及商業(yè)化軟件UM對所得結(jié)果進行對比.圖2為系統(tǒng)參數(shù)取μk=1,ξ=0.15,knl=0.3,p=2時,由諧波平衡法、數(shù)值方法及UM軟件仿真所得的質(zhì)量塊幅頻響應對比圖,由圖2可知:利用諧波平衡法所得非線性Zener隔振系統(tǒng)的動態(tài)響應可與數(shù)值方法及UM軟件仿真結(jié)果良好匹配,受系統(tǒng)鞍結(jié)分岔的誘導,在正向掃頻與反向掃頻的兩次“跳躍”之間,系統(tǒng)會出現(xiàn)兩個穩(wěn)定不變集與一個不穩(wěn)定不變集的共存,記此處形成的多不變集共存區(qū)間為G.

圖2 質(zhì)量塊幅頻響應對比圖

2.2 參數(shù)對系統(tǒng)幅頻響應的影響

下面以μk=1,ξ=0.15,knl=0.3,p=2為基準參數(shù),研究參數(shù)μk、ξ、knl、p對系統(tǒng)幅頻響應的影響,如圖3所示.由圖3(a)可以看出:剛度比μk增大時,質(zhì)量塊在低頻范圍內(nèi)的振幅明顯減小,同時系統(tǒng)多不變集共存區(qū)間G向右移動.由圖3(b)可以看出:阻尼系數(shù)ξ增大時,質(zhì)量塊共振峰值大幅降低,系統(tǒng)多不變集共存區(qū)間G迅速向左收縮.由圖3(c)可以看出:剛度非線性系數(shù)knl增大時,質(zhì)量塊在低頻范圍內(nèi)的振幅減小,質(zhì)量塊共振峰值有所降低,且系統(tǒng)多不變集共存區(qū)間G迅速擴張并向右移動.由圖3(d)可以看出:激勵幅值p減小時,質(zhì)量塊在低頻范圍內(nèi)的振幅減小,質(zhì)量塊共振峰值大幅減小,且系統(tǒng)多不變集共存區(qū)間G迅速收縮并向左移動.

圖3 參數(shù)對系統(tǒng)幅頻響應的影響

綜上所述,增大剛度比μk、增大剛度非線性系數(shù)knl或減小激勵幅值p,可降低系統(tǒng)在低頻范圍內(nèi)的振動幅值,并使系統(tǒng)多不變集共存區(qū)間G向右移動;增大剛度比μk對系統(tǒng)多不變集共存區(qū)間G的長度和共振峰值影響不大;增大阻尼系數(shù)ξ會使系統(tǒng)共振峰值大幅降低、多不變集共存區(qū)間G迅速向左收縮,但不影響系統(tǒng)在低頻范圍內(nèi)的振動幅值.在橡膠工業(yè)中,可根據(jù)上述規(guī)律選擇恰當?shù)南到y(tǒng)參數(shù),使系統(tǒng)多不變集共存區(qū)間遠離機械設備的工作主頻,達到避開橡膠隔振系統(tǒng)的非線性跳躍和分岔的目的.

3 系統(tǒng)的遲滯特性

3.1 系統(tǒng)的滯回曲線

工程中常用橡膠隔振元件動剛度與滯后角表征其動態(tài)特性,下面給出一種基于模型近似解析解計算系統(tǒng)遲滯特性的方法.對圖1所示隔振系統(tǒng)進行受力分析可知,系統(tǒng)所受無量綱恢復力為:

F=x-y+μkx=knlx3.

(6)

上述關系代入公式(3)第2式可得:

(7)

式(7)中Asin(ωt+φ)即質(zhì)量塊位移x,則節(jié)點位移y可由質(zhì)量塊位移x表示為如下形式(其中n=0,1,2,…):

(8)

通過式(8)可得參數(shù)取μk=1,ξ=0.15,knl=0.3,ω=2.5、質(zhì)量塊振幅A=0.41時,通過質(zhì)量塊位移計算而得的節(jié)點位移,圖4中紅色實線為質(zhì)量塊位移x,黑色實線為節(jié)點位移y,綠色虛線為利用公式(8)第1式所得的節(jié)點位移y1(x),土黃色虛線為利用公式(8)第2式所得的節(jié)點位移y2(x),該圖佐證了公式(8)的正確性.

圖4 質(zhì)量塊位移x表示的節(jié)點位移y

將式(8)代入公式(6)可得系統(tǒng)無量綱恢復力F與質(zhì)量塊位移x之間的關系(其中n=0,1,2,…):

(9)

根據(jù)公式(9)可便捷地計算出系統(tǒng)的遲滯特性,更加便利于參數(shù)對系統(tǒng)動態(tài)特性影響規(guī)律的研究.通過公式(9)可知,系統(tǒng)的F-x圖形為一個偏轉(zhuǎn)的類橢圓.圖5所示為參數(shù)取μk=1,ξ=0.15,knl=0.3,ω=2.5,A=0.41時,非線性Zener隔振系統(tǒng)的F-x曲線,即系統(tǒng)在該參數(shù)條件下的滯回曲線,其中Fmax、Fmin、xmax、xmin,分別為滯回曲線上力的最大、最小值以及位移的最大、最小值.

圖5 系統(tǒng)的滯回曲線

由圖5可以看出:非線性Zener隔振系統(tǒng)的F-x曲線不僅表現(xiàn)出非線性,而且還有明顯的遲滯特性,因此該系統(tǒng)可呈現(xiàn)良好的隔振性能.圖6為系統(tǒng)參數(shù)μk=1,ξ=0.15,knl=0.3,A=0.41,激勵頻率ω分別取1,2,4,8,16時,系統(tǒng)的滯回曲線,由圖可以看出:激勵頻率ω從1增大至8的過程中,系統(tǒng)滯回曲線逐步傾斜,而圖中ω=8與ω=16的藍色回線與綠色回線非常接近,即當ω足夠大時,系統(tǒng)的滯回曲線將不再偏轉(zhuǎn).

圖6 不同激勵頻率下系統(tǒng)的滯回曲線

3.2 系統(tǒng)的無量綱動剛度與滯后角

為更清晰地反映系統(tǒng)滯回曲線隨激勵頻率ω變化時的偏轉(zhuǎn)趨勢,可基于公式(9)所得滯回曲線(圖5)的幾何特征,利用動剛度的傳統(tǒng)計算方法(公式(10)),便捷地計算出非線性Zener隔振系統(tǒng)的無量綱動剛度kd.

(10)

圖7為系統(tǒng)參數(shù)μk=1,ξ=0.15,knl=0.3,A=0.41時,模型無量綱動剛度kd隨激勵頻率ω的變化規(guī)律,由圖可以看出:當激勵頻率ω<10時,隨著ω的增大,系統(tǒng)無量綱動剛度kd急劇增加,當激勵頻率ω>15時,系統(tǒng)無量綱動剛度隨ω的變化很小.

圖7 激勵頻率ω對系統(tǒng)無量綱動剛度kd的影響

公式(10)為橡膠隔振系統(tǒng)動剛度的傳統(tǒng)計算方法,該計算結(jié)果僅取決于滯回曲線上的四個點,對于非線性Zener隔振系統(tǒng)動剛度的計算,容易產(chǎn)生較大的誤差.本文后續(xù)無量綱動剛度的計算均基于最小二乘法對所得滯回曲線的全部數(shù)據(jù)點進行線性擬合,所得擬合直線的斜率即系統(tǒng)的動態(tài)剛度kd,該方法可以避免個別數(shù)據(jù)點的偏離對計算結(jié)果的影響,且最小二乘法在MATLAB中可通過式(11)所示的簡單指令實現(xiàn).

kd=polyfit(x,F).

(11)

基于圖5所示的滯回曲線,利用公式(12)可計算出非線性Zener隔振系統(tǒng)的滯后角η.

(12)

式中,F0為質(zhì)量塊位移x為零時系統(tǒng)的無量綱恢復力,Fmax為系統(tǒng)無量綱恢復力的最大值.

圖8為參數(shù)取時μk=1,ξ=0.15,knl=0.3,A=0.41,非線性Zener隔振系統(tǒng)滯后角η隨激勵頻率ω的變化規(guī)律,由圖可以看出:非線性Zener隔振系統(tǒng)滯后角η隨著激勵頻率ω的增大先急劇增大后緩慢減小,在該參數(shù)條件下,系統(tǒng)滯后角η在激勵頻率ω=2.4處達到最大值ηmax=18.876 3°.

圖8 激勵頻率ω對系統(tǒng)滯后角η的影響

3.3 系統(tǒng)參數(shù)對系統(tǒng)動態(tài)特性的影響

圖9(a)～(c)為基準參數(shù)μk=1,ξ=0.15,knl=0.3,A=0.41時,系統(tǒng)剛度比μk、阻尼系數(shù)ξ、剛度非線性系數(shù)knl對系統(tǒng)無量綱動剛度的影響規(guī)律.由圖可以看出:相同激勵頻率下,剛度比和剛度非線性系數(shù)的增大會使系統(tǒng)無量綱動剛度也隨之增大;阻尼系數(shù)的增加不影響系統(tǒng)在高頻激勵下的無量綱動剛度,而在低頻范圍內(nèi),阻尼系數(shù)的增大加劇了系統(tǒng)無量綱動剛度隨激勵頻率增大的速率.

圖9 系統(tǒng)參數(shù)對無量綱動剛度kd的影響

圖10(a)～(c)為基準參數(shù)μk=1,ξ=0.15,knl=0.3,A=0.41時,系統(tǒng)剛度比μk、阻尼系數(shù)、剛度非線性系數(shù)knl對系統(tǒng)滯后角η的影響規(guī)律.由圖可以看出:剛度比和非線性系數(shù)的變化不影響系統(tǒng)最大滯后角的發(fā)生頻率,在相同激勵頻率下,剛度比和非線性系數(shù)的增加會減小系統(tǒng)滯后角;阻尼系數(shù)的增加雖然不影響系統(tǒng)最大滯后角,但會使系統(tǒng)的最大滯后角的發(fā)生頻率向低頻方向移動.

圖10 系統(tǒng)參數(shù)對滯后角η的影響

3.4 激勵頻率和振幅對系統(tǒng)動態(tài)特性的影響

早在1965年,Payne就發(fā)現(xiàn)橡膠材料的動態(tài)模量具有振幅相關性,后來的學者發(fā)現(xiàn)影響襯套力學性能的因素主要為振幅、頻率和溫度[15].由公式(9)～(11)也可以看出:非線性Zener隔振系統(tǒng)的動剛度kd和滯后角η除與系統(tǒng)參數(shù)(阻尼系數(shù)ξ、剛度比μk、剛度非線性系數(shù)knl)有關之外,還與激勵頻率ω、質(zhì)量塊位移幅值A密切相關.

圖11為參數(shù)取μk=1,ξ=0.15,knl=0.3時,系統(tǒng)無量綱動剛度受質(zhì)量塊振動幅值A的影響規(guī)律,由圖11可以看出:相同激勵頻率下,系統(tǒng)動剛度kd會因質(zhì)量塊振動幅值A的增大而增大.

圖11 質(zhì)量塊振動幅值對系統(tǒng)無量綱動剛度kd的影響

圖12為不同質(zhì)量塊振動幅值下,系統(tǒng)滯后角η隨外激勵頻率ω的變化情況,由圖可以看出:增大質(zhì)量塊振動幅值A會使滯后角η的最大值降低,且η最大值對應的外激勵頻率ω也有微幅增大.

圖12 質(zhì)量塊振動幅值對系統(tǒng)滯后角η的影響

綜上所述,隨著激勵頻率的增加,系統(tǒng)無量綱動剛度先增大后趨于穩(wěn)定;系統(tǒng)阻尼系數(shù)的增加會增大系統(tǒng)無量綱動剛度隨激勵頻率變化的速率,同時使滯后角曲線向左移動;系統(tǒng)剛度比、剛度非線性系數(shù)、振動幅值的增加會使系統(tǒng)無量綱動剛度增大,同時使系統(tǒng)滯后角減小.工程中可根據(jù)實際需求調(diào)整系統(tǒng)無量綱動剛度及滯后角,使橡膠隔振系統(tǒng)呈現(xiàn)更佳的動態(tài)特性.

4 結(jié)論

本文采用非線性Zener模型表征橡膠隔振系統(tǒng),求得系統(tǒng)近似解析解,并利用多種方法進行了解析解正確性的驗證,分析了參數(shù)對系統(tǒng)多不變集共存區(qū)間和動態(tài)響應的影響規(guī)律,給出了一種基于模型近似解析解計算橡膠隔振系統(tǒng)無量綱動剛度與滯后角的方法,得出以下結(jié)論:

1)諧波平衡法所得系統(tǒng)振動響應可與數(shù)值方法及UM軟件仿真結(jié)果良好匹配,為非線性Zener模型的求解提供了一種方法參考.

2)受模型非線性因素的影響,非線性Zener隔振系統(tǒng)呈現(xiàn)出多不變集共存現(xiàn)象,剛度比μk的增大使系統(tǒng)多不變集共存區(qū)間向右移動,阻尼系數(shù)ξ主要影響系統(tǒng)多不變集共存區(qū)間的長度,而非線性系數(shù)knl和激勵幅值p的增大使系統(tǒng)多不變集共存區(qū)間G在急劇放大的同時也發(fā)生了向右的移動.

3)在系統(tǒng)響應近似解的基礎上,可便捷地計算出系統(tǒng)的遲滯特性;隨著激勵頻率ω的增加,系統(tǒng)無量綱動剛度kd先增大后趨于穩(wěn)定;系統(tǒng)剛度比μk、剛度非線性系數(shù)knl、振動幅值A的增加會使系統(tǒng)無量綱動剛度kd增大,同時使系統(tǒng)滯后角η減小;系統(tǒng)阻尼系數(shù)ξ的增加會增大系統(tǒng)無量綱動剛度kd隨激勵頻率變化的速率,并使系統(tǒng)滯后角曲線向左移動.

上述研究結(jié)果與方法,可為黏彈性隔振系統(tǒng)的動態(tài)設計提供一定的理論依據(jù),從而達到避開橡膠隔振系統(tǒng)的非線性跳躍和分岔的目的,使橡膠隔振系統(tǒng)呈現(xiàn)更佳的動態(tài)特性.