曲線波形腹板鋼箱-混凝土組合梁扭轉振動頻率分析

林夢凱，史軍乾

(蘭州交通大學 土木工程學院，蘭州 730070)

近年來，隨著橋梁建設事業的快速發展，涉及到曲線梁橋的設計已越來越多.曲線波形腹板鋼箱-混凝土組合梁橋作為一種新型橋梁結構，它是將混凝土底板替換成鋼底板，升級改進而成的一種鋼-混凝土組合梁橋.可以有效地減小箱梁的自重，實現裝配式施工，提高橋梁的跨越能力，充分發揮了鋼材和混凝土結構各自的優勢，避免混凝土底板易開裂等問題.具有更高的實用性，經濟性和施工便捷性等特點.其構造圖如圖1所示.

圖1 箱梁構造圖

Lee等[1]推導了笛卡爾坐標系下控制軸不對稱水平彎曲梁自由振動的微分方程，使用SAP2000有限元軟件驗證了方程的有效性，結果非常準確；Barth等[2]進行了大量的有限元研究，包括202個橋梁模型，以確定單跨、雙跨和三跨工字梁橋的基本頻率，并基于非線性回歸分析，提出了與有限元結果具有良好相關性的基頻方程；Amjadian等[3]開發了一個簡單的三自由度動力學模型，用于表示彎曲橋梁系統的剛體動力學、自由振動和地震反應譜；Khalafalla等[4-5]提出了在結構分析和設計中將曲線橋視為直線橋的局限性表達式；冀偉等[6]考慮約束扭轉和自由扭轉，對波形鋼腹板組合箱梁的扭轉振動頻率進行了推導，并提出了全新的扭轉截面特性的計算公式；李宏江等[7]分別針對波形鋼腹板箱梁約束扭轉和畸變，提出了兩種計算方法；鄭尚敏等[8]通過理論推導、試驗和有限元相結合的方法，對波形鋼腹板組合箱梁扭轉振動頻率進行了研究；任紅偉等[9]參照圓軸扭轉計算公式，分別推導出了是否考慮橫隔板的扭轉振動計算公式，并分析了橫隔板對其影響程度；江克斌等[10]對4根波形鋼腹板實驗箱梁進行了加載，分析了該橋純扭下的力學行為；羅奎等[11]采用駐值勢能原理推導了波形鋼腹板的動力剛度矩陣，并編制了MATLAB求解程序，得到了求解該橋自振頻率更為簡潔的方法.分析文獻可知，目前國內外學者對波形鋼腹板組合箱梁橋動力特性主要集中在直線梁橋上，而對于曲線梁橋扭轉振動頻率的研究較為滯后.

由于曲線梁其彎扭耦合響應，使曲線梁橋的動力特性問題變的更加復雜.又因波形鋼腹板和鋼底板較薄，扭轉剛度較低，當發生扭轉振動時該橋處于相對不利狀態.為此，本文基于Galerkin法和Hamilton原理，推導了曲線波形腹板鋼箱-混凝土組合梁扭轉振動頻率的理論計算公式，并分析了結構參數對其扭轉振動頻率影響規律.

1 曲線波形腹板鋼箱-混凝土組合梁截面特性

1.1 波形腹板剪切模量修正

由于腹板具有褶皺效應，剪切模量應根據文獻[12]進行修正，修正公式如下所示.

(1)

式中：Ge為有效剪切模量；Gs為鋼材剪切彈性模量；其他參數如圖2所示.

圖2 波形鋼腹板尺寸構造圖

1.2 曲線波形腹板鋼箱-混凝土組合梁截面換算

由于曲線波形腹板鋼箱-混凝土組合梁具有不同的材料性能，為了便于計算，降低求解難度.將底板和腹板鋼板材料等效成頂板的混凝土材料.根據等效原理[13]得：

(2)

(3)

1.3 曲線波形腹板鋼箱-混凝土組合梁扭轉剛度計算

在計算扭轉剛度時，考慮到箱梁是由不同性質材料構成.波形腹板鋼箱-混凝土組合梁扭轉剛度計算公式參照文獻[14]修正，得：

(4)

式中：Am為等效后內頂板和波形腹板之間閉合截面面積；tu、tw分別為頂板厚度和波形鋼腹板厚度；b1、b2分別為頂底板凈寬的一半；b3為翼緣板的寬度；ns1、ns2分別為Ge/Gc和Gs/Gc；Gc為混凝土的剪切模量；修正系數α=0.4h1/β-0.06、β=b1+b2；當h1/β<0時，α取值為0；其余參數如圖3所示.

圖3 波形腹板鋼箱-組合箱梁扭轉剛度計算參數

2 扭轉振動頻率的推導

2.1 基本假定

1)曲線梁為質地均勻的等截面梁；

2)組合梁橫截面具有豎向對稱軸；

3)梁長尺寸和橫截面遠小于曲率半徑且曲率半徑為常數；

4)組合梁在發生振動時忽略高階微量.

2.2 微分方程的建立

曲率半徑為R的曲梁單元坐標系如圖4所示.使用右手正交曲線坐標系x-y-z，其原點位于元素的中心.

圖4 曲線梁坐標系

如圖5所示，假設組合梁在發生扭轉振動時，截面只發生繞剪切中心的自由扭轉[8].在計算扭轉剛度和扭轉振動時，充分考慮腹板褶皺和剪切效應的影響.其中φz為彎曲轉角、γ為剪切角，其與橫向位移ν的關系為：

(5)

曲線波形腹板鋼箱-混凝土組合梁扭轉振動時認為頂板與腹板連接是剛性的，另外因為扭轉角θx較小，如圖5所示，根據轉動前后的位移協調關系得：

圖5 箱梁扭轉示意圖

ν=z1θx.

(6)

式中：z1為扭轉中心到頂板的距離.

曲線波形腹板鋼箱-混凝土組合梁的應變計算如下[15-17]：

扭轉應變：

(7)

彎曲應變：

(8)

波形鋼腹板的剪應變：

(9)

由式(8)可知，曲線波形腹板鋼箱-混凝土組合梁彎曲應變能Vt表達式如式(10)所示.

(10)

式中：EI為抗彎剛度.

由式(9)可知，波形鋼腹板應變能Vw表達式如式(11)所示.

(11)

由式(7)可知，曲線波形腹板鋼箱-混凝土組合梁自由扭轉應變能Vf表達式如式(12)所示.

(12)

由式(10)～(12)可知，曲線波形腹板鋼箱-混凝土組合梁總的形變勢能為Vs表達式如式(13)所示.

(13)

曲線波形腹板鋼箱-混凝土組合梁發生扭轉振動時的動能T表達式如式(14)所示.

(14)

式中：?θx/?t、?φZ/?t分別為θx(x,t)、φZ(x,t)對時間t的一階導數；ρA為組合箱梁單位體積的質量.

根據Hamilton原理得：

(15)

由此可得曲線波形腹板鋼箱-混凝土組合梁扭轉振動頻率的控制微分方程：

(16)

(17)

自然邊界條件為：

(18)

(19)

3 曲線波形腹板鋼箱-混凝土組合梁扭轉振動方程的解

將(16)式代入等式(17)式轉化為等式(20)，以消除θx：

(20)

為了得到式(20)的解，當曲線組合梁振動時φz(x,t)可以表示為：

(21)

式中：φz0為函數的振幅；ωn、u分別為曲線波形腹板鋼箱-混凝土組合梁扭轉振動時的圓頻率和初始相位角；n為扭轉振動頻率階數.

將式(21)代入式(20)中進行化簡整理，可得簡化式(22)：

(22)

公式(22)的求解過程非常繁瑣.為了便于計算，采用了伽遼金法[18].對于曲線波形腹板鋼箱-混凝土組合梁，φz0可表示為：

(23)

權重函數φwz0(x)取為：

(24)

式中：l為橋梁跨徑.

將式(23)代入式(22)，可得殘差R(x)：

(25)

由Galerkin法：

(26)

將式(25)代入式(26)中，可得：

(27)

令：

則上式變化為：

x2+κ1x+κ2=0.

(28)

則有：

(29)

將曲線波形腹板鋼箱-混凝土組合梁扭轉振動圓頻率轉換成扭轉振動頻率，表達式如下：

(30)

4 算例驗證

4.1 算例1實橋工程概況

本文選取蘭州中川機場T3航站樓連接線工程裝配式單片曲線梁橋.橋梁跨度為40 m，曲率半徑為100 m.單片曲線梁截面和波形鋼腹板尺寸如圖6所示.其中，主梁混凝土、鋼材的泊松比、彈性模量、密度分別為vC=0.20、vS=0.30、EC=3.60×1010Pa、ES=2.06×1011Pa、ρC= 25.50 kN/m3、ρS=78 kN/m3.腹板波高為200 mm，平直段為330 mm，折線段水平投影為270 mm.單跨簡支梁采用水平力分散型支座，箱梁內設7道橫隔板.

圖6 單箱曲線組合梁截面具體尺寸(單位：mm)

通過ANSYS18.2軟件建立了曲線波形腹板鋼箱-混凝土組合梁三維有限元模型.在有限元模型中，根據其結構特點，混凝土采用SOLID45，鋼材采用SHELL63，連接處為了形成剛性連接，采用節點耦合約束模式.有限元模型采用柱面坐標系，曲率半徑為橋梁截面中心線處的尺寸.簡支梁兩端支座分別約束Ux，Uy，Uz、Uy，Uz和Ux，Uz、Uz.蘭州中川機場T3航站樓連接線工程裝配式單片曲線梁橋有限元模型如圖7所示.

圖7 有限元計算模型

將ANSYS有限元值與推導的曲線波形腹板鋼箱-混凝土組合梁扭轉振動頻率表達式(30)進行驗證，結果如表1所列.

如表1可知，曲線波形腹板鋼箱-混凝土組合梁扭轉振動頻率表達式計算值與有限元模型值吻合良好.從而驗證了曲線波形腹板鋼箱-混凝土組合梁扭轉振動頻率表達式的正確性，可在實際工程中應用.

表1 計算值與模型值對比

4.2 算例2直橋試驗梁驗證

選取文獻[6]中的試驗梁進行分析，采用本文所提出的分析方法，即當R→∞時，將計算結果分別與ANSYS和試驗梁實測數據進行對比，如表2所列.

如表2可知，當R→∞時，利用本文公式計算的1階扭轉頻率值與文獻[6]中ANSYS值和實測值的誤差分別為2.01%和1.15%，2階扭轉頻率值與文獻[6]中ANSYS值誤差為2.53%，從而進一步驗證了本文分析方法的精確性和通用性.

表2 不同方法所得扭轉振動頻率對比分析

5 扭轉振動的影響因素分析

5.1 剪切變形對曲線組合梁扭轉振動頻率的影響

下表給出了忽略剪切變形和考慮剪切變形的理論計算值，并對兩者進行了比較，計算結果如表3所列.

由表3可知，1階扭轉振動頻率差值達到了7.42%，可見，波形鋼腹板的剪切變形會直接影響扭轉振動頻率.隨著的增加，剪切變形效應對其影響趨勢變小.

表3 剪切變形對扭轉振動頻率的影響

5.2 橫隔板對扭轉振動頻率的影響

在組合梁截面尺寸和跨度都不改變的情況下，僅改變橫隔板數量和厚度.橫隔板數量分別取為0、1、3、5和7，橫隔板厚度分別取為12 mm、20 mm、30 mm、40 mm和50 mm，兩種參數的變化對扭轉振動頻率的影響如表4所列.

由表4可知，當橫隔板數量由0分別增加到1、3、5時，1階頻率逐漸增大，而當隔板數量由5增加到7時，振動頻率開始變小.當橫隔板厚度從12 mm增加到50 mm時，一階頻率減小了4.46%，結果表明橫隔板數量和厚度對扭轉振動頻率影響較大.因此應當在允許自重范圍內，合理設置橫隔板數量和厚度.

表4 橫隔板對扭轉振動頻率的影響

5.3 曲率半徑對扭轉振動頻率的影響

在不改變曲線波形腹板鋼箱-混凝土組合梁截面尺寸和跨度的情況下，對6種不同R進行了比較，其計算結果如圖8所示.

由圖8可以看出，曲線波形腹板鋼箱-混凝土組合梁扭轉振動頻率隨R的增加而減小.R由50 m增加到300 m時，1階頻率減小了8.22%，2階頻率減小了3.06%，3階頻率減小了1.77%.可見，當R較小時，對扭轉振動頻率的影響較大.但隨著R的增大，對其扭轉振動頻率的影響程度依次減弱.

圖8 曲率半徑對扭轉振動頻率的影響

6 結論

1)文所推導的曲線波形腹板鋼箱-混凝土組合梁扭轉振動頻率計算公式與模型結果吻合良好.當時，利用實測值和ANSYS有限元結果進一步驗證了本文分析方法的精確性，所得結論可以應用于實際工程中.

2)考慮剪切變形效應時1階扭轉振動頻率增大了7.42%，因此，腹板剪切變形效應是影響扭轉振動頻率的主要因素之一.

3)橫隔板的數量和厚度對曲線波形腹板鋼箱-混凝土組合梁扭轉振動頻率影響較大，因此在允許自重范圍內，合理設置橫隔板數量和厚度能有效提高其抗扭剛度.

4)曲線波形腹板鋼箱-混凝土組合梁扭轉振動頻率隨著R增大而降低.因此，當采用小半徑時，對扭轉振動頻率的影響較大，但隨著半徑R的增大，對其影響程度逐漸減弱.