多供取料的Q模型級聯的數學描述

曾 實

(清華大學 工程物理系，北京 100084)

同位素分離中，所需要的同位素組分(目標組分)處于不同的狀態，即在同位素混合物中，目標組分可能是邊緣組分(最輕或最重)，或者是中間組分；其豐度可能很小也可以很大；其相鄰組分的豐度可能很小或很大。目標組分狀態的不同導致了分離的復雜性。這里所謂的分離，可能是提升目標組分的豐度(濃縮)，也可能是降低目標組分的豐度(貧化)。

為了高效分離不同狀態的目標組分，降低分離成本，人們一直不斷地研究各種不同的分離方法。傳統的級聯為通常的三股流級聯，即一個供料和級聯的兩端各有一個取料。然而，一些情況下，僅三股流級聯仍然不夠，需要用多于三股流的多股流級聯。比如，多組分同位素的分離中，用兩個供料的級聯，提升產品中目標組分的豐度[1]。還有，同時獲取W同位素兩個高豐度組分的具有四個取料的級聯[2]。在鈾的處理中，利用附加中間取料的級聯降低了鈾中234U的含量，同時也獲得低濃縮鈾，減少分離功需求[3]。用三股供料的級聯來處理回收的鈾，降低232U和236U的含量[4]。分離中間組分同位素時，利用中間取料克服端部取料所能取得的豐度限制[5]，獲得更高的豐度[6]。文獻[7]中，針對每級都有供取料的級聯研究了一種計算和優化的方法。

研究分離的一個重要的目標是提升分離性能，即在完成所要求的分離任務時，需要級聯分離的經濟性最好。這意味著所需的級聯相對總流量(級聯的總流量與產品流量之比)為最小，或者所需的分離器單元數目最少。人們探索了各種類型的模型級聯[8-11]，也針對這些級聯開展了優化研究[12-14]，或不考慮級聯類型，對級聯進行直接優化[15-16]。研究的大多數級聯，都是在一些級才有供取料級聯的特殊情況，比如級聯的起始級和最末級。這里的特殊情況，是相對于每級都有供取料的一般情況而言。對特殊情況進行研究，簡化、降低了問題的難度。但是，這也導致其拓展存在困難，每進行一些拓展，比如增加供料或取料點，可能就需要重新推導公式和編寫計算程序。因此，針對一般級聯情況進行分析所得的結果，無疑有更廣的適應性，使用上有更大的方便性，可用于研究更復雜的分離情況。

幾種典型模型級聯(豐度匹配級聯、準理想級聯、Q模型級聯)之間有一定的聯系。事實上，可把Q模型級聯(也簡稱為Q級聯)視為其他模型級聯的代表[17]。對Q級聯的研究結果，可通過階梯化的方法[10,18-19]給實際級聯設計提供參考，也可給級聯的優化提供初值。因此，本文對具有多供料和取料的Q級聯中的質量輸運進行分析，給出描述入口級聯流量和同位素組分在級聯中的分布關系式，并討論求解豐度的方法和級聯的優化。

鑒于篇幅限制，這里僅報告求解以及優化的方法，而不進行具體的數值分析。事實上，上述的數學描述已用于一些分離問題的分析中[20]，證實了其正確性。

1 描述多供取料Q級聯中的流量和豐度的方程

考慮有NC組分的同位素混合物的分離，第i組分的摩爾質量數記為Mi(如果i

圖1 多供取料的Q級聯示意圖Fig.1 Illustration of a Q-cascade with multiple feeds and withdrawals

顯然，在主供料處有：

(1)

對Q級聯，下式成立[22]：

(2)

(3)

(4)

(5)

在相鄰兩段的邊界處，豐度連續：

(6)

在貧化段和濃縮段的邊界，同樣有：

(7)

然而，邊界處的入口流量不一定連續：

(n=1,2,…,NW-1)，

(n=1,2,…,NP-1)

(8)

(9)

(10)

取料的豐度就是級聯相應取料位置處的豐度，即：

(11)

對整個級聯，各組分物質守恒：

FMCM,i-WMCWM,i=0

(12)

由豐度的定義：

(13)

上面的方程中，方程(2)、(6)～(10)、(12)、(13)建立起了多供取料Q級聯中各段級聯入口流量和豐度的相互聯系。

2 流量和豐度的方程求解

級聯的設計和分析就是根據所給定的條件來確定一個級聯，使其達到所期望的要求，給出相關量的關系。即在給定的條件下，對方程(2)、(6)、(10)～(12)、(13)進行求解，確定級聯中各段入口流量分布和豐度分布。

對于方程的數目，方程(2)中，i=1,2,…,NC，所以方程(2)實際上含有(NW+NP)NC個方程。方程(6)、(7)含有(NW+NP-1)NC個方程，方程(8)～(10)含有NW+NP+1個方程，方程(12)含有NC個方程，方程(13)含有NW+NP+1個方程。對整個級聯，共有(NW+NP)(2NC+2)+2個方程。因此，要完全確定級聯，還需提供NW+NP-1個方程或條件。

由方程(2)、(3)、(5)、(6)、(8)、(10)，不難得到:

(n=1,2,…,NW)，

(14)

(n=1,2,…,NP)

(15)

其中，

(16)

(17)

根據方程(7)和(9)得出：

(18)

結合方程(14)、(15)，得到:

(19)

把方程(13)應用到方程(14)、(15)，

(20)

(21)

這樣，方程(14)、(15)可寫成：

(22)

(23)

由方程(6)，式(22)、(23)也即是：

(n=1,2,…,NW-1)

(24)

(n=1,2,…,NP-1)

(25)

當n=NW，

(26)

或者n=NP，

(27)

(28)

這樣，再結合(12)，得到取料Wn1和Pn2：

(29)

(30)

對于給定取料的其他情況，類似地可以求出。需要提供的NW+NP-1條件中，并不一定都是給定取料，也可以是給定其他的量，比如豐度。但是，尤其需要注意，給定合適的豐度有時很不容易，可能導致無解或解無物理意義，但給定取料量，總是可以求得解。這從物理上很容易理解。給定了級聯的水力學狀態(形狀)，不論如何進行取料，在一個取料中，各組分總是有對應的豐度。然而，要求取料中某幾個組分滿足給定的豐度，在給定級聯的水力學狀態下未必能夠實現，甚至任何水力學狀態都不能實現，即不存在能夠滿足要求的級聯。

3 豐度的求解流程

求解豐度，即是在已知所有取料的情況下，求解方程(12)、(19)、(24)、(25)、(26)或者求解方程(12)、(19)、(24)、(25)、(27)。但實際上，由于取料中有2個是未知的，假定為Wn1和Pn2，求解的過程需要進行迭代。迭代過程如下。

(1) 給定求解精度ε1和ε2。

(2) 給定所有的取料Wn(n=1,2,…,NW-1)、Pn(n=1,2,…,NP-1)、WM(共計NW+NP-1個量)。

(5) 豐度歸一化：

(6) 根據方程(29)、(30)求出Wn1和Pn2。

(|ri|)≤ε2，結束，否則進行第(3)步求解中，精度要求ε1控制的是豐度是否滿足豐度定義的約束，精度要求ε2控制的是整個級聯的各組分的物質守恒是否得到滿足。

需要指出的是，第(3)步針對豐度求解方程組也需要迭代求解。當然，也可以把方程(12)(28)納入第(3)步中，針對豐度與取料一起進行迭代求解。

還需要特別指出，雖然由方程(26)或(27)都可得到CWM,i，但是由于求解數值上的誤差，在一些情況下(如級聯長度較長情況下)由方程(26)和(27)給出的CWM,i實際上不一樣，有時差別還很大。為確保求解的準確性，可以把由方程(26)和(27)得到的CWM,i進行比較，如差別較大，需要提升求解的精度，即取更小的ε1和ε2值。

實際應用中，選定的未知數可能不同于上面未知數，也就是說，上面所給定的未知數可能是已知數。每給定一個未知數，需要把上面作為已知變量中的一個變為未知數。比如，給定一個取料中的某個組分豐度，那么如果該取料量原來為已給定了的量，就可能需要改變為未知量。

4 級聯總流量和優化

求得豐度后，根據式(14)、(15)，得到在貧化段和濃縮段中級聯的入口流量分布分別是：

(31)

(32)

那么，級聯的總流量GT就是：

(33)

為不失一般性，假定級聯的產品流量為PP(PP可以是Wm或Pm中的一個，或幾個的和)。那么相對總流量GRT定義為：

(34)

(35)

把NW+NP-1個取料記為WWP。相對總流量GRT為MW、SW、MP、SP和WWP的函數，即是：

GRT=GRT(MW,SW,MP,SP,WWP)

(36)

那么，以GRT最小化對級聯進行優化可表達為：

minGRT(MW,SW,MP,SP,WWP)

s.t.Cond1,Cond2,…

(37)

其中，Cond1、Cond2等為優化要求的約束。

對式(37)所定義的優化，有多種方法可選，比如非線性順序二次規劃法、Hooke-Jeeve直接搜尋法、廣義簡約梯度法、自適應模擬退火法、下降單純形方法等，在一些優化的軟件中可以直接調用。

選擇MW、SW、MP、SP作為優化的變量是為了降低優化中求解方程的難度。對Q級聯的優化實踐說明，以其他量，比如一些組分的豐度替代MW、SW、MP、SP中同等數目的量作為優化變量也可以，但難以保證方程的解存在。

5 結論

實際中的同位素分離對多供取料的級聯提出了需求。研究復雜的分離情況也需要對多供取料級聯進行分析。

在供取料的位置處分段，把級聯分為較小的子級聯。利用Q級聯理論，建立各段在兩端入口流量和豐度間的關系；在分段處，利用入口流量過渡的條件和豐度連續要求，建立相鄰段入口流量和豐度的關系。以此導出了描述多供取料級聯的入口流量和同位素各組分豐度分布的級聯方程式。

給定所有供料和總取料數減兩個取料的情況下，確定一個級聯需要已知各段端部各組分豐度和入口流量、虛擬組分質量數和級聯長度。再給定各段虛擬組分質量數和級聯長度，求解級聯方程式可確定級聯。

確定了級聯也就確定了級聯的總流量和相對總流量。可以虛擬組分質量數和級聯長度為確定變量對級聯進行優化，最小化相對總流量。