面向多源時差定位的魯棒節點部署算法

趙 越，李 贊，李 冰，路曉菊，郝本建

(1.西安電子科技大學 通信工程學院，陜西 西安 710071；2.中國人民解放軍31007部隊，北京 100000；3.中國人民解放軍69036部隊，新疆維吾爾自治區 烏魯木齊 830000)

電磁頻譜監測對于國家頻譜規劃、無線頻譜資源管理、非法用頻管控等具有重要意義。在頻譜監測領域，信號源被動定位是將電磁頻譜信號與其空間位置直接關聯的技術手段，一直是國內外學者的研究熱點。在頻譜監測中，各個監測節點采集信號數據并回傳至融合處理中心，后者從輻射信號中提取出位置關聯參數，如到達時間(Time Of Arrival，TOA)、到達時間差(Time Difference Of Arrival，TDOA)、到達角度(Angle Of Arrival，AOA)等[1]，再結合各節點準確的空間位置信息，構建方程組求解信號源的空間位置。在上述的定位參數中，TOA需要收發雙方的時鐘同步，難以應用于非合作信號源的被動定位；AOA需要監測節點具備測向功能，硬件成本較大；因此，基于TDOA的被動定位體制在頻譜監測領域中被廣泛應用。

基于TDOA參數的無源定位體制下，各個監測節點相對于信號源的空間幾何構型，決定對于信號源的空間分辨率，繼而對信號源定位精度有較大影響。當不考慮監測系統的系統誤差且給定TDOA測量誤差強度時，監測網絡的空間幾何構型直接決定了對于信號源的定位誤差理論界限[2]。因而，優化各個監測節點的空間位置，是提升對信號源定位精度的有效手段。

頻譜監測網絡中的定位節點包括固定式節點和機動式節點，前者負責對信號源的常態化定位，后者則負責靈活補盲或提升特定目標的定位精度。因而，定位網絡的空間幾何構型優化，可以分為固定式節點的優化選擇、機動式節點的優化部署、存在固定式節點時機動式節點的優化部署。國內外學者針對定位網絡的空間幾何構型優化做了大量工作。在基于TDOA參數的定位網絡中，文獻[3]研究了固定式節點的優化選擇算法，通過將已選節點的克拉美羅界(Cramer-Rao Lower Bound，CRLB)最小化來尋求最優的定位節點選擇方案。文獻[4]研究了二維TDOA定位場景中的最優節點部署策略，通過柯西不等式尋求CRLB的松弛下界，尋找柯西不等式中等式成立的充要條件，從而確定最優定位節點部署方案。通過嚴謹的數學推導，文獻[4]認為，二維TDOA定位場景中最優的節點部署方案應是等角度部署。文獻[5]研究了三維TDOA定位場景中的節點部署策略，仍然是將CRLB視為目標函數，但由于考慮不規則部署區域約束、三維空間角度的強耦合等因素，該文獻采用遺傳算法來求解定位節點的部署方案。此外，針對固定式節點與機動式節點共存的定位網絡，文獻[6]提出了“部分可控網絡”的概念，并研究了基于TOA參數的定位體制下的機動式節點優化部署方案。由于不同定位體制下的定位原理與定位誤差界限是不同的，文獻[6]提出的節點部署算法難以直接推廣于基于TDOA參數的定位網絡。

在以上提及的定位網絡空間幾何構型優化中，CRLB均被視為信號源定位精度的數學表征，其計算過程中需要利用信號源的真實位置，以及準確的TDOA測量誤差的協方差矩陣[7]。然而，在實際的定位場景中，信號源的位置是無法準確已知的，TDOA測量誤差強度也受接收端噪聲起伏、傳輸距離等因素影響而變得未知。為了解決上述兩種不確定因素對于定位網絡空間構型優化的影響，文獻[8-10]將TDOA測量誤差的方差歸一化，從而忽略測量誤差對于節點部署或者節點選擇的影響。另一方面，由于缺乏信號源真實位置信息，文獻[11]利用信號源粗略估計位置的CRLB代替真實的CRLB，繼而構建節點選擇優化問題。文獻[12]則設置了定位精度閾值，將信號源所在區域中滿足精度閾值的子區域大小視為優化目標，繼而構建節點優化部署問題。然而，將TDOA測量誤差歸一化處理，或是將粗估計位置的CRLB視為優化目標函數，都會引入不確定性的誤差，導致對于真實信號源的定位精度隨著不確定性誤差的增大而逐漸惡化。

針對以上問題，文中研究面向多源時差定位的魯棒節點部署算法，主要工作包括：① 對固定式節點、機動式節點、多信號源共存的基于TDOA參數的定位場景進行了建模；② 描述了節點部署時面臨的兩種不確定因素，即信號源置信區域和等效TOA測量誤差的方差不確定性，并推導了加權平均最差CRLB(WAW-CRLB)作為定位精度的魯棒數學表征；③ 構建了以WAW-CRLB為目標函數的魯棒節點部署優化問題，并提出遺傳算法進行求解；④ 利用計算機仿真對所提魯棒優化算法進行驗證與分析。

1 系統模型

1.1 多源定位場景

圖1所示為固定式與機動式定位節點共存的多源定位示意圖，包括M個固定式節點、N個機動式節點和U個電磁輻射信號源。M個固定式節點已經部署，可實現覆蓋區域內的常態化信號感知與定位，其位置無法調整；N個機動式節點是未部署的，可以按照信號源的位置而自適應變化，通過調整空間位置實現不同的定位任務，并滿足各異的定位精度需求。假設各信號源所處頻段均位于定位節點的覆蓋頻段內，即各節點均能接收到全部信號源的信號。

圖1 固定式與機動式定位節點共存的多源定位示意圖

在二維笛卡爾坐標系中，全部Z=M+N定位節點的空間位置坐標為

si=(si，x，si，y)T，i=1，2，…，Z，

(1)

其中，序號i=1，2，…，M表示固定式節點；序號i=M+1，M+2，…，Z對應的是機動式節點。定義固定式定位節點集合和機動式定位節點集合分別為

sI={s1，s2，…，sM}，sII={sM+1，sM+2，…，sM+N} 。

(2)

如圖1所示，sII中的機動式節點只能部署于區域S內。此外，U個信號源的真實空間位置坐標為

uk=(uk，x，uk，y)T，k=1，2，…，U。

(3)

1.2 時差定位模型

以信號源uk為例，描述各個定位節點對其進行TDOA測量時的估計模型及誤差分布。信號源uk的信號輻射至定位節點si的傳輸時間，即TOA為

(4)

其中，c為電磁波的傳播速度，di，k為信號源uk和傳感器si之間的距離，‖·‖2為歐氏距離。

在進行無源定位時，各定位節點將數據回傳至融合處理中心，后者執行TDOA測量及目標位置估計。無論是針對時域連續的通信信號，還是針對時域離散的脈沖信號，對于TDOA測量的精度都受兩個接收節點處的信噪比影響。因此，可以用單路徑的等效TOA來分析研究TDOA的測量誤差模型。

(5)

(6)

(7)

(8)

其中，diag{x}表示構建x為對角元素的矩陣，IZ-1為維度(Z-1)×1的矢量。

1.3 不確定性模型

1.3.1 信號源的置信區域

1.3.2 等效TOA測量誤差的方差不確定性

2 定位精度的數學表征

2.1 克拉美羅下界(CRLB)

基于TDOA參數的無源定位，實質上就是從信號源位置關聯參數(即TDOA測量值)中，估計出信號源的空間位置。作為任何無偏估計的方差下界，CRLB定義為費舍爾信息矩陣(Fisher Information Matrix，FIM)的逆矩陣，已在定位問題中被廣泛地作為定位精度的數學表征[7]。

對于信號源uk，全部Z個定位節點參與定位時的CRLB，即C(uk)可表示為

(9)

2.2 加權平均最差克拉美羅下界(WAW-CRLB)

CRLB定義了信號源位置估計精度的理論下界，與所采用的信號源位置估計算法無關，因此被廣泛用于評估定位算法的優劣。正因為CRLB是定位網絡的本質特性，在定位網絡的空間幾何構型的相關研究中，CRLB往往被視為目標函數來衡量信號源定位精度。然而在實際中，信號源的真實位置、等效TOA測量誤差的方差都無法準確已知，導致式(9)中信號源的真實CRLB也是無從得知的。下面仍以uk為例，給出存在兩種不確定因素時，定位精度的魯棒數學表征。

2.2.1 最差CRLB

(10)

2.2.2 平均最差CRLB

在二維或三維近場定位中，定位節點對于信號源的空間分辨率較高，無法在信號源置信區域內尋找到一點，使得無論定位節點位置如何變化時，真實信號源的定位誤差絕對小于這一點的定位誤差。因此，可采用概率論的思想，在置信區域內隨機采樣，并將全部采樣點的W-CRLB進行平均運算，作為衡量置信區域定位精度的數學表征，以此保證描述潛在信號源定位精度的魯棒性。

(11)

2.2.3 加權平均最差CRLB

當置信區域內信號源的分布規律未知時，可以使用均勻分布進行采樣，此時在計算AW-CRLB時，每個采樣點可視為等概率的。若在執行當前時刻TDOA定位過程之前，通過其他定位方式或額外的TDOA定位周期，可給出信號源位置的粗略估計，則可在1.3.1節提及的置信區域內按照高斯分布進行采樣。為確保先驗位置信息的充分利用，距離粗估計位置越近的采樣點，權值應當越大。

(12)

(13)

3 魯棒節點部署問題構建與求解

針對多個特定目標進行定位時，僅依靠固定式節點無法確保較好的定位精度，且無法靈活地調整節點位置，因而需要部署若干機動式節點，與固定式節點一起組成全新的定位網絡，從而實現對于信號源的高精度定位。圍繞這一目標，本節構建面向多源的魯棒節點部署優化問題，并采用遺傳算法進行求解。

式(13)給出了全部Z個定位節點都用于測量單個信號源uk時的WAW-CRLB。面向多源定位的節點部署問題的目標函數，應為多個信號源WAW-CRLB的平均值，即

(14)

在此，不考慮各信號源的重要性排序，因此上式Cwaw(uk)之前不存在乘性因子作為權值。

在約束條件方面，對機動式節點進行部署時，應確保全部機動式節點位于部署區域S內，即

si∈S，i=M+1，M+2，…，M+N。

(15)

綜上，魯棒節點部署優化問題可構建為

(16)

在優化問題P中，待求解的決策變量是各個機動式定位節點的空間位置矢量sII。顯然，目標函數關于決策變量sII是非凸的，約束條件中的S往往也是非凸定義域，因此難以直接推導出P的理論閉式解。

遺傳算法是一種模擬達爾文生物進化論的自然選擇和遺傳學機理的生物進化過程的數值算法，已廣泛用于車輛路徑規劃[14]、邊緣計算任務調度[15]等復雜非線性優化問題。遺傳算法將非凸優化問題抽象為生物進化過程，首先生成包含若干個“個體”的初始“種群”，計算每個“個體”對于“環境”的適應度，經過“選擇”“交叉”“突變”3個核心步驟，使得“種群”對于“環境”的適應度不斷提高，并在若干次迭代后選取最優個體作為問題的解。針對優化問題P，可將決策變量sII視為“個體”，R視為“個體”的適應度，約束條件則視為“個體”的存在區域，經過有限次數的迭代后可獲得該問題的近似最優解。采用偽代碼的形式，給出遺傳算法對于優化問題P的求解過程：

初始化

Np、L、Lmax分別為“種群規模”，“進化”次數，最大“進化”次數(終止條件)；

SL={(sII)1，(sII)2，…，(sII)Np}∈S在定義域S內隨機選取Np個sII，組成初始“種群”。

函數定義

fitness(sII) 計算“個體”sII的適應度函數，即式(14)中的R；

select(SL) 對“種群”進行“選擇”操作，即“適者生存”；

crossover(SL) 對“種群”中的“個體”進行“交叉”操作，生成新“個體”，維持“種群規模”；

mutation(SL) 對“種群”中的“個體”進行“變異”操作，產生具有新“基因”的“個體”。

主循環

whileL

fori=1，2，…，Np

fitness_value=fitness((sII)i)；計算當前“種群”中全部“個體”的適應度；

end

SL+1=mutation(crossover(select(SL)))； 獲得下一次迭代的“種群”；

L=L+1； 更新迭代指示符；

end while

輸出

圖2給出了面向多源時差定位的魯棒節點部署流程框圖，在獲得信號源位置粗估計的基礎上，通過對置信區域采樣獲取多信號源的WAW-CRLB，并以此為目標函數構建魯棒優化問題，繼而采取遺傳算法求解得到機動式節點的最優部署位置，最終實現對于信號源的精確定位。

圖2 面向多源時差定位的魯棒節點部署流程框圖

4 仿真分析

4.1 多源定位仿真場景構建

構建二維定位場景如圖3(a)所示，其中M=4個固定式定位節點分別位于邊長為10 km的正方形區域的頂角上，位置坐標分別為s1=[0，0]Tkm，s2=[0，10]Tkm，s3=[10，10]Tkm，s4=[10，0]Tkm；存在U=3個信號源，分別位于u1=(2，6)Tkm，u2=(4，4)Tkm，u3=(6，2)Tkm；另有N=5個機動式節點，其部署區域S={A/N}。A是邊長為10 km的正方形區域，“/”表示集合相減，N表示不可部署機動式節點的區域，所覆蓋范圍是以(4，4)Tkm為圓心、半徑為3 km的圓形區域。

(a) 多源定位場景示意圖

4.2 對比算法

為了驗證所提的魯棒節點部署算法，采用以下兩種算法作為對比。

(2) 隨機部署算法。在部署區域S內隨機的部署N個機動式定位節點。需要說明的是，隨機部署算法與信號源的位置、粗估計位置、等效TOA的測量方差等均無關系，因而可作為基準算法。

4.3 所提算法魯棒性驗證

在對比不同節點部署算法的性能時，定位精度的數學表征應當是等效TOA測量誤差分布特性準確已知的情況下，定位網絡對于各個信號源真實位置的CRLB，以及多個信號源真實位置CRLB的平均值。它能夠反映出存在不確定因素時，不同的節點部署算法對于真實信號源的理論定位精度。

圖4所示為機動式節點部署后多源定位精度隨等效ROA測量值的參考標準差變化曲線，為便于表示，坐標橫軸為等效ROA測量值的參考標準差cσ0。圖4(a)和圖4(b)為不同的機動式節點部署方式下，定位網絡對于多個信號源的平均CRLB變化曲線圖，以及定位網絡對于單個信號源的CRLB變化曲線圖。由圖可知，在兩種不確定性存在的情況下，所提魯棒節點部署算法的性能優于非魯棒遺傳算法，且優于不考慮不確定因素的隨機部署算法。當cσ0為0.02、δi，k等于1時，按照所提算法部署節點時對于多個信號源的平均定位誤差，比非魯棒部署算法小7.1 m，比隨機部署算法小33.5 m。多源定位精度的提升也體現在對于每個信號源定位精度的提升，具體數值如圖4(b)所示。

(a) 多源平均定位精度變化曲線圖

4.4 機動式節點個數對定位精度的影響分析

進一步分析新增部署的機動式定位節點個數對各個信號源定位精度的影響。設置等效TOA測量值的參考標準差σ0為0.01/c，機動式節點的個數N由1遞增至10，其他參數的取值與4.3節的相同。

(a) 多源平均定位精度變化曲線圖

機動式節點部署后多源定位精度隨機動式定位節點的個數變化曲線如圖5所示。由圖5可知，隨著部署的機動式節點個數增多，定位網絡對于信號源的定位精度越好。以所提魯棒部署算法為例，部署10個機動式節點時的定位誤差比部署1個機動式節點時的定位誤差降低57.5 m。此外，無論部署多少個機動式節點，所提魯棒部署算法都能夠獲得優于非魯棒部署算法與隨機部署算法的定位性能，即多個信號源的平均CRLB更小，且任意一個信號源的CRLB也更小。

5 結束語

針對多源時差定位場景中的機動式節點部署問題，筆者提出存在信號源不確定區域、TDOA測量誤差不確定區間時的魯棒節點部署框架。筆者首先提出WAW-CRLB來魯棒地衡量存在不確定因素時的信號源定位精度，其次構建節點部署優化問題并采用遺傳算法進行求解。仿真結果表明，隨著多種不確定性的增加，所提魯棒部署算法逐漸優于兩種非魯棒的對比算法，并分別將定位精度提升7.1 m與33.5 m。另外，仿真結果還表明，隨著機動式節點個數的增加，多源定位精度將大幅提升。文中所提出的魯棒節點部署技術可支撐電磁頻譜監測領域的干擾源定位、頻譜動態規劃等應用。