基于質量約束的生產調度與設備維護聯合優化模型分析

成克強，戴青云，王美林

（1.廣東工業大學 信息工程學院，廣州 510006；2.廣東技術師范大學，廣州 510665；3.工業和信息化部電子第五研究所，廣州 510610）

0 引言

成本管控是以效益為導向的制造企業生存和發展的保障。就車間生產成本而言，主要包含研發、人力、設備、物業租賃成本等，其中，設備維護維修成本占比最大，生產不合格產品或返修品造成一定的成本損失，不科學的生產排產導致逾期交貨罰款或企業訂單流失，也間接增加生產成本。隨著智能制造車間數字化轉型發展，車間數據采集和處里能力快速提升，車間成本管控可結合設備運行維護數據、產線產品監控數據、生產排產數據等進行聯合考慮，制定協調設備維護維修、質量控制、生產排產等多目標優化方案，提升車間生產數據交互能力，降低預期生產成本。

在實際生產管理中，設備維護需占用生產時間影響生產效率，而持續生產加大機器故障概率，影響生產任務按期完成。同時，設備運行狀況直接影響產品質量，劣質產品被拒或返工將大幅提升生產成本。為合理解決生產調度、設備維護維修與質量控制三者之間的矛盾，許多學者圍繞生產調度與維護維修、維護維修與質量控制或者調度與質量控制開展研究。Cassady等[1]研究了預防性維護與生產調度的聯合優化，以完成全部作業最小延遲時間為優化目標。Tseng等[2]針對劣化生產系統建立聯合設備維護維修與質量控制的經濟生產批量模型，通過算例對最佳維修策略進行了評估。Cassady等[3]針對3個工件研究了預防性維護和生產調度的聯合優化，用枚舉法研究各種預防性維護情況。Zhiqiang Lu等[4]研究了不確定環境下的生產調度和預防性維護的聯合優化問題，提出了動態預防性維護策略。考慮到生產設備在生產過程中，性能逐漸衰退，導致產生劣質產品，增加企業成本，部分學者將生產調度、設備維護維修與質量控制三者進行聯合優化研究，Pandey等[5]回顧了2010年前部分學者對生產調度、設備維修、質量控制的研究情況，提出了集成模型框架。Duffuaa等[6]綜合考慮了三者之間的關系，但僅采用枚舉法考慮3批工件的優化調度。Divya Pandey等[7]采用質量控制策略研究了設備維護維修與生產調度的優化問題，文中用枚舉法分析了優化3批工件的調度問題。Mustapha Nourelfath[8]提出了聯合考慮生產、維護和質量的綜合研究模型，對預防性維護進行了不同等級劃分，文中只考慮了兩批加工生產任務。M.Rezaei-Malek等[9]針對非線性惡化串行多階段制造系統開展預防性維護、質量控制與生產調度的聯合優化，文中通過假設添加和減少質量檢測點，以此考慮成本的變化情況。

本文在以上研究基礎上，對聯合優化模型進行改進，嘗試對質量控制函數關鍵參數和預防維護時間進行聯合優化。考慮到生產設備伴隨役齡增加，性能逐漸衰退，故障概率增大，維護維修費用會不斷增加，在生產調度過程中，從理論上考慮附加設備維護維修成本。從相關文獻可以看出，大部分學者采用枚舉法對較少批次工件進行聯合優化，本文考慮增加工件數量，并采用啟發式算法對模型尋優，試圖從理論上推廣聯合優化應用。后續內容組織如下，先給出質量控制、設備維護維修、生產調度模型，接著聯合優化設備維護維修與質量控制方案，獲得質量控制關鍵參數與預防性維護時間值，再綜合考慮三者聯合優化。引用案例，在已有研究基礎上，對比聯合優化與單獨優化，并分析相關參數對結果的影響情況。

1 問題描述

生產加工時，合理安排作業順序，可以有效節省加工時間，減少延期交貨懲罰值，同時提高設備利用率。考慮生產設備隨役齡遞增，會產生不同程度的性能衰退或故障，需對設備進行預防性維護和事后維修。維護維修會占用生產時間，影響交貨期，而不進行維修，則一旦發生故障，對生產活動將帶來更大損失。同時，機器設備性能衰退，將生產不合格產品，甚至次品，也會間接增加生產成本。本文采用工藝過程質量控制法對加工產品進行采樣檢測，一旦監測到產品質量偏離預定判定值時，將對設備進行預防性維護或停機維修。

結合文獻[11]，機器失效分兩種情況，第一種情況（FMone）直接引起設備停機，通過事后維修，使機器恢復正常狀態，需耗費一定的維修成本；第二種情況（FMtwo）機器失效是漸變的，隨著機器役齡增加，各項功能逐漸衰退，生產過程由控制狀態逐漸轉移到失控狀態，不會直接導致機器停機，但會影響產品質量。當產品質量下降到預定值時，將終止生產，進行設備維護。不合格品或者廢品的產生，與設備性能有關，也有可能是外部因素如環境惡劣影響加工、人工操作錯誤等造成。

2 模型構建

符號說明：

本文考慮機器以恒定速率加工多批次任務，每天分三個班次運行，每個班次工作七個小時，一周工作六天，對運行期間加工產品進行抽樣監測。優化目標是最小化單位預期生產成本值，包括生產成本、維護維修成本，以及產品質量監測成本。研究采用工藝過程質量控制法對產品質量進行加工監測，用均值μ、標準差為σ表示產品質量特征值，當生產過程處于控制狀態時，均值為目標值。由于外部因素或人為操作失誤時，均值會發生變化，即處于失控狀態，此時μ=μ0+δσ0(δ≠0)，通常這種變化是不易覺察的，需要對產品進行監測統計才能發現。工藝過程質量控制圖有三個重要參數（h，n，k），h為抽樣間隔，n為樣本大小，k為樣本分布在控制圖中心線與控制限之間的標準差數。控制圖的上下限表示如下：

本文對質量控制、設備維護維修以及生產調度懲罰值函數三者進行聯合優化，單位預期成本函數表示為：

以下介紹各函數情況：

工藝過程質量控制成本函數EPqc表示為：

其中，LEN=1/(1-β)，β=P{LCL≤x≤UCLμ=μ0+δσ0}，由于X服從正態分布，，，所以，，PN=1-F(3-δ)-F(-3-δ)。另外參考文獻[1]，系統在控制階段預期抽樣數S表示為S=e-λh/(1-e-λh)，LENin=1/alf，alf為第一種失效類型發生概率。φ(k)服從標準正態分布。

式(2)表示工藝過程質量控制成本函數，式(3)表示質量函數由七個部分組成，式(4)～式(10)分別表示質量函數的七個組成部分，即虛假報警預期成本、每個周期抽樣預期成本、不合格產品預期質量成本、機器惡化導致失控狀態的預期損失成本、外部因素導致失控狀態的預期損失成本、失效模式2導致的損失成本、查找外部因素引起故障并重置恢復預期成本，式(11)表示抽樣期包括控制期和失控期，式(12)～式(16)分別表示失控期和控制期的時間函數，式(13)～式((15)表示失效概率，從機器運行歷史數據統計得出機器發生故障的概率，由機器退化和外部因素兩種情況導致。

設備維護維修成本包括事后維修和預防性維護活動產出的成本，即:

生產調度成本主要考慮工件延期交貨帶來的懲罰值。由于設備運行，隨著役齡增加，設備出現故障概率也會相應增大，為計算設備運行造成的損耗成本，本文由設備故障概率與事后維修時間計算損失成本。假設P[i]為對應懲罰值，工件總拖期懲罰函數為：

Q[i]是一個離散隨機變量，具有以下概率函數值，

在生產調度過程中，做以下約定，對加工第i個工件前執行預防維護，則y[i]=1，否則，y[i]=0。y[i]與機器役齡有如下關系：m[i-1]=m[i-1](1-y[i])，m[i]=m[i-1]+p[i]i=1,2…,n，t表示機器運行時間，假設機器故障服從威布爾分布，則ψ(t)=1-exp[-(t/η)β]。

3 案例分析

采用文獻[1]和文獻[3]實驗案例對以上聯合優化模型進行驗證分析。試驗參數設置情況如下：機器運行服從參數（100，2）威布爾分布函數，Tfa和Ta均為1，單次抽樣時間為1/3，重置時間為2，產品生產效率為20，機器事后維修時間12；經費設置方面，事后維修固定成本10000，預防性維護固定成本800，單位產品損失成本40，人工單位成本500，抽樣成本40，可變成本10，產品被拒損失成本5000，誤報損失成本1200，重置單位成本1500。概率假定，第一種失效模式發生概率為0.6，EPer為1，EPmf為0.8，σ為0.01。

首先考慮工藝過程質量控制函數與設備維護維修函數聯合優化，以質量控制函數三個關鍵參數（n，h，k）及預防性維護時間Tpm為優化對象。運用MATALB編程優化，采用遺傳算法進行多次尋優，最后得到優化參數組合值為（32.5，4.6，3.7，4.4）。對獲得的組合值進行分析，由于K值是服從標準正態分布函數值，單位預期成本函數值隨K值變化太小，不加以討論，主要分析抽樣值、抽樣間隔、預防性維護時間值對優化目標的影響情況。n和h直接關系到工藝過程質量控制成本；Tpm設置時間長，耽誤工期，造成成本增加；時間較短，則影響預防維護的質量，同時造成成本更高的事后維修。對以上三個關鍵參數進行多次試驗，得到結果如表1所示：

表1 工藝過程質量控制參數分析

可以看出，算法得出的組合值，對應單位預期成本值最優。預防性維護的操作時間延長，對單位預期成本影響不大，而在質量約束條件下，隨著抽樣數量及抽樣間隔的增加，質量函數產生的成本增加最快。同時，在最優組合值的基礎上，不管是增加抽樣樣本還是延長抽樣間隔，以及延長預防性維護時間，都將不同程度的增加單位預期成本。

在以上實驗基礎上，聯合生產調度拖期懲罰函數，對質量、維護維修、生產調度進行聯合優化，考慮加工工件的權重和交貨期。工件信息如表2所示：

表2 加工工件基本信息

假設機器初始壽命是47，單位時間延遲交貨懲罰值為100。利用上述獲得工藝過程質量控制優化參數組合，運用遺傳算法，對生產排序和單位預期成本值進行獨立尋優和聯合尋優。試驗得出，獨立尋優得到的優化順序是：7-5-8-6-3-4-1-2，預期單位成本值是2803；聯合尋優得到的優化順序是：5-7-8-6-3-1-4-2，預期單位成本值是2737。從試驗結果可知，生產過程中對質量、維護、作業調度進行聯合優化有助于節省生產成本。

在實驗中，發現對設備維護維修耗費較多，符合現實車間成本管理情況。在計算生產排序懲罰值時，考慮了加工時間、預防性維護時間和事后維修時間。設備在運行時，隨著役齡增加，出現故障的可能性也會增大。假設設備故障概率服從威布爾分布，計算工件完工時間時從理論上考慮了設備發生故障所耽誤的時間。表3是加工以上8項任務時，每次加工完成設備出現故障的概率情況。如加工完成第三批工件，理論上有k=0,1,2,3四種故障發生概率值，當此批次出現拖期懲罰時，則從理論上根據事后維修的時間與出現的概率進行延期損失成本。即使不發生拖期交貨，也從理論上累計因設備役齡遞增而產生的時間消耗值，通過時間損失，折算成成本損失。

表3 加工各工件時設備出現故障的概率值

4 結語

本文研究設備維護維修、質量控制與生產調度的聯合優化問題，在已有學者研究基礎上，對優化模型進行了改進。通過對工藝過程質量控制函數關鍵參數、預防性維護時間參數，以及作業調度序列進行聯合優化，以單位時間生產總成本為優化目標，采用啟發式算法對模型進行多次尋優，得出聯合優化比單獨優化更能節省生產成本，說明建立的優化模型在理論上具有一定的參考價值。通過本算法，體現了開展設備維護維修、質量控制與生產調度三者聯合優化的意義，但也揭示了模型的不足之處。對于大批量作業調度問題，采用聯合優化會涉及大量的尋優工作，系統復雜度過于龐大，運算時間較長，在實際應用中還要對算法加以改進。同時，在下一步研究中，還將考慮多設備、多批次的聯合優化問題，更接近實際生產需要。