考慮軸力和剪切效應的盾構隧道縱向變形分析

楊成永 ，馬文輝 ，費 騰 ，韓薛果 ，程 霖

（北京交通大學土木建筑工程學院，北京 100044）

盾構隧道、地下管線等地埋構件一般采用彈性地基梁的方法分析其變形和內力.但盾構隧道與其他地埋構件相比，有兩個不同點：一是盾構隧道由于其圓環的截面形式及環縫的存在，其剪切剛度比彎曲剛度小很多，因此剪切變形不可忽略；二是盾構隧道在修建時，為了環間防水的需要，環縫被擠緊，存在軸向受壓的裝配力[1].本文探究了在剪切變形及軸向荷載影響下盾構隧道縱向變形的計算方法及縱向變形的規律.

剪切變形可采用Timoshenko梁理論進行處理.隧道在橫向力作用下將產生彎曲變形wb(x) 和剪切變形ws(x) ，總變形w(x) 為兩者之和[2].

Timoshenko梁理論認為，剪切變形只是使梁產生撓度，不產生內力；彎曲變形和剪切變形分別滿足不同的微分方程；彎曲變形和剪切變形需要分開進行計算.

Wu等[3-4]考慮剪切效應探討了盾構隧道的變形問題.他們的方法是按總變形建立控制微分方程.這樣做需要對剪切變形（撓度）求高于二階的導數.由于剪切變形的二階導數是荷載集度，其三階及四階導數缺乏明確的物理意義.另外，當隧道不是無限長而是有限長時，端部條件需要同時滿足彎曲變形和剪切變形的要求.

Hetenyi[5]研究過梁在其端部承受軸向拉力的情況，楊成永等[6]探討了撓曲變形產生的軸力對地下管線變形的影響.他們處理軸力的方法均是在控制微分方程中增加了軸力項，并且得到的微分方程是一致的.在小變形情況下，撓曲變形軸力可以忽略.

本文分別列出了彎曲變形和剪切變形遵從的微分方程，討論了右端荷載的形式，然后考慮剪切變形所產生的那部分地基反力，建立了彎曲變形的控制微分方程.按照剪力的表達式，推導了剪切變形的計算公式；采用帶補充項的傅立葉級數為彎曲變形的展開式，得到了求解彎曲變形傅立葉系數及端部轉角和剪力的方程組.給出了求解撓曲變形軸力的迭代步驟.通過本文的傅立葉解與既有理論解的對比，驗證了級數解的正確性.最后采用本文方法計算分析了盾構隧道縱向變形的規律.

1 隧道變形的控制微分方程

1.1 基本方程

1.1.1 彎曲變形

考慮軸力的彈性地基梁的彎曲變形撓曲線微分方程[5-6]為

式中：E為隧道的彈性模量，kPa；I為隧道橫截面的慣性矩，m4；wb(x)為彎曲變形量；D為隧道的外徑，m；K為地基系數，kPa/m；q(x)為作用在隧道上的分布荷載（不包含地基反力），kPa，向上為正；Na為盾構隧道由于裝配產生的軸力，kN，軸力以拉為正；Nd為由于隧道撓曲變形產生的軸力，kN；x為沿隧道軸線的坐標（中點處x= 0），m.

根據彎曲變形計算彎矩M（x）及剪力Q（x），分別如式（2）、（3）.

1.1.2 剪切變形

彈性地基梁的剪切變形遵從的撓曲線微分方程[2]為

式中：η為Timoshenko梁的剪切系數；G為隧道的剪切模量，kPa；A為隧道的截面面積，m2；ws(x)為剪切變形.

不同類型截面Timoshenko梁的剪切系數[7-8]為

式中：m=d/D，d為圓環內徑，m；v為泊松比.

由式（4）可得剪切變形為

1.2 右端荷載

盾構隧道主要承受由于地層不均勻、地層固結或近接施工產生的土層位移荷載，但為了本文方法具有更廣泛的實用性，還考慮隧道承受滿布均布荷載、對稱的集中力及對稱的局部均布荷載作用，如圖1.圖中：x0為集中力P作用的位置；x1為局部均布荷載的起始位置；c為局部均布荷載的分布寬度；S0為土層在沉降槽中點處（x= 0）的最大沉降，向上為正；i為土層沉降槽半寬，即沉降曲線反彎點距x=0處的水平距離；L為計算范圍的半寬.則式（1）中的右端荷載可寫為

圖1 盾構隧道上的作用荷載及其沉降示意Fig.1 Schematic of loads on a shield tunnel and its deflection

式中：S(x)為土層沉降，m，向上為正；q0為滿布均布荷載，kN/m；q1為局部均布荷載，kN/m；荷載均以向上為正.

式（7）中集中力有兩個，局部均布力有兩處，均呈對稱分布.

為了進行級數法求解，需要在式（7）中引入脈沖函數和階梯函數，如式(8).

式中：δ(x)為脈沖函數，如式（9）；H(x)為 Heaviside階梯函數，如式（10）.

由式（9）和式（10）可知：當令x0= 0 時，可得到作用在沉降槽中央的大小為2P的集中荷載；當令x1= 0時，就得到作用在沉降槽中央的分布范圍為2c的局部均布荷載.

式（8）中的土層沉降一般服從正態曲線，即

當土層位移荷載、集中荷載和局部均布荷載不對稱時，計算公式將有不同，但不存在數學困難.

1.3 考慮剪切變形影響的控制微分方程

在存在有彈性地基時，剪切變形將產生相應的地基反力.考慮剪切變形引起的地基反力后，式（1）中右端荷載將增加一項 -KDws(x)，負號表示地基反力與隧道剪切變形的方向相反.結合式（1）和式（6）得式（12）.

將式（3）代入式（12）中的積分項，將式（8）代入式（12）中的右端第一項，得考慮軸力和剪切變形影響的彈性地基上盾構隧道的彎曲變形的撓曲線微分方程為

2 傅立葉級數求解

2.1 函數的級數展式

為了使問題得到簡化，將式（13）中的Nd作為一個待求的常量，即用平均軸力（Ndmean）代替Nd.為了對式（13）進行級數求解，需要把式（13）和式（8）中的wb(x)、S(x)、δ(x)、H(x)展開成三角傅立葉級數.由于對稱，可分別展成余弦級數.

為了能同時適應有限長隧道和無限長隧道兩種情況，wb(x)的級數展開采用在范圍[-L，L]上的帶補充項的余弦傅立葉級數[9]為

式中：a0～an均為待求的傅立葉級數系數；θ0為隧道兩端的轉角，rad；Q0為隧道兩端處的剪力，kN；an、θ0和Q0均是待求量；C(x)、D(x)分別如式（15）、（16）.

當θ0和Q0均為 0 時，對應無限長隧道的情況，此時式（14）已滿足兩端轉角為0及剪力為0的邊界條件，并且由于對稱，中點的轉角及剪力也為0；當θ0或Q0不為 0時，對應有限長隧道的情況；θ0為0而Q0不為0時，對應兩端固支的情況；θ0不為0而Q0為0時，對應兩端自由的情況；θ0及Q0均不為0時，對應兩端簡支的情況.

級數求解中補充項也需要展開成余弦傅立葉級數.

C(x)的級數展開為

D(x)的級數展開為

式（14）按C(x)和D(x)的級數展開式得到的各階導數為

S(x) 在[-L，L]上的余弦傅立葉級數展開為

式中：s0和sn均為S（x）的傅立葉級數系數.

在計算范圍較大，如L取不小于3i時，利用式（11）有

若梁的長度較短，并在該短梁上要施加土層荷載，則式（28）、（29）只能采用直接積分的方法計算.

δ(x)的傅立葉級數展開[9]為

H(x)的傅立葉級數展開為

2.2 剪切變形的計算公式

將式（15）、（16）代入式（14），求三階導數后代入式（3），再代入式（6），得

2.3 方程組及相關變量計算

將式（17）、（20）代入式（14），然后把式（14）、式（24）、（26）、（27）、（30）、（33）代入式（13），比較常數項及三角函數的系數，得到求解式（14）中級數系數及待求量的方程組為

式（37）、（38）中有N+1個方程，N+4個未知量：a0及an、端部轉角θ0及剪力Q0、平均撓曲變形軸力Ndmean.

對端部轉角θ0，當為無限長隧道和兩端固支的有限長隧道，θ0= 0；對兩端簡支或自由的有限長隧道，可利用隧道端部彎矩為0的條件增加一個補充方程.將式（15）、（16）代入式（14）并求二階導數，令其在x= ±L處等于 0，有

對端部剪力Q0，當為無限長隧道和兩端自由的有限長隧道，Q0= 0；對兩端簡支或固支的有限長隧道，可根據端部位移為0的條件來增加另一個補充方程.令式（14）在x= ±L處等于 0，有

Ndmean需要采用迭代法進行計算.

2.4 撓曲變形軸力的迭代過程

式（37）、（38）中未知量Ndmean的迭代過程如下：

1）按式（18）、（19）計算c0和cn，按式（21）、式（22）計算d0和dn，按式（28）、（29）計算s0和sn，按式（31）、（32）計算δ0和δn，按式（34）、（35）計算H0和Hn.

3）根據不同類型的梁及梁的不同支承條件，按式（37）、（38）、（39）、（40）組成方程組計算a0、an及θ0和Q0.

4）根據a0、an、θ0和Q0按式（14）通過數值積分計算梁的半弧長L(j)，然后計算撓曲變形產生的平均軸力為

6）按式（14）計算彎曲變形產生的撓度.按式（36）計算剪切變形產生的撓度；兩者相加得總撓度.

7）按式（2）計算彎矩M（x）；按式（3）計算剪力Q（x）.

其中關于撓度w（x）的二階及三階導數可以分別按式（24）、（25）計算，也可按式（42）、（43）計算.

至此，若與隧道有關的參數D、d、E、v、G，以及與荷載有關的參數K、S0、i、P、q0、q1已知，則可計算隧道的沉降和內力.

不難理解，上述的級數解力學模型可以進行多種情況的簡化：若不考慮剪切變形，則在前述的公式中去掉包含的項；若不考慮裝配軸力，則去掉包含Na的項；若不考慮撓曲變形軸力，則去掉包含Nd及Ndmean的項，求解過程也無需進行迭代；若沒有土層位移荷載、集中力或均布荷載，則分別去掉包含S0及b0和bn、P、q0、q1的項.若不考慮彈性地基，則去掉包含K及KD的項.

3 計算與分析

3.1 計算數據

后續計算中用到的關于盾構隧道、土層及荷載的計算參數如下：

盾構隧道L= 62 m，D= 6.2 m；無限長梁時，取L= 2.5 × 62 m，等效抗彎剛度EI= 8 × 107kN·m2，等效抗剪剛度ηGA= 4 × 106N，K= 1 000 kPa/m；P=-1 000 kN （x0= 0）；q0= -50 kN/m；q1= -100 kN/m，分布范圍 10 m （x1= 0，c= 5 m）；Na= -20 MN.

土層位移荷載取土層沉降參數：最大沉降S0=-10 mm，沉降槽半寬i= 6 m.

計算中級數取200項.后面第3.2節～3.4節中，未特別指明的參數，均采用本節所列數值.

3.2 模型驗證

采用普通梁及彈性地基梁的解析解來驗證本文級數解的正確性.

選取無彈性地基和有彈性地基各4個算例進行計算，分別列于表1、2.表中：Mc、wc分別為中點彎矩及撓度；wd為端點撓度.

表1 無彈性地基時解析解與傅立葉級數解的計算結果Tab.1 Analytical and Fourier series solutions for an ordinary beam

從表1和表2的對比計算可以看出：

表2 有彈性地基時解析解與傅立葉級數解的計算結果Tab.2 Analytical and Fourier series solutions for a beam on elastic foundation

1）級數解在有無彈性地基、考慮和不考慮剪切變形及軸力各種情況下，均與理論解吻合很好.

2）級數解與理論解，在滿布均布荷載時，計算結果完全相同；在局部均布荷載時，前四位有效數字相同；在集中荷載時，區別最大，最大相對誤差發生在例7的彎矩，為1.03%.造成局部均布荷載及集中荷載時有差異的原因是采用階梯函數及脈沖函數來模擬荷載分布形式的緣故.

3.3 盾構隧道剪切變形占總變形的比例

盾構隧道剪切變形的大小與其截面形式、端承條件、荷載形式、長高比以及有無彈性地基有關.

3.3.1 截面形式

關于截面形式對剪切變形的影響，可根據式（5）的剪切系數及表1中Timoshenko梁的撓度式進行對比計算.不考慮彈性地基，也不考慮環縫的存在.隧道的抗彎剛度及剪切剛度根據截面尺寸和彈性模量與剪切模量進行計算.取隧道內徑d= 5.5 m；E=3.45 × 107kPa，v= 0.2，其他參數（l、D、P及q0）仍按第3.1節中取值，結果見表3.

表3 截面形式對比計算結果Tab.3 Comparison between circular and annular cross sections

由表3可以看出：具有空心圓環斷面的盾構隧道，即使不考慮環縫的存在，其剪切變形占總變形的比例也比實心梁構件大許多；圓環截面算例2是圓截面算例1的2.9倍，算例4是算例3的2.6倍.

3.3.2 端承條件、荷載形式及長高比

盾構隧道實為彈性地基構件并主要承受土層位移荷載.為分析端承條件、荷載形式及長高比情況下盾構隧道剪切變形的大小，按不同支承條件（兩端自由、兩端簡支、兩端固支、無限長梁）、不同荷載形式（滿布均布荷載、集中荷載、土層位移荷載）及不同長高比（10∶1、20∶1、30∶1）計算隧道的彎曲變形和剪切變形.長高比10∶1是按約10倍的沉降槽半寬確定的；長高比20∶1、30∶1是用于考查隨計算范圍的擴大，有限長隧道的計算結果與無限長隧道間的差異.具體的計算結果列于表4.

從表4可以看出：

1）不同支承條件間進行比較可知，兩端固支時剪切變形在總變形中的占比最大，其他支承條件（兩端自由、兩端簡支、無限長隧道）時該占比小并且較為接近.

2）不同荷載形式間進行比較可知，對兩端自由、兩端簡支、無限長隧道，荷載在跨中的集中度越大剪切變形的占比越高.

但在兩端固支時，集中荷載和滿布均布荷載時剪切變形的占比較大并且兩者數值接近；在中部有局部荷載（正態分布的土層位移荷載）時，剪切變形的占比較小.這一現象在無彈性地基時也是如此.因此，這個規律是由端部條件決定的.

3）長高比越小，剪切變形在總變形中的占比越大[2].從表4對集中荷載的計算結果來看，對兩端自由、兩端簡支隧道，當長高比大于10后，剪切變形的占比趨于穩定，與無限長隧道接近.對兩端固支隧道，這一比值約為15.

3.3.3 有無彈性地基

用表1中的變形數據計算剪切變形與總變形之比，列于表5.

比較表4與表5中對應的數據可知：當有彈性地基時，彎曲變形及剪切變形均明顯減小.但剪切變形與總變形的比例并沒有趨勢性的變化.

表4 盾構隧道彎曲變形和剪切變形的計算結果Tab.4 Bending and shear deformations of shield tunnels

表5 無彈性地基時彎曲變形和剪切變形的計算結果Tab.5 Bending and shear deformations of a shield tunnel as an ordinary beam without elastic foundation

3.4 剪切剛度對變形和內力的影響

針對無限長彈性地基隧道進行計算.參照文獻[4]中外徑6.2 m和11.0 m盾構隧道的等效抗剪剛度分別為 2.08 × 109N 和 3.38 × 109N，本次計算的等效抗剪剛度變化范圍取為ηGA= 8 × 109，4 × 109，2 ×109，1 × 109N.其他參數按第 3.1 節中取值.計算隧道在土層位移荷載作用下的沉降和彎矩.結果列于表6.

表6 盾構隧道剪切剛度對變形影響的計算結果Tab.6 Influence of shear rigidity of a shield tunnel on its deformation

從表6可知彎曲變形和剪切變形呈現如下規律：

1）考慮剪切變形后，總撓度是增加的；

2）隨剪切剛度的降低，剪切撓度增大，其在總撓度中的占比也增大，該占比可以達到20%以上；

3）雖然總撓度是增加的，但隨剪切剛度的降低，彎曲撓度及彎矩是減小的，產生這一現象的原因，是由于剪切變形所對應的那部分地基反力，抵消了部分外荷載所致.

3.5 裝配力對彎曲變形和彎曲內力的影響

對無限長盾構隧道，參照文獻[1]對盾構隧道管片縱向應力的測量結果，取Na= -10，-20，-40 MN.其他參數仍按第 3.1 節中取值.計算隧道在土層位移荷載及軸力作用下的沉降和彎矩.結果列于表7.

表7 盾構隧道裝配軸力對變形影響的計算結果Tab.7 Influence of installation caused axial force of a shield tunnel on its deformation

由表7可知：1）隨軸力的增大，撓度和彎矩均增大；2）軸力對撓度和彎矩的影響幅度不大，一般對撓度的影響不超過2%，對彎矩的影響不超過3%.

4 結束語

本文把彎曲變形和剪切變形分開分別計算.彎曲變形和剪切變形兩者的聯系是在有彈性地基時，在彎曲變形的撓曲線微分方程中需要考慮剪切變形產生的地基反力.剪切變形的計算可以采用兩種方法：一是通過外部荷載（包括地基反力）；二是通過內力（剪力）.本文采用的是較為簡單的內力的方式.

得到如下主要結論：

1）考慮剪切變形后，總撓度有所增加，但彎曲撓度及彎矩反而有所減小.

2）剪切變形隨剪切剛度的降低而增大.

3）剪切變形占總變形最少可達20%.這么大的剪切變形一是由截面形式（圓環截面）貢獻的，二是由低的剪切剛度造成的.這里要注意，如果環縫的存在引起抗彎剛度和抗剪剛度同等幅度地降低，是不會增大剪切變形的占比的.

4）盾構隧道所受的軸向力對其豎向撓度和彎矩的影響較小，可以忽略.

本文所建立的計算方法適應于長隧道和短隧道、有彈性地基和無彈性地基，并可考慮多種荷載形式.但所討論的問題是對稱的，對非對稱問題，可采用不同的補充項及正弦級數展開解決，公式要復雜一些，但不存在數學困難.