彈體超高速侵徹石灰巖靶體地沖擊的數值模擬研究*

張山豹，孔祥振,2，方 秦，洪 建

（1. 陸軍工程大學爆炸沖擊防災減災國家重點實驗室，江蘇 南京 210007；2. 東南大學爆炸安全防護教育部工程研究中心，江蘇 南京 211189）

近年來，以“上帝之杖”為代表的超高速動能武器迅速發展，其終點毀傷效應成為武器研發及工程防護領域關注的熱點問題。彈體對地打擊的破壞模式主要表現為兩個方面：(1) 彈體沖擊靶體，侵入靶體直接造成破壞；(2) 侵徹沖擊產生的瞬時高壓以應力波的形式在靶體中傳播，造成靶體內部的間接破壞效應（如開裂，震塌等破壞現象），即為侵徹的地沖擊效應。已有實驗表明，彈體侵徹混凝土和巖石等脆性靶體時會呈現剛性侵徹、變形不侵蝕侵徹和侵蝕侵徹3 個典型階段，且會出現侵徹深度隨初速度增加而減小的情況。彈體超高速侵徹的直接侵徹深度相較于中低速侵徹沒有明顯增加，地沖擊效應可能成為其對地破壞的主要途徑。因此，研究彈體超高速侵徹的地沖擊規律，對綜合評價超高速動能武器的對地毀傷效應具有重要意義。

“上帝之杖”動能彈的入地侵徹速度可超過3 km/s，但受限于實驗條件，對彈體在該速度區間侵徹巖石類脆性材料的研究較少。Poelchau 等、李干等、錢秉文等分別開展了不同彈體超高速侵徹巖石類脆性材料的實驗研究，主要針對靶體開坑形態、侵徹深度的變化規律等進行研究?？紫檎竦葘楏w超高速侵徹半無限金屬靶的6 種典型的理論模型進行了對比分析，發現其均不適用于混凝土等脆性靶體的侵徹深度預測。特別是針對彈體超高速侵徹巖石類材料的地沖擊研究，目前還較匱乏且主要以數值模擬方法為主?；贕EODYN 流體動力學計算軟件和自定義的材料動態本構關系，Antoun 等開展了鎢合金彈體超高速侵徹石灰巖靶體的數值模擬研究，重點探討了初速度為4 和6 km/s 情況下的地沖擊效應。鄧國強等以流體彈塑性模型為基礎，采用無網格的光滑粒子流體動力學（smooth particle hydrodynamics, SPH）方法，對彈體超高速侵徹花崗巖靶體進行了數值模擬研究，分析了超高速打擊的破壞現象及靶體中應力波的傳播規律，并基于破壞特征和應力波傳播特征提出了超高速侵徹和裝藥淺埋爆炸的等效方法。基于超高速侵徹成坑與淺埋爆炸成坑的對比分析，王明洋等提出了超高速侵徹地沖擊的等效計算方法，并結合開展的合金鋼彈體超高速侵徹花崗巖靶體實驗對等效方法進行了驗證?？梢园l現，不同學者選用的彈靶材料、本構模型參數以及數值模擬方法均不相同，且對地沖擊的影響因素尚未有系統的分析。

本文中，以鎢合金長桿彈和石灰巖靶體為研究對象，對超高速侵徹的地沖擊進行數值模擬。由于超高速侵徹時石灰巖靶體處于高圍壓、高應變率狀態，因此為保證數值模擬的可靠性，首先基于石灰巖材料的靜動態力學實驗數據對材料模型參數進行詳細標定，并結合彈體大范圍著速侵徹石灰巖靶體實驗驗證模型參數的準確性；然后基于上述驗證的數值模型，對彈體超高速侵徹石灰巖靶體進行數值模擬，研究不同初速度下的地沖擊規律，并進一步詳細探討彈靶參數對地沖擊的影響規律。

1 石灰巖材料模型參數的標定

石灰巖是一種多孔、中等強度的巖石材料，抗壓強度約為60 MPa，初始密度和壓實密度分別為2 280 和2 700 kg/m3。已有石灰巖的靜動態力學性能實驗數據較多，因此靶體選用石灰巖，數值模擬中材料模型選用前期自主開發的Kong-Fang 模型。本節中首先簡要介紹Kong-Fang 材料模型，然后基于已有的靜動態力學性能實驗數據對模型參數進行標定。

1.1 Kong-Fang 模型

在對已有脆性材料模型（HJC、RHT 和K&C 模型等）進行精細化評估的基礎上，Kong 等提出了適用于爆炸沖擊作用下的Kong-Fang 材料模型，并將其植入LS-DYNA 軟件中。Zhang 等結合高速侵徹下脆性靶體材料的高圍壓屈服和動態拉伸特征，對Kong-Fang 模型進行了改進，并將改進的Kong-Fang 模型植入AUTODYN 商業軟件中，經驗證能夠較好地模擬脆性材料靶體的損傷破壞效應。本文中，模型介紹及數值模擬均基于改進后的Kong-Fang 模型。

Kong-Fang 模型的強度面包含最大強度面σ、屈服強度面σ和殘余強度面σ，并通過損傷變量和η 插值得到當前破壞強度面σ ：

式中：為當前子午面與壓縮子午面的比值；為壓力，受壓為正；λ 為修正的等效塑性應變；λ為峰值應力對應的λ。

Kong-Fang 模型能夠區分拉壓損傷，總損傷由拉壓損傷耦合而成：

式中：為壓縮損傷，為應力偏量造成的拉伸損傷，Δ為應力球量造成的拉伸損傷。強度面及損傷相關的參數標定詳見1.2 節。

Kong-Fang 模型使用徑向放大破壞強度面的方法考慮應變率效應，最終強度面按照下式確定：

式中：為材料的動態強度增強因子，在Kong-Fang 模型中采用Xu 等提出的經驗公式，具體形式及參數標定詳見1.3 節。

1.2 強度面參數的標定

Kong-Fang 模型中最大強度面σ需通過圍壓壓縮實驗數據標定，屈服強度面σ和殘余強度面σ分別通過材料的應變硬化和應變軟化曲線特征進行標定，各強度面具體形式為：

式中：、和分別為材料的單軸靜態拉伸強度、壓縮強度和屈服強度。、、、和為強度面中的經驗參數，需根據實驗數據進行標定；ψ 為拉壓子午面之比，需要根據圍壓壓縮（σ＜σ=σ，σ、σ、σ分別為第一、第二和第三主應力，以拉為正）和圍壓拉伸（σ＞σ=σ）兩種狀態的強度面關系確定。

利用Fossum 等開展的三軸實驗數據對原Kong-Fang 模型的拉壓子午面比ψ 標定為：

根據Fossum 等和Walton 等開展的不同圍壓下的石灰巖圍壓壓縮實驗數據，擬合得到最大強度面曲線，如圖1 所示。同時考慮巖石材料的剪切飽和特性，限定強度面最大值為20。

圖1 最大強度面模型與實驗數據的擬合Fig. 1 Fitting of the maximum strength surface model to the experimental data

根據石灰巖壓縮實驗的應力-應變曲線，取屈服強度=0.8，并對屈服強度面、殘余強度面及損傷相關的參數（見表1）進行擬合?；跇硕ǖ膮甸_展單軸壓縮（UUC）及圍壓壓縮（TXC）數值模擬，其應力-應變曲線與實驗結果的對比如圖2 所示?？梢钥闯?，Kong-Fang 模型能夠較好地模擬出石灰巖材料的應變硬化和應變軟化特征，特別是石灰巖低圍壓下呈現脆性破壞而高圍壓下呈現塑性破壞這一特性。

表1 石灰巖的強度模型參數Table 1 Parameters of the strength surface models for limestone

圖2 石灰巖應力-應變曲線的數值模擬結果與實驗數據的對比Fig. 2 Comparison of stress-strain curves of limestone between experimental data and numerical simulation

1.3 應變率效應的參數標定

Kong-Fang 模型采用Xu 等提出的應變率增強因子計算公式：

式中：、、和為相關經驗參數。利用已有的實驗數據對石灰巖的壓縮動態強度增強因子（dynamic increase factor of compression, DIFC）和拉伸動態強度增強因子（dynamic increase factor of tension, DIFT）分別進行標定，其參數如表2 所示，應變率增強因子的曲線與相關實驗結果的對比如圖3 所示。

圖3 石灰巖動態強度增強因子隨應變率的變化曲線Fig. 3 Changes of the dynamic increase factors with strain rate for limestone

表2 石灰巖的動態強度增強因子參數Table 2 Parameters for dynamic increase factors of limestone

1.4 狀態方程參數的標定

-α 狀態方程是由Herrmann提出的一種多孔材料的狀態方程（equation of state, EOS），能夠較好地描述孔隙壓實過程中的材料性質變化，因此本文中的石灰巖采用該狀態方程。-α 狀態方程根據材料孔隙壓實過程分為3 個階段。第一階段為壓力小于孔隙坍塌壓力時，采用線彈性狀態方程：

式中：為材料的體積模量，為體積應變。

第二階段為孔隙壓實的過程，階段的起始分別由孔隙坍塌壓力和完全壓實壓力控制：

式中：α 為材料的孔隙率，α為對應于的材料孔隙率；()為材料在第三階段密實段所采用的方程；為壓縮系數。第三階段材料完全密實，可采用多項式狀態方程描述：

式中：、、為壓縮段參數，一般取=；為拉伸段參數，拉伸時按照線彈性考慮，即=。

對于線彈性段和孔隙壓實段，可根據石灰巖的靜水壓力實驗結果標定，而對于高壓密實段主要通過平板撞擊實驗數據進行參數標定，擬合得到的狀態方程參數及曲線分別如表3 和圖4 所示。

表3 石灰巖的狀態方程參數Table 3 Equation of state parameters for limestone

圖4 石灰巖狀態方程曲線與實驗數據的擬合Fig. 4 Equation of state of limestone fitted to experimental data

1.5 模型驗證

為了驗證上述材料模型及參數的準確性，對Frew 等開展的4340 鋼彈體大范圍打擊速度侵徹石灰巖靶體的實驗進行數值模擬，并對結果進行比較。實驗中彈體直徑分別為7.1 和12.7 mm，長徑比均為10，靶體尺寸根據彈體初始速度的不同而變化。基于前期經驗，數值模擬采用有限元與SPH 相結合的方法，其中彈體采用有限元，靶體采用SPH 粒子，并利用二維軸對稱算法以提高計算效率。實驗后彈體變形較小，因此視為剛性材料，石灰巖靶體由Kong-Fang 模型描述且參數按1.4 節中標定的選取。

數值模擬得到的不同直徑彈體侵徹石灰巖靶體的侵徹深度（）與實驗數據的對比如圖5 所示，圖中展示了彈體直徑分別為7.1 和12.7 mm 工況的結果對比。可以看出，數值模擬得到的侵徹深度與實驗數據較接近，驗證了石灰巖材料模型及其參數的可靠性。

圖5 數值模擬的侵徹深度與實驗數據的對比Fig. 5 Simulated depths of penetration at different initial projectile velocities compared with experimental data

2 彈體超高速侵徹石灰巖靶體的地沖擊

當彈體撞擊到靶體表面時，彈靶交界面處會產生瞬時高壓力。一方面，彈體繼續向前運動，隧道區逐漸擴展，侵徹深度不斷增大，且彈體的速度也逐漸降低，并可能發生變形、侵蝕等破壞現象；另一方面，在彈靶交界處產生的瞬時高壓會在靶體中以應力波的形式傳播，并對內部靶體產生不同程度的影響，如圖6 所示。應力波在靶體中衰減、反射并發生相互作用，會造成石灰巖材料的壓實、破碎或斷裂，并可能進一步在靶體中形成開裂、開坑及震塌等破壞現象。

圖6 應力波造成的靶體破壞分區Fig. 6 Damage regions of the target caused by stress waves

當彈體侵徹速度較低時，彈體對靶體的破壞主要表現為直接侵徹（隧道區）；而當彈體侵徹速度較高時，彈體會發生較嚴重的磨蝕甚至完全侵蝕，直接侵徹隧道區深度不會顯著增大，而較高的侵徹速度會導致彈靶交界面處的壓力升高，因此應力波對靶體的破壞效應凸顯。基于上述驗證的數值模擬方法及材料模型參數，本節對鎢合金彈體超高速侵徹石灰巖靶體的地沖擊進行研究。

2.1 數值模型

采用AUTODYN-2D 軸對稱算法，其中圓柱形鎢合金彈體長2 m，直徑為0.2 m，初速度區間考慮為1.5～5.0 km/s，采用有限元方法建模；石灰巖靶體長20 m，直徑為10 m，采用SPH 方法建模。彈體有限元網格大小按前期經驗確定為10 mm×10 mm，同時對靶體的粒子間距大小進行了敏感性分析，分別開展了靶體粒子間距為50、40 和30 mm 的數值模擬，發現數值預測的侵徹深度隨粒子間距減小趨于穩定。因此，同時考慮計算的準確性和計算效率，粒子間距確定為40 mm。在彈體著靶點正下方6、7、8、9、10、12、14、16、18 和20 m 處的靶體內部分別布置壓力測點。

鎢合金彈體采用Shock 狀態方程結合Steinberg 強度模型，能夠較好地體現鎢合金材料在高速侵徹下的高應變率高壓力學性能，參數取AUTODYN 中的默認值。為了較好地描述彈體的變形及侵蝕，采用不同的單元刪除算法對初速度為5.0 km/s 的工況進行了收斂性論證。為了盡可能減少單元刪除的影響，且綜合考慮彈體的破壞模式、計算效率等因素，采用基于應變的單元刪除算法，并確定單元刪除閾值為0.8。石灰巖靶體采用1.1 節中介紹的Kong-Fang 模型及所標定的材料參數。

從模擬得到的彈體破壞程度來看，當彈體初速度低于2.5 km/s 時，侵徹完成時彈體尚有殘余長度；而當彈體速度高于3.0 km/s 時，在侵徹過程中彈體被完全侵蝕，之后隧道區底部的靶體材料由于慣性會繼續運動，造成侵徹深度進一步增大。不同撞擊速度下模擬得到的最終侵徹深度如圖7 所示，其中黑色虛線為根據模擬結果擬合得到的趨勢線?？梢钥闯?，在研究的速度區間內，侵徹可大致分為侵蝕侵徹階段和流體侵徹階段，侵徹深度隨彈體初速度的變化整體呈先減小再增大的趨勢，并最終趨于穩定，與前期的研究結論相符。并且最終的穩定侵徹深度大于流體動力學極限，這是由靶體材料的慣性運動造成的。

圖7 數值模擬得到不同撞擊速度下的的侵徹深度Fig. 7 Simulated depths of penetration at different initial projectile velocities

2.2 超高速侵徹的應力波傳播

以彈體初速度為5.0 km/s 的工況為例，對彈體超高速侵徹石灰巖靶體的過程進行分析，其破壞現象和壓力波傳播過程如圖8 所示。彈體撞擊靶體時，彈靶交界面產生瞬時壓力（高達30 GPa）并開始向周圍傳播，侵徹過程中彈靶接觸面的高壓力狀態會持續以應力波的形式傳播，如圖8(a)所示；1.4 ms 時，彈體已被完全磨蝕，直接侵徹深度約為4.45 m，如圖8(b)所示；彈體完全磨蝕后，坑底靶體材料在慣性作用下繼續運動，彈坑繼續擴張，在3.0 ms 時，侵徹深度約為4.81 m；最終計算到100.0 ms 時，侵徹深度為6.20 m且趨于穩定。從圖8(c)～(d)可以看出，壓力波基本呈半球形向靶體內傳播，與地面淺埋爆炸具有一定的相似性；但由于侵徹過程具有方向性，沿深度方向的壓力波峰值大于水平方向同等距離的壓力波峰值。圖8(d)中，當主要的地沖擊已經傳播到靶體內部較深處時，靶體靠近彈坑處仍然有壓力分布，這是由于彈靶之間的相互作用會持續在彈靶交界面處產生新的高壓狀態，并持續向靶體中傳播。

圖8 超高速侵徹過程中的破壞現象及壓力波傳播Fig. 8 Damage and pressure wave propagation in the target during hypervelocity penetration

其他彈體初速度下的壓力波傳播過程與上述算例基本一致。超高速侵徹造成的地沖擊：一方面，會在隧道區周圍造成高壓區域，導致材料發生壓實破碎甚至相變；另一方面，可能傳入地下防護結構頂板，在頂板自由表面反射產生拉伸波，造成開裂、震塌等破壞效應。

2.3 超高速侵徹的地沖擊分析

圖9 給出了不同侵徹速度下靶體中各測點沿深度方向的徑向應力時程變化?？梢钥闯霾煌謴厮俣认碌膽Σúㄐ未嬖谝欢ú町悾寒斍謴厮俣容^低時，其升壓時間較長，且可能出現壓力進入平臺段或開始下降、后再次升高的情況，這是由于侵徹完成時彈體尚有殘留，會持續在彈靶接觸面產生壓力并向靶體內部傳播；而當侵徹速度較高時，其應力迅速達到峰值并降低，這可能是由于彈體磨蝕較快，地沖擊主要是由于初始侵徹階段引起的瞬時高壓造成的。當侵徹速度較高時，其升壓時間較短，特別是彈體初速度為5.0 km/s 時，其升壓時間均在0.5 ms 以內。需要說明的是，在彈體侵徹過程中，彈靶接觸面上的應力峰值較大。對于布置深度小于或略大于侵徹深度的壓力測點，會明顯受到彈體的干擾，因此在總結地沖擊規律時只選取了地沖擊傳播穩定后的測點數據，且不同初速度下的直接侵徹深度不同，因而地沖擊傳播穩定后的測點數量也不同。

圖9 不同深度的應力時程曲線Fig. 9 Time histories of stress waves at different depths

圖10 給出了不同侵徹速度下應力峰值隨深度變化的曲線，可以看出：隨著深度的增大，應力峰值均不斷降低，應力波在傳播過程中不斷衰減；隨著侵徹速度的升高，同一深度處的應力峰值也會隨之升高；當初速度高于3.0 km/s 時，不同深度處的應力峰值升高較快?？傮w來看，彈體初速度較低時，侵徹產生的地沖擊較小，對靶體內部的影響也較小；而當初速度逐漸升高時，地沖擊的影響范圍逐漸加深。

圖10 不同彈體初速度下應力峰值隨深度的變化趨勢Fig. 10 Change of peak stress with depth at different initial projectile velocities

3 地沖擊的影響因素

對于中、低速侵徹，彈靶材料、尺寸等因素對最終的破壞效應有顯著的影響。對于超高速侵徹，已有研究表明：彈靶的強度不再起主導作用，破壞效應主要與彈體長徑比（/）、彈靶密度比等因素有關。而對應力波的傳播，靶體材料的孔隙率會有較大影響。因此，本節以彈體初速度5.0 km/s 工況為基準，探究彈體長徑比、彈靶密度比和靶體孔隙率等因素對地沖擊的影響。

3.1 彈體長徑比

彈體長徑比，特別是彈體長度是影響侵徹深度的重要因素，本節采用改變彈體長度、保持彈體直徑不變的方式探討彈體長徑比對侵徹深度的影響。數值模擬得到的侵徹深度如圖11所示，可以看出，在彈徑不變的情況下，隨著彈體長度的增加，侵徹深度也不斷增大。

圖11 侵徹深度與彈體長徑比的關系（彈徑不變）Fig. 11 Depth of penetration versus length-to-diameter ratio at a constant projectile diameter

圖12(a)給出了不同長徑比下應力峰值隨深度的變化趨勢，顯然，隨著侵徹深度的增大，地沖擊影響的范圍也會相應增大。因此引入相對深度（深度與最終侵徹深度之比）作為評判地沖擊影響范圍的依據，如圖12(b)所示。可以看出，當橫坐標為相對深度時，不同長徑比地沖擊應力峰值變化趨勢和數值基本一致。綜合來看，在彈徑不變的情況下，長徑比對侵徹深度影響較大，而對地沖擊規律影響不大。

圖12 彈體長徑比對地沖擊的影響Fig. 12 Effect of length-to-diameter ratio on ground shock wave

3.2 彈體密度

在超高速侵徹階段，彈靶密度比也是侵徹深度的重要影響因素之一?？紤]到地質類材料的密度一般較為接近，因此只改變彈體的材料密度以考慮彈靶密度比對地沖擊的影響。本節中保持彈體的尺寸不變，彈體材料選擇密度差異較大的鋁、鋼作為對照，其計算條件及結果如表4所示，表中ρ為彈體密度，ρ為靶體材料密度。

表4 不同彈體密度情況下的侵徹深度Table 4 Depths of penetration at different projectile densities

3 種彈體材料下靶體中不同深度的應力峰值變化趨勢如圖13 所示。從圖13(a)可以看出，彈體材料密度越高，地沖擊影響的深度也越大，實際中超高速動能武器主要采用鎢合金等高密度金屬材料；而從圖13(b)來看，不同彈體材料下地沖擊影響的相對深度差別不大?？傮w來看，不同的彈體密度對侵徹深度有較大影響，但對地沖擊規律的影響不大。

圖13 彈體密度對地沖擊的影響Fig. 13 Effects of projectile density on ground shock wave

3.3 靶體孔隙率

地質材料性質差異大，對彈體的侵徹過程及應力波的傳播都存在一定程度的影響?？紤]到地質材料性質差異主要由孔隙率引起，本節中僅改變材料的孔隙率，保持靶體強度等參數不變，探討孔隙率對地沖擊的影響。

原石灰巖材料的孔隙率約為15%，在數值模擬時采用-α 狀態方程考慮其孔隙壓實過程的性質變化?；诂F有的實驗數據，采用多項式狀態方程，擬合得到無孔隙對照組巖石材料的狀態方程曲線，如圖14所示。

圖14 不同孔隙率巖石材料的狀態方程Fig. 14 Equations of state for limestones with different porosities

數值模擬得到的不同孔隙率靶體內不同深度的應力峰值變化趨勢如圖15 所示?？梢钥闯?，不同孔隙率的應力峰值差異較大，且孔隙率越高，其應力峰值越低。這主要是由于材料的孔隙率對應力波的傳播有較大的影響，孔隙率越高，應力波衰減越快，因此孔隙率對地沖擊影響較大，這與Antoun的研究結論一致。進一步分析可以發現，已有對地沖擊的實驗和數值模擬研究中采用的巖石不同，得到的地沖擊數值差異較大，可能是由于孔隙率不同導致的。

圖15 靶體孔隙率對地沖擊的影響Fig. 15 Effect of target porosity on ground shock wave

基于上述討論可以看出，彈體的參數變化（彈體的長徑比、密度等）主要影響其侵徹深度，并會影響地沖擊的破壞深度；但若從相對深度衡量，彈體參數變化對地沖擊規律的影響不大。而靶體孔隙率影響靶體中應力波的傳播，因此對地沖擊有較大的影響。

4 結 論

為探究超高速動能武器的對地破壞效應及其影響因素，采用數值模擬方法對彈體超高速侵徹的地沖擊進行了研究。利用現有石灰巖靜動態力學性能實驗數據，對Kong-Fang 材料模型進行了參數標定，并驗證了材料模型及其參數的準確性。開展了鎢合金彈體超高速侵徹石灰巖靶體的數值模擬，對不同速度侵徹下的靶體破壞過程和破壞機理進行了分析，得到以下結論。

（1）彈體超高速侵徹靶體時，彈靶接觸時會產生瞬時高壓，并以應力波的形式在靶體中傳播，造成靶體內部不同程度的破壞。

（2）從靶體內部不同測點的地沖擊應力時程曲線來看，當侵徹速度較低時，其升壓和降壓時間均較長；而當侵徹速度較高時，升壓時間較短，可近似視為沖擊波。

（3）從地沖擊沿深度方向的應力峰值來看，隨著深度的增大，應力峰值不斷降低，地沖擊不斷衰減；隨著侵徹速度的提高，同一深度處的應力峰值升高，地沖擊顯著增強；本文中的算例表明，當彈體侵徹速度高于3.0 km/s 時，地沖擊的影響較大。

（4）從相對深度來看，彈體參數（彈體長徑比、密度）對地沖擊規律的影響不大；靶體的特征特別是孔隙率對地沖擊規律具有較大的影響。