沖擊下混凝土試樣應變率效應和慣性效應探討*

袁良柱，苗春賀，單俊芳，王鵬飛，徐松林,2

（1. 中國科學技術大學中國科學院材料力學行為和設計重點實驗室，安徽 合肥 230027；2. 中國地震局地震預測研究所高壓物理與地震科技聯合實驗室，北京 100036）

混凝土是最普遍應用的結構工程材料，由水泥石、標準砂和集料構成，水泥石是從微觀到細觀結構復雜的復合物，集料尺寸則可達厘米以上，它們構成的水泥基體是一個多組元多相多孔、含有大量微孔洞微裂紋的復合體，具有跨尺度非均質多組元多相復雜結構。其動力學特性表現出強烈的應變率效應、尺寸效應、加載路徑效應、靜水壓效應等特性，應用分離式霍普金森壓桿（split Hopkinson pressure bar,SHPB）進行混凝土動態性能研究繞不開這些效應的影響。相關研究較多，但仍存在較大爭議。

沖擊下材料內部波動的傳播使得材料內部處于非平衡狀態。作為SHPB 實驗的基本假定之一的均勻性假定，也允許試件兩端存在一定的載荷差異，例如5%。而在試樣受到沖擊的過程中，試樣內部沿沖擊方向存在縱向慣性力，垂直沖擊方向存在橫向慣性力或橫向運動的動能，試樣與桿的接觸端面存在摩擦力，并且試樣本身可能存在一定的黏性。縱向慣性效應和黏性效應要求試樣的厚度不能太厚；橫向慣性效應和接觸端面的摩擦作用要求試樣的直徑不能太粗。但是，對于混凝土試樣而言，由于水泥石、集料等大顆粒結構成分的存在，為使得試樣具有較好的代表性，試樣尺寸需要足夠大，例如，直徑為50 mm、74 mm、80 mm的圓柱形試樣，甚至更大尺寸的試樣都進行了嘗試。試樣尺寸越大，帶來的問題越多，突出的問題是：此時如何正確認識測試得到的強度特性。

另外，混凝土試樣SHPB 沖擊實驗結果表明：應變率高于10～10s時，動態強度會迅速提高，這一般歸結于黏性機制控制的應變率效應。Li 等基于有限元法和Drucker-Prager (DP)模型研究靜水壓力對混凝土材料動態強度的影響。他們采用的是一種應變速率不敏感的材料模型，其計算結果表明：材料宏觀動態強度的增強是由橫向慣性約束引起的，而不是材料的應變率敏感性。而如果將這種動態強度的增強歸因于應變率效應，會造成極大的計算誤差。他們后續的工作從實驗和數值分析方面進行了更深入的研究，通過引入圓環試樣表明引入動摩擦模型的必要性。楊茨等基于金屬圓環試樣進行數值分析，結果發現：在界面摩擦因數的變化過程中，慣性效應起主要作用，應變率效應起次要作用；存在著一個表征圓環試樣屬性的臨界摩擦因數。但由于圓環狀混凝土試樣的加工難度較大，進行相關的嘗試較少。這些數值模擬和實驗的嘗試已經可以說明，橫向慣性效應含有應變率的作用。

此時，問題又回到原點，即：如何消除慣性效應的影響，尤其是大直徑試樣的橫向慣性效應的影響。進一步，如何評估大直徑試樣動態強度中應變率效應的影響所占的比重。Forrestal 等推導了大直徑試樣沖擊過程中橫向應力的應變率表達式，Xu 等給出了受約束試樣橫向應力的應變率表達式，結合實際沖擊實驗可初步估計試樣的橫向約束效應。在實驗技術方面，Grote 等、Forquin 等引入了一種金屬環限制的高應變率下的混凝土實驗裝置。金屬環的限制可以顯著減小試樣的徑向變形，以減小橫向運動的動能，因此，在一定程度上達到了減小橫向慣性效應的目的。進一步，Grote 等估計出應變率在高達10s的條件下，橫向慣性約束引起的強度升高約為52%。這比Xu 等基于真三軸靜載的混凝土沖擊實驗得到的應變率50 s下的6%和應變率100 s下的14.5%高得多，呈現顯著的應變率效應。由于Grote 等的高應變率實驗中試樣處于一維應變狀態，因此，靜水壓效應帶來的橫向約束也是一個不可忽視的影響因素。

應變率效應、尺寸效應和靜水壓效應在混凝土動態強度的表征上都起到了一定的作用，并且各個效應之間具有一定的耦合作用，如何對它們進行評估存在較大的困難。本文中，將基于真三軸應力狀態（σ≠σ≠σ）作用下混凝土沖擊實驗結果，分別結合考慮應變率效應的HJC 模型和考慮靜水壓效應的Drucker-Prager (DP)模型進行數值分析，對這3 種效應進行探討。

1 混凝土沖擊實驗與數值分析模型

1.1 真三軸靜載下混凝土沖擊實驗裝置

實驗設備如圖1 所示，包括2 部分，即：（1）真三軸靜載施加系統，分別由3 個方向的液壓缸和對應的反力支架組成，可對立方體試件施加3 向不等的壓應力；（2）撞擊桿發射和信號測試系統，主要由沖擊方向（方向）的高壓氣炮、入射方桿、支撐方桿、垂直于沖擊方向的水平方向左支撐方桿、方向右支撐方桿以及垂直于沖擊方向的方向下支撐方桿和方向上支撐方桿等組成。圖中，實驗控制臺控制液壓系統和發射系統，液壓站提供伺服控制過程3 個液壓缸中的液壓油。圖1(b)中，ε、ε和ε分別為方向桿上入射、反射和透射應變信號；ε和ε分別為方向2 根桿上的應變信號。

圖1 真三軸靜載混凝土沖擊實驗設備Fig. 1 The experimental device for concrete specimens under true tri-axial confinement

1.2 數值分析模型

真三軸靜載沖擊實驗系統的數值模擬模型如圖2 所示：6 根方桿的截面尺寸均為50 mm×50 mm，、、方向各有2 根長度相同的鋼桿夾持試樣，桿長分別為2.5、2.0、1.5 m；試件為50 mm×50 mm×50 mm 的正方體。模型尺寸與實驗尺寸保持一致。

圖2 有限元計算模型Fig. 2 The finite element calculation model

在3 個方向，桿的一端分別設置80 mm×10 mm的擋板為該方向施加靜載時提供反力約束。桿與混凝土之間采用自動面面接觸，界面摩擦因數取為0.1。

鋼桿和擋板均采用線彈性模型：密度為7 850 kg/m，彈性模量=210 GPa，泊松比ν=0.3。為對比研究應變率效應和靜水壓效應的影響，分別運用HJC 模型和DP 模型來描述混凝土材料。

HJC 本構模型包含強度方程、損傷演化方程和狀態方程。

（1）強度方程為：

混凝土HJC 模型的具體參數見表1，表中ρ為密度，為剪切模量。運用*MAT_ADD_EROSION 關鍵字中的剪切應變破壞作為混凝土單元破壞的判據。

表1 混凝土HJC 本構模型參數[20-23]Table 1 Parameters of the HJC model for cement mortar[20-23]

ABAQUS 對經典的Drucker-Prager 模型進行了擴展，包括線性Drucker-Prager 模型、雙曲線Drucker-Prager 模型和指數Drucker-Prager 模型，本文中采用線性Drucker-Prager 模型作為混凝土材料的本構。線性Drucker-Prager 模型包括屈服面方程和塑性勢面方程。

式中：wn為評價指標cn的關聯權重，3.2節中已求得；pdm為應急方案epm的實際表現情況與期望值之間的加權主觀感知歐式距離；ndm為應急方案epm的實際表現情況與最低要求之間的加權主觀感知歐式距離；

（1）屈服面方程為：

式中：為Mise 應力，′為三軸拉伸與壓縮屈服應力之比，為偏應力不變量，為等效圍壓應力，為摩擦角，為材料黏聚力。

（2）塑性勢面方程為：

式中：ψ 為膨脹角。

混凝土DP 模型的具體參數見表2，表中ρ為密度，為彈性模量，ν為泊松比。

表2 混凝土DP 模型參數Table 2 Parameters of the DP model for cement mortar

2 應變率效應和靜水壓效應

2.1 有限元模型

分別采用表1 中的HJC 模型參數和表2 中的DP 模型參數對實驗波形進行模擬，結果如圖3 所示。實驗對應的沖擊速度為13.2 m/s，三向靜載[σ, σ, σ]為[15 MPa, 6 MPa, 10 MPa]。由于混凝土材料的非均勻性，從圖3(c)～(d)可以看出，在試樣同方向的2 個面上的應力時程曲線有一定差異。采用描述混凝土骨料分布的細觀有限元方法可以反映這種差異，但由于會增加更多的不確定參數，本文中將采用宏觀等效的連續介質力學的有限元進行分析。模擬結果表明：采用上述2 種模型參數，入射波形態相似，計算得到的波形與各個桿上的測試波形基本一致。圖4 為無側限、雙向側限和三向側限等3 種情況下試樣的破壞形態，其中的數值模擬均采用HJC 模型。在無側限沖擊下，試樣發生嚴重碎裂，如圖4(a)所示；圖4(a)中的有限元計算結果有相似的碎裂趨勢。軸和軸雙向側限、方向沖擊下，方向處于自由狀態，試件破壞呈現出類似于成層剝離的特點，碎塊剝離層面與軸垂直，如圖4(b)所示；圖4(b)中的計算結果表現出相似的剝離趨勢。三向側限、方向沖擊下，試件不產生明顯的宏觀破壞，其失效為材料內產生局部細微觀破裂，如圖4(c)中的白色條帶所示；圖4(c)中的計算結果表現出相似的破壞形態。

圖3 數值模擬波形Fig. 3 Simulated wave profiles in three directions

圖4 不同側限條件下混凝土試樣的破壞形態Fig. 4 Failure patterns of concrete samples under different confinement conditions

2.2 應變率效應和靜水壓效應

圖5 為2 種強度模型模擬的應力-應變關系曲線。圖5(a) 對應3 種沖擊速度下的模擬，圖5(b)對應沖擊速度為15 m/s 和3 種摩擦角下的模擬，施加的靜載均為[10 MPa, 10 MPa, 10 MPa]。圖5(a)為HJC 模型計算的結果，隨著應變率從40 s升高到80 s，混凝土試件的動態強度迅速提高，破壞應變也迅速增大。圖5(b)為DP 模型計算結果，隨著內摩擦角從20°增大到40°，混凝土試件的動態強度迅速提高，但由于靜水壓隨之提高，其破壞應變迅速減小。這說明，提高應變率和靜水壓均可使混凝土試件的動態強度升高。

圖5 2 種模型模擬得到的應力-應變關系Fig. 5 Stress-strain relations simulated by two strength models

混凝土類材料常用的強度準則有Mohr-Coulomb (MC)準則和Drucker-Prager (DP)準則，二者有一定的聯系。MC 準則和DP 準則的表達式分別為：

圖6 不同應變速率下 平面的強度統計Fig. 6 Statistics of the strength in the plane at different strain rates

圖7 計算強度參數的應變率效應Fig. 7 Strain rate effect of simulated strength parameters

3 慣性效應與應變率效應和靜水壓效應的關系

3.1 橫向慣性效應

軸向沖擊時，由于橫向慣性效應會產生橫向應力的分布。Forrestal 等推導了大直徑試樣沖擊過程中橫向應力σ的應變加速度表達式為：

式中：為作用于試件外表面的靜水壓，為橫向位移。可以得到受約束試樣橫向位移和應力的應變加速度表達式分別為：

式(14)～(15)表明，試件內部沿垂直于沖擊方向的橫向位移和橫向應力的分布與沖擊方向的應變加速度相關。Forquin 等使用金屬環對試件進行限制，以減少橫向位移；式(14)表明，這種限制可以降低混凝土試樣的橫向慣性效應。Li 等使用管狀試件來減小橫向慣性。對于管狀結構而言，和較小，可以降低試樣的橫向慣性效應，這可以由式(15)進行解釋。基于此，本文中結合實際實驗中測試得到的沖擊方向的應變時程曲線，可利用式(15)進行橫向應力分布的計算，計算結果如圖8 所示。其中，在應變率50 和200 s下，在三軸圍壓值分別為0、7.5、45.0 MPa 下進行了計算；在應變率100 s下，在三軸圍壓值分別為0、7.5、30.0 MPa 下進行了計算。由圖8(a)可見，橫向應力隨著圍壓和應變率的升高有升高的趨勢，其分布為中心大兩邊小。為明確沖擊過程的響應特性，將不考慮三軸靜載時橫向應力的結果列入圖8(b)。由圖8(b)可見，隨著應變率和圍壓的升高，橫向應力分布的幅值均有所增大，反映出一定的應變率和圍壓耦合特性。

圖8 橫向應力分布Fig. 8 Distribution of the transverse stress

3.2 尺寸效應

波在較大尺寸試件中傳播時會產生幾何彌散效應。Rayleigh 推導了考慮幾何彌散的諧波近似解，得到與圓頻率ω 對應的諧波的相速度為：

式中：為截面對沖擊軸的旋轉半徑，λ 為與圓頻率ω 對應的波長。

不同頻率的諧波由于其相速度不同在傳播的過程中會分散開來，產生幾何彌散現象；在大直徑桿中傳播時會產生較大的局部波形振蕩，從而造成測試強度偏高。同時，較大尺寸對試樣宏觀力學性能也有一定的影響。控制應變率和圍壓狀態不變，進行邊長分別為37、50、74 mm 等3 種尺寸的正方體試樣的數值模擬。圖9(a)～(b)為三向靜載[0, 0, 0]、應力脈沖幅值為100 MPa、應變率為40 s的情況下，試樣縱向應力σ和橫向應力σ沿試樣橫向的分布情況。圖9(c)為三向靜載[5 MPa, 5 MPa, 5 MPa]、應力脈沖幅值為140 MPa、應變率為50 s的情況下，試樣縱向應力σ沿試樣橫向的分布情況。由此可見，沿試樣橫向，σ和σ表現出明顯的非均勻分布特征：中心應力最高，試樣邊界處應力最低；其幅值隨試樣尺寸的增大而減小。由于三向靜載的存在，圖9(c)中的σ分布與圖9(a)中的 σ分布存在一定差異；與圖8 中基于實驗測試的理論計算結果相比，σ的數值計算結果要高一些，實際混凝土試樣的非均勻性和數值模擬的材料均勻化處理可能是導致這一現象的原因。

圖9 σx 和σy 的分布Fig. 9 Distributions of σx and σy

3.3 應力三軸度

為了探討橫向慣性帶來的強度提升效果，采用下式定義參數ξ：

（2）試樣初始靜載三向不相等，即σ≠σ≠σ，此時方向沖擊產生的動態擾動σ≠σ，令：

由式(18)則有：

模型計算的ξ 如圖10(a)所示，表現出強烈的應變率效應：在低應變率下，ξ 的計算結果與實驗結果一致；但是應變率較高時，實際試樣的非均勻性使得實驗結果比數值計算結果低很多，需要進一步改進數值分析模型。圖10(b) 為0、10、20 MPa等3 種靜圍壓作用下的計算結果，有明顯的靜水壓和應變率效應。同時，式(15)、式(17)和圖10表明：此比值ξ 在某種程度上可以反映方向沖擊產生的橫向慣性效應。另外，對邊長分別為20、37、50、74、100 mm 等5 種尺寸的正方體試樣進行計算，其結果如圖10(c) 所示，計算得到的ξ 有明顯的尺寸效應。

圖10 ξ 的應變率效應Fig. 10 Strain rate effect of ξ

進一步，在如圖11 所示的主應力空間引入應力三軸度η 的定義，即：

圖11 主應力空間Fig. 11 The space of principal stresses

根據文獻[10]中表2 中的實驗數據和本文的數值計算結果，整理得到ξ 與應力三軸度η 的關系如圖12 所示。由此可見：不同應變率情況下的數據點都集中在一條曲線上，具有較好的一致性，ξ 與η 的關系表現出應變率不敏感特性。此關系為混凝土材料應變率效應和尺寸效應的評估提供了一種新的思路。值得注意的是，圖12中圈出的部分雙向側限的數據點，有些偏離數據點集中的曲線。原因在于，其初始剪切應力較大，雖然沒有達到混凝土材料的剪切強度，但已經足以產生局部剪切破壞。

圖12 ξ 與η 的關系Fig. 12 Relationship between ξ and stress triaxiality η

4 結 論

基于真三軸應力狀態作用下混凝土材料的沖擊性能的實驗結果，進行了Holmquist-Johnson-Cook(HJC)模型和Drucker-Prager (DP)模型數值模擬等方法的對比研究，得到的主要結論如下。

（1）基于考慮應變率效應的HJC 模型，數值計算得到的混凝土試件動力學性能具有明顯的靜水壓效應；基于考慮靜水壓效應的DP 模型，數值計算得到的混凝土試件動力學性能具有明顯的應變率效應。因此可得出，混凝土材料的應變率效應和靜水壓效應具有較強的耦合作用。

（2）基于受約束試樣橫向位移和應力的應變率表達式，結合基于HJC 模型的數值計算方法，探討了混凝土試樣的橫向慣性效應和尺寸效應，由此提出了一種對沖擊方向最大應力σ和等效應力σ進行比較分析的參數ξ。參數ξ 有明顯的靜水壓效應、應變率效應和尺寸效應。值得注意的是，ξ 與應力三軸度η 的關系曲線表現出應變率不敏感特性，此現象可為混凝土材料的應變率效應和尺寸效應的研究提供一種新的方法。