有限元領域中面向圓柱掃掠面特征的替換策略研究

劉曉平， 李 丹， 金 燦， 李書杰

（合肥工業大學計算機與信息學院可視化與協同計算(VCC)研究室，安徽 合肥 230009）

在使用專業的有限元分析軟件分析模型的 過程中，如果模型包含一些復雜特征，會消耗大量的計算資源，甚至會導致問題過于復雜而不可解[1]。實際上，在一次分析過程中，分析人員并不是追求無限精確的分析結果，因此通?？梢愿鶕枰獙τ邢拊Ｐ瓦M行簡化[2-3]。

國內外研究人員在模型簡化方面做了很多工作。文獻[4]提出對應力分布只產生較小局部影響的特征刪除，對于具有幾何和約束（包括載荷和邊界條件等）對稱的物體進行對稱性簡化。Belaziz[4]等提出基于語義信息的處理方法，通過特征刪除簡化模型，特征降維優化模型。Lee[5-6]提出一種CAD/CAE一體化的方法，根據不同的LOD和LOA標準，通過對細節特征的刪除以及降維，可以為 CAE建立具有不同的細節層次和抽象層次的模型。但是，對于模型中體積較大且由于分析領域不能被刪除或降維的特征，僅根據特征刪除和特征降維是難以處理的[7]，此類特征包括體積較大的掃掠特征。

針對這一問題，作者所在團隊提出了多態的概念，即用來表述復雜模型由于模型精度、計算時間、計算精度的變化而產生的多種狀態，指導用戶簡化已建模型，選擇最合適計算的模型態，從而達到事半功倍的效果。有限元軟件為了提高網格對模型表面的擬合程度，通常會在曲率較大的區域加大網格密度，鑒于有些曲面上的網格密度大小對計算結果的影響并不明顯，因此降低這些不必要的網格密度，可以減少單元數量，縮短計算時間。本文通過研究多態模型理論，提出了一種針對模型中常見的圓柱掃掠面特征進行處理的模型簡化方式：特征替換，以確保在一定的分析精度下節省計算資源，提高計算效率，并在此基礎上，通過實例驗證了方法的有效性。

本文稱曲率較大的特征為高曲率特征。掃掠特征則是指將一個二維曲線（掃掠輪廓）沿一個路徑運動或沿一條軸線旋轉而形成的特征，當掃掠輪廓的曲率較大或掃掠路徑曲率較大時，所形成的掃掠特征曲率也較大，屬于高曲率掃掠特征。

本文的組織如下：第1節根據模型的特征曲率與網格直徑的關系提出了圓柱掃掠面特征的替換原則；第2節介紹了圓柱掃掠面特征的替換算法流程；在此基礎上，第3節通過熱分析領域中的仿真實驗，驗證了結論的有效性；最后對本文的內容進行總結。

1 圓柱掃掠面特征的替換原則

1.1 特征曲率與網格直徑的關系

根據分析對象的幾何特征進行網格控制，主要是指根據網格對模型表面的擬合程度決定網格直徑的大小。網格對模型表面的擬合程度的估算是通過曲面參數方程求出參數域中三角形頂點在曲面上對應點的外法矢量的夾角來近似表示。以三角網格為例，如圖1所示，對于用來調節網格密度的容許誤差ε，則要求每一對外單位法矢量都滿

當用網格剖分算法對模型表面某一局部區域ΔS進行剖分時，則在以r為半徑的球面上考慮ΔS上的網格直徑。設△ABC為一三角網格，因球面上處處法曲率相同，所以△ABC為等邊三角形，不失一般性，以邊AB討論△ABC的邊長。

設在坐標系XOY中，A, B的距離即網格直徑為h，平均法曲率為ρ，則當ε一定時，有

由此可知，當ε一定時，網格直徑和模型表面曲率成反比例關系，因此要反映分析對象的幾何特征，需要在高曲率曲面處加大網格剖分密度，從而增大了網格剖分的難度和計算量。折面是由一系列平面構成的，平面的曲率為0，由式(1)可知平面上的網格直徑將不再取決于對平面的擬合程度，而應取決于用戶指定的最大網格直徑或平面上任意兩點的最短距離，而最大網格直徑和平面上任意兩點的最大距離均可以人為控制，因此采用折面替換圓柱面可以起到控制原高曲率曲面處網格直徑的效果，從而可以降低網格剖分密度，節省計算資源。

1.2 圓柱掃掠面特征的替換原則

高曲率掃掠特征是指特征表面曲率大于一定曲率閾值的掃掠特征，上文中已指出網格的疏密程度反應網格對模型的擬合程度，因此本文引入用來控制網格密度的容許誤差ε來表征網格的疏密程度。

設用戶輸入的網格密度的容許誤差為ε，則根據式(1)知在曲率為ρ的曲線段處網格直徑應滿足若用戶能接受的最小網格直徑為時，此曲線段被認為是高曲率曲線，此時所以對于曲率大于的曲線掃掠生成的特征均認為是高曲率特征。

圖1 模型表面曲率和網格直徑之間的關系

首先介紹一個定理，該定理指出了對圓進行替換的正多邊形的邊數的上限。

定理 1 若網格密度的容許誤差為ε，對于圓柱掃掠面特征，若用正n邊形替換，則

證 明 如圖 2所示，設掃掠面的曲率為ρ，則半徑r=1/ρ。在替換前，此掃掠面上的網格直徑應滿足用正n邊形替換該掃掠面后，生成的網格直徑為 h ′ = 2 rsinθ=2rsin(π/n)。由于特征替換是為了節省計算時間，那么替換后網格密度降低，網格直徑增大，所以應有h′≥h，即

曲面的夾角過小也會引起網格剖分質量降低，因此本文設定折面間夾角不小于90°，若用正n邊形替換，則n的最大值為并且根據折面間夾角不小于90°，應有n≥4，解得ε≤1。假定在網格密度最大的情況下，所有圓柱掃掠面特征均可以用四棱柱替換。當ε= 0 .098時，n的最大值為14，且根據實際經驗，對圓柱掃掠面特征用正十四邊形替換后，與替換前網格直徑改變量不大，因此，本文將ε= 0 .098設定為網格最密的情況，用戶輸入的ε值的范圍是[0.098,1]。

圖2 網格密度和多邊形邊數的關系

2 圓柱掃掠面特征簡化算法

圓柱掃掠面特征替換步驟示意圖如圖 3所示，該系統首先接收用戶輸入的初始模型，然后對模型進行特征識別，識別出初始模型中的所有圓柱掃掠面特征，針對不同的問題，由用戶對識別出的圓柱掃掠面特征進行特征過濾，將無需替換的圓柱掃掠面特征過濾掉，最后通過特征替換算法，用折線掃掠特征替換圓柱掃掠面特征。

圓柱掃掠面特征替換算法的步驟如下：

Step 1 用戶提供待簡化模型并輸入最小網格直徑hmin和網格疏密程度ε；

Step 2 由特征識別模塊進行特征識別，識別出模型中所有的圓柱掃掠面特征；

Step 4 根據曲率閾值ρ0篩選出待簡化的s個高曲率掃掠特征，設特征集合為

Step 5 對于每個特征 fi∈F，計算其包圍盒 B ox( fi)，若該包圍盒與載荷區域相交，則過濾掉 fi，反之則保留 fi，最終形成m個待簡化特征，記待簡化特征集為m≤s；

Step6 對于F0中的每個圓柱掃掠面特征f0i，計算其掃掠弧長li及半徑 ri，并計算出其掃掠弧度αi= li/ri；

Step7 對于F0中的每個圓柱掃掠面特征f0i，設替換模型的邊數為ni，計算出αi=2π時簡化模型的邊數n，，若αi∈(0,2π)，則最終的簡化模型的邊數應為

Step 8 根據ni的值，替換F0中所有的圓柱掃掠面特征，并輸出簡化后的模型。

3 應用實例

3.1 實驗說明

多態模型理論必須依靠大量科學計算試驗來驗證其理論可行性及正確性。根據提出的方法，在含不同特征的模型上進行實驗，以此來驗證方法的正確性并指導模型簡化工作，提高科學計算效率。

本文利用科學計算軟件ANSYS對模型進行熱分析計算，文中所使用的模型得到了合肥工業大學機械與汽車工程學院的技術支持。

在實驗中，以熱分析領域的穩態熱傳導過程為分析對象，在設置不同的載荷和邊界條件下針對不同種類的特征進行分析計算，求出模型上的相應量。實驗中的單元設為專用于熱分析的SOLID70單元，網格劃分使用Smart Meshing劃分為三角形網格，網格密度設置為3，網格直徑設置為1。各種屬性的具體值設置如表1所示。

表1 材料在熱領域中的各項參數

圖3 特征替換步驟示意圖

3.2 實驗模型及結果

本實驗以兩個零件模型：模型I和模型II為例，如圖4所示，模型I的初始模型含有兩個圓柱負特征，假定用戶輸入的網格密度的容許誤差為0.25，則應該用兩個八棱柱特征替換這兩個圓柱負特征，模型II的初始模型在非載荷區域內含有11個圓柱特征，其中有7個高曲率圓柱負特征，假定用戶輸入的網格密度的容許誤差為0.5，則應該用7個六棱柱特征替換這7個高曲率圓柱負特征，模型中灰色部分表示的是載荷面（添加溫度和熱對流載荷），實驗以零件的網格數量和熱流率為求解目標，驗證結論的有效性。實驗結果如表2所示。

圖4 實驗模型及特征替換后模型

表2 原模型和替換后模型比較

從表2可以看出，替換后模型I的單元數大約降低了50%，替換后模型II的單元數大約降低了20%，而模型I的熱流率誤差約為0.2%，模型II的熱流率誤差約為0.04%。由此可見，在確保一定分析精度的條件下，將模型中圓柱掃掠面特征用折面特征替換可以大幅度減少有限元網格數量，從而節省計算資源，提高計算效率。

4 結 論

對模型進行特征替換的處理方式可以看作在有限元領域中除特征刪除、特征降維和對稱性簡化3種處理方式外的一種新的特征處理方式。本文通過研究掃掠路徑的曲率與網格直徑的關系，探索圓柱掃掠面特征的合適替換策略，在確保結果精度需求的基礎上，盡可能減少計算資源的消耗。文章的最后通過兩個實例，以有限元熱分析領域為切入點進行了仿真實驗，通過計算初始模型和替換后模型的單元數和熱流率，證明了在一定的誤差范圍內，采用本文的方法可以節省大量的計算資源，驗證了結論的有效性。

[1]劉曉平, 李書杰, 吳 敏, 等. 有限元領域中多態模型誤差分析方法[J]. 軟件學報, 2008, 19(S1):173-181.

[2]劉曉平, 金 燦, 李書杰. 有限元仿真分析軟件中建模的多態機理研究[J]. 系統仿真學報, 2007, 19(3):538-542.

[3]崔秀芬. 過度特征識別與抑制方法研究[D]. 杭州:浙江大學, 2004.

[4]Belaziz M, Bouras A, Brun J M. Morphological analysis for product design [J]. Computer Aided Design, 2000, 32(5): 377-388.

[5]Hun L S. Feature-based multi-resolution modeling of solids [J]. ACM Trans. on Graphics, 2005, 24(4):1417-1441.

[6]Hun L S. A CAD-CAE integration approach using feature-based multi-resolution and multi- abstraction modeling techniques [J]. Computer Aided Design,2005, 37(9): 941-955.

[7]徐 松, 王劍英. 曲面的自適應三角網格剖分[J]. 計算機輔助設計與圖形學學報, 2006, 12(4): 267-271.

[8]Lee K Y, Price M A, Armstrong C G, et al.CAD-TO-CAE Integration through automated model simplification and adaptive modeling [C]//Proceedings of the International Conference on Adaptive Modeling and Simulation, 2003: 156-165.

[9]Gopalakrishnan S H, Suresh K. A formal theory for estimation defeaturing-induced engineering analysis errors [J]. Computer Aided Design, 2007, 39: 60-68.