復(fù)變函數(shù)與積分變換的課程思政元素分析及教與學(xué)*

張方方 趙鵬博 余仁萍 齊 歌

（鄭州大學(xué) 電氣工程學(xué)院 河南鄭州 450001）

引言

2016年，在全國高校思想政治工作會議上指出：由于我國擁有獨特的歷史，獨特的文化和國情，這就決定了我國必須要走符合自身的教育發(fā)展道路，辦好具有中國特色社會主義的高校。我國高等教育發(fā)展方向要同我國的發(fā)展的現(xiàn)實目標和未來方向緊密地聯(lián)系在一起。高校思想政治工作關(guān)系到高校要培養(yǎng)什么樣的人，如何培養(yǎng)人以及為誰培養(yǎng)人這個根本問題以來，如何將新時代中國特色社會主義思想與大學(xué)生專業(yè)知識相融合，如何大力推動以“課程思政”為目標的課堂教學(xué)改革這些問題亟須解決。

課程思政在高校教育中的重要性愈來愈高，而復(fù)變函數(shù)與積分變換作為工科大學(xué)生的一門必修的專業(yè)基礎(chǔ)課，教師更應(yīng)該理解課程思政在這門課中的重大意義，挖掘這門課程中每個定理和符號與課程思政的聯(lián)系，實現(xiàn)知識教育體系和思想政治的有機統(tǒng)一。那么，作為一名高校教師，應(yīng)該如何順應(yīng)時代潮流的發(fā)展，做好復(fù)變函數(shù)與積分變換課程知識與課程思政的有機統(tǒng)一，如何在課程教育中潛移默化地實現(xiàn)全方位育人，幫助學(xué)生樹立和培養(yǎng)正確的人生觀、價值觀和世界觀，培養(yǎng)出可以為實現(xiàn)新時代中國特色社會主義而努力的有用人才。

在新時代背景下，大學(xué)生專業(yè)課教育與課程思政的融合也深深吸引著眾多教育者。牛英春[1]等研究了復(fù)變函數(shù)論課程混合式課改中的思政元素的應(yīng)用，主要討論了課程理論與思政元素的映射，通過講解課程中的理論來引出思政知識，通過這種方法與課程思政進行有機結(jié)合，但是并沒有提到作為在校大學(xué)生該如何將復(fù)變函數(shù)論與課程思政進行融會貫通。王松[2]、李潔[3]、劉方紅[4]分別將辯證唯物主義融入高等數(shù)學(xué)、微積分和線性代數(shù)等專業(yè)基礎(chǔ)課中，但并沒有講到作為老師應(yīng)該如何將專業(yè)知識和課程思政有機統(tǒng)一后教給學(xué)生。對于復(fù)變函數(shù)與積分變換這門專業(yè)基礎(chǔ)課程，文獻主要從教學(xué)方法探討、課程建設(shè)、教學(xué)設(shè)計等[5-6]方面進行相關(guān)的研究與分析，而對于課程的思政元素分析、思政與知識點的結(jié)合、課程思政教與學(xué)等方面很少有文獻進行深入的探討。

綜上所述，復(fù)變函數(shù)與積分變換與課程思政元素的結(jié)合以及老師和學(xué)生怎樣去教與學(xué)研究具有重要意義，對于本門課程思政建設(shè)、課程思政元素開發(fā)、課程思政教與學(xué)以及學(xué)生綜合素養(yǎng)的提升都很有價值。

一、復(fù)變函數(shù)與積分變換的課程思政元素分析

復(fù)變函數(shù)與積分變換是工科專業(yè)的重要基礎(chǔ)課程，是工科學(xué)生學(xué)習(xí)其他專業(yè)課的重要工具。在自動化專業(yè)中，自動控制原理、現(xiàn)代控制原理以及信號與系統(tǒng)等許多重要的專業(yè)基礎(chǔ)課都用到了本門課程的基礎(chǔ)知識，如復(fù)數(shù)、傅里葉變換、拉普拉斯變換、留數(shù)定理等。本門課程的很多概念、公式、定理和方法等知識點都與思政有著緊密的聯(lián)系，特別是科學(xué)的思維方法和面對當(dāng)代錯綜復(fù)雜的國際國內(nèi)形勢時，課程思政發(fā)揮了重要的價值。

學(xué)生們在從小學(xué)到大學(xué)的過程中，很少接觸到復(fù)數(shù)域，他們比較熟悉的是實數(shù)域。但是隨著學(xué)習(xí)的深入，實數(shù)域里的知識已經(jīng)無法滿足專業(yè)課的需求，因此，在研究上也會有一定的約束。而課程實現(xiàn)了在數(shù)域上的擴展，使許多如x2+1=0的方程，在復(fù)數(shù)域上存在解析解而實數(shù)內(nèi)是無解的。復(fù)變函數(shù)中從實數(shù)域到復(fù)數(shù)域的變化和大學(xué)生的生活環(huán)境發(fā)生了巨大的改變一樣，為了提高自身的能力，開拓自身的視野，強化自身的專業(yè)技能，這需要改善學(xué)生們所處的生活環(huán)境來達到上述的目的。

在復(fù)數(shù)域上建立的函數(shù)擁有更多的數(shù)學(xué)性質(zhì)和幾何意義，如大家熟悉的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等由于擴域帶來了函數(shù)性質(zhì)的變化。這里有一個非常著名的歐拉公式，它將看似沒有任何關(guān)系的復(fù)指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)聯(lián)系在一起，幫助我們更好地理解復(fù)變函數(shù)。歐拉公式建立了復(fù)指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)聯(lián)系，這也啟示我們雖然環(huán)境有所變換，但還是可以找到不同環(huán)境之間的聯(lián)系。這也可以看作事物的形式，不同但本質(zhì)是一致的，事物內(nèi)部本身就包含著相互聯(lián)結(jié)、相互滲透，相互轉(zhuǎn)化又相互排斥。列寧曾經(jīng)說過：發(fā)展似乎是在重復(fù)以往的階段，但它是以另一種方式重復(fù)，是在更高的基礎(chǔ)上重復(fù)。這也說明了由矛盾引起的發(fā)展或者否定的否定是發(fā)展的螺旋形式。學(xué)生所處的環(huán)境雖然改變了，但事情的發(fā)展還是處于螺旋上升的，學(xué)生們應(yīng)更快地適應(yīng)環(huán)境，抓住機會提升自身。

復(fù)變函數(shù)與積分變換中，能夠體現(xiàn)課程思政的元素還有很多。例如，留數(shù)定理蘊藏的事物發(fā)展的偶然性與必然性；復(fù)變函數(shù)無窮級數(shù)展開，特別是泰勒級數(shù)到洛朗級數(shù)能夠培養(yǎng)學(xué)生辯證思維，認清問題的本質(zhì)；從傅里葉的正逆變換理解事物的對立和統(tǒng)一的思想，理論聯(lián)系實際；從拉普拉斯變換概念的引入，讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)的嚴謹和人類的每一步的發(fā)展不容易，國家發(fā)展需要技術(shù)和大家共同的努力；基于拉普拉斯變換求解微分方程的三步走的過程，體現(xiàn)了解決復(fù)雜問題變換思路和工具的重要性，人類的發(fā)展過程就是體現(xiàn)人類利用工具探索未知世界的過程。本門課程能夠體現(xiàn)課程思政的知識點還有很多，需要在課程的教與學(xué)中深入挖掘與分析，建立整個課程思政元素庫，更好地培養(yǎng)符合新時代發(fā)展需要的大學(xué)生。

二、課程思政內(nèi)容怎么教

在教育過程中，我們要注意將課程思政內(nèi)容與專業(yè)知識相結(jié)合，與祖國的發(fā)展相結(jié)合，與學(xué)生的發(fā)展相結(jié)合。我們需要將課程思政建設(shè)與復(fù)變函數(shù)教學(xué)內(nèi)容相互協(xié)調(diào)，深度挖掘課程內(nèi)容與思政的結(jié)合點。為了能夠深刻地推進課程的創(chuàng)新改革，我們在教育過程中，要切實跟隨現(xiàn)代教育的發(fā)展規(guī)律，需要著重樹立“以人為本”的教學(xué)理念，秉承“潤物細無聲”的教學(xué)原則。我們主要可以通過以下幾點將思政元素潛移默化地與課程的教學(xué)相融合。

1.體現(xiàn)“以人為本”的學(xué)生發(fā)展為中心的課程思政教育。課程知識點與思政元素要以學(xué)生為中心，體現(xiàn)做人做事的基本道理，提升學(xué)生的綜合素養(yǎng)為目標。課程思政元素要結(jié)合國情與社會時政熱點問題，結(jié)合中華傳統(tǒng)文化，提升學(xué)生的愛國主義和理想信念。課程思政元素要結(jié)合學(xué)生當(dāng)下的需求和將來的職業(yè)發(fā)展，提升學(xué)生的職業(yè)認知和社會認知，培養(yǎng)知識全面、素質(zhì)高尚、社會需要的人才。

2.我們可以使用現(xiàn)代多媒體技術(shù)來表現(xiàn)思政內(nèi)容。依靠現(xiàn)在的互聯(lián)網(wǎng)，將思政內(nèi)容結(jié)合進復(fù)變函數(shù)教學(xué)中，可以將相關(guān)的圖片、視頻等加入課堂教育中，如最新的國家發(fā)展成就、著名科學(xué)家的奉獻精神、現(xiàn)實的機遇與挑戰(zhàn)等，由老師對其進行引導(dǎo)和解說，將更多的思政內(nèi)容穿插在課程講解的過程中，從而達到與專業(yè)知識課程的有機結(jié)合。

3.我們要努力開發(fā)思政教學(xué)案例?？菰锏闹R點很容易讓學(xué)生感到無聊，造成教學(xué)效果不好，所以在課堂上，我們需要鮮活的案例來吸引學(xué)生興趣。為了讓學(xué)生改變對復(fù)變函數(shù)課程枯燥乏味的印象，教師要利用生動形象的案例來活躍課堂氣氛，引發(fā)學(xué)生的積極回應(yīng)。在課堂上，老師也可以加入對思政案例的討論，從而引導(dǎo)學(xué)生樹立正確的價值觀，同時教師也可以借此來了解學(xué)生目前觀念。

4.課程思政教育做到“以史為鑒”。在課程的教學(xué)中，我們可以引入數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史、數(shù)學(xué)與社會的關(guān)系、數(shù)學(xué)與各國文化的聯(lián)系等。這些內(nèi)容都是可以結(jié)合課程思政教育的地方。比如，在柯西積分定理這一章中，我們可以讓學(xué)生查閱柯西這位偉大的科學(xué)家的相關(guān)歷史，首先，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)國家需要尋找適合自己興趣點，其次是激勵學(xué)生大學(xué)期間認真完成自己學(xué)業(yè)。在教學(xué)過程中，常常會需要舉例，常用的經(jīng)濟學(xué)例子，我們可以給新中華人民共和國成立以來的GDP變化，讓學(xué)生感受到國家的變化，獲得強烈的自豪感。

5.培養(yǎng)學(xué)生從課程知識中主動思考課程中思政元素。課程思政中體現(xiàn)的哲學(xué)、辯證法等思想，如基本函數(shù)、級數(shù)展開、積分變換等知識，這些抽象的數(shù)學(xué)知識本身也富含著相當(dāng)多的哲學(xué)內(nèi)容，我們要引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中有目的地將其聯(lián)系起來，讓學(xué)生們多加思考其中蘊含的哲學(xué)思想，從而達到對數(shù)學(xué)知識和思政知識的有效融合。

課程思政教育的目的是讓我們在課堂教學(xué)這個主干道上充分挖掘課程本身所蘊含的思政教育資源，實現(xiàn)思政教育目標與學(xué)生專業(yè)知識要求協(xié)同一致，促進學(xué)生的長期健康發(fā)展。將復(fù)變函數(shù)與積分變換的知識傳授與學(xué)生思政教育相融合，進而培養(yǎng)學(xué)生的思維，鍛煉學(xué)生的意志，提高學(xué)生的品質(zhì)，真正實現(xiàn)教書與育人的有機結(jié)合，逐步引導(dǎo)學(xué)生樹立正確的人生觀、世界觀，價值觀，實現(xiàn)高校人才的全面發(fā)展。

三、課程思政知識怎樣學(xué)

在復(fù)變函數(shù)的學(xué)習(xí)過程中，我們不能只局限于學(xué)習(xí)書本上的復(fù)變函數(shù)知識，還要通過查閱相關(guān)文獻資料擴充自己的知識儲量，最重要的是要感悟出復(fù)變函數(shù)知識所蘊藏著的思想政治內(nèi)容，如通過傅里葉正逆變換得到的對立統(tǒng)一規(guī)律以及通過引入無窮級數(shù)的概念進而引出辯證思維的概念等。當(dāng)思政元素與課程知識互相融合，學(xué)生們理解課程的難度會下降，同時學(xué)習(xí)的熱情會提升。這種方式對學(xué)生們未來的學(xué)習(xí)以及科研是益處良多的。

1.傅里葉變換所折射的對立統(tǒng)一

傅里葉的正逆變換可以滿足一定條件的某個函數(shù)表示成正弦基函數(shù)的線性組合或者積分?；诟道锶~的正逆變換公式可以看出，傅里葉的正逆變換是事物的對立統(tǒng)一的一個典型例子，不僅可以從像函數(shù)變到原函數(shù)，也可以從原函數(shù)變到像函數(shù)，二者既是對立的，也是統(tǒng)一的。對立統(tǒng)一規(guī)律是物質(zhì)的性質(zhì)和核心，只有正確認識生活中的矛盾，面對矛盾，才能提高我們的工作能力，幫助我們在未來取得更好的成績。通過傅里葉變換這種理論，我們可以將其應(yīng)用到實際方面，如圖像處理方面。通過傅里葉變換，我們會顯著提高圖像處理方面的能力。同樣辯證思維，認清問題的本質(zhì)對學(xué)生們來說也非常重要。

2.無窮級數(shù)中的辯證思維

無窮級數(shù)是用來研究解析函數(shù)至關(guān)重要的工具。從函數(shù)的級數(shù)培養(yǎng)辯證思維，認清問題的本質(zhì)。辯證思維是指認識事物是通過從變化和發(fā)展的角度的思想，經(jīng)常被認為是邏輯思維的對立面。辯證地看問題可以幫助我們在面對抉擇時，選到最佳的解決方法。只有辯證地看待問題，才能開闊眼界，這對我們的生活和事業(yè)的成功至關(guān)重要。為此，我們需要接觸和研究辯證唯物主義的世界觀。學(xué)習(xí)唯物辯證法，可以不斷提高自己的地位，開闊自己的胸懷。我們在做科研時，要辯證地看問題，而不是局限于其中的一個方面，要同時考慮兩個方面，這樣才能在學(xué)術(shù)與做事方面取得成功。

3.留數(shù)定理蘊藏的偶然性與必然性

留數(shù)和留數(shù)定理是復(fù)變函數(shù)課程的重要概念和重要內(nèi)容，是分析和求解復(fù)變函數(shù)積分的一種重要方法。通過留數(shù)和留數(shù)定理學(xué)習(xí)，理解了科學(xué)結(jié)論的偶然性和必然性。偶然性是被積區(qū)域的各個奇點，必然性則是最終構(gòu)成的被積區(qū)域包圍的閉曲線。正確認識必然性與可能性之間的辯證關(guān)系，對于科學(xué)研究和社會實際活動都非常重要。科學(xué)活動不能為了追求必然而離開不可預(yù)見的情況。在做科研過程中，如果同一實驗遇到不同的結(jié)果，不應(yīng)該直接拋棄偏差很大的結(jié)果并且只保留偏差較小的結(jié)果，而是應(yīng)該不斷地嘗試做實驗，要知道無數(shù)的偶然造就了必然，這樣才能得到最終的期望結(jié)果。

結(jié)語

復(fù)變函數(shù)含有的基礎(chǔ)知識為學(xué)生大學(xué)學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)。學(xué)生通過專業(yè)知識之間建立的聯(lián)系，更好地理解知識的本質(zhì)。這些都會切切實實的影響學(xué)生們未來的大學(xué)學(xué)習(xí)和職業(yè)生涯，培養(yǎng)出符合我國社會主義核心價值觀的，具有科學(xué)精神和工匠精神的新工科人才。教師通過在教學(xué)中將基礎(chǔ)知識和相關(guān)擴展知識相結(jié)合，讓學(xué)生不僅在準確理解專業(yè)知識的同時，還能夠感悟知識背后的人生哲理以及科學(xué)精神，培養(yǎng)學(xué)生的愛國精神，從而參與到祖國發(fā)展中。