小學數學教學中數學推理的內涵與推理能力培養

☉顧 俊

數學教育的主要目的，是為了讓學生懂得數學推理，同時要有推理的能力。數學推理被認為是學生數學素養中的核心內容之一。早在1950年，我國就提出要培養兒童善于推理、分析的能力，同時要學會鉆研方法，培養學生樹立良好的學習意識。21世紀初期，我國實行課程改革，將數學推理能力作為提升數學教育的重要目標，要求對數學推理能力進行更加清晰的描述和分析。

一、數學推理能力的意義

在新頒布的高中數學課堂標準中，將邏輯推理能力作為學生的核心素養之一，要求學生能從多個層面分析發現問題，作為科學精神的重要核心內容。因此，重視學生的推理能力，不僅對于數學一科有幫助，同時對于其他科目也都起著重要作用［1］。學生在談論到推理過程時，通常會覺得自己對推理這個概念比較了解，但實際情況卻并不是如此，不同學生對于數學推理的理解存在很大不同［2］。除此之外，學生在不同學習階段，對于數學的推理看法也會有所差異。例如，在推理中，數學推理與一般推理具有何種關聯？如果學生對一些數學規律的變化總結失敗，是否可以采用推理方法？由上述分析可以了解到，培養學生數學推理能力，將數學推理能力融入到教學中，無論是對教學目標還是對學生未來發展都有重要意義。

二、理解數學推理

（一）數學推理內涵

推理是指人們在生活或者學習過程中，常見的一種思維方式。不同學者對推理的理解有所差異。大部分學者認為推理與思考和推斷緊密相連，還有學者認為，推理最主要的特點是具有社會性。具體而論，人們所處環境不同，以及個體存在差異，因此，會有不同的觀點和判斷，對某一部分群體不證自明的觀點具有重要作用，但是并非適用于所有群體。推理就是篩選不同觀點的過程。這一過程需要不斷協商，同時也具有集體性的特征，推理與論證之間具有密切聯系，論證也可以稱為推理中的一部分，兩者所表達的內容和含義相互關聯。推理主要包含數據資料以及理論成分。部分研究學者認為，推理的活動強化所處的環境與人際關系，說明是推理的主要定義，重視對邏輯性的正確和完整進行考察，涉及到的學科比較少［3］。大部分推理過程都是用于分析和評價論證，為人們提供所需要的證據。推斷實際上是一種基本行為，在日常生活和工作中，離不開推斷和思考，人們為自己做出決定和判斷、對未來做出計劃等都無法離開推斷。

（二）數學推理中的四種視角

在研究數學推理階段，存在多種分類方法、不同的表達和不同的類別，是因為研究人員對數學推理方面重視度不同。例如，在數學教學階段，推理需要重視學習過程還是學習結果？推理教學中，需要重點關注推理策略還是重點關注推理結構？結合邏輯結構進行分析，可以將數學推理從以下幾個層面進行論述。

第一點是從結果視角層面分析，這方面更關注的是推理過程中的邏輯結構，重視結果。在解決數學問題的過程中，將推理作為解決問題的流程和方法，更加重視推理所得到的論點和結果。此種方面并不是對推理過程有所忽視，更多是需要學生分析和觀察，重視學生解決問題的結果。

第二點是從過程視角層面分析，這一視角不僅需要關注邏輯結構，同時也要關注邏輯推理，重視推理步驟和推理對象。從這一層面出發的研究人員較多。部分學者提出，數學推理過程中包含對結構與量進行有效推理和歸納。還有研究學者對于邏輯性和思維過程，進行數學推理，重點分析數學命題之間的內涵傳遞，分析數學歸納和演繹推理過程的思維模式，是一種基本的體驗。

第三點是從社會的角度出發，添加推理過程的溝通能力和認知能力。通過與他人對話或者自我對話的方式，運用其中一個數學觀點，向另外一個數學觀點延伸，這種方式為數學推論的過程。例如，尋找差異和相同的過程，包含識別和猜想規律，由于在推理過程中，需要一定的例子來支持理論，因此，這種方式可以成為尋找異同點，也可以作為論證過程的支持。由此可以發現，個體具有非常復雜的思維活動，不同類型的推理活動，并不是按照一定次序推理的，而是根據不同推理過程進行推理的，不同推理過程之間相互影響和促進。

第四點為結構性視角，這種推理方式是重視推理如何從主張走向結構。分析構成、推理、邏輯結構之間相互聯系的要素。此種推理方式形式包含以下幾點：第一點為歸納推理，第二點為演繹推理，第三點為溯因推理。比較熟悉的推理方式是歸納推理和演繹推理。我國又將數學推理劃分為演繹推理和合情推理。合情推理是指把已有的事情作為基礎，根據自己的直覺與經驗，通過類比和推理等方式，最終得出結論、公理等內容。邏輯推理可以包含兩種，一種為特殊推理，還有一種為一般推理。演繹推理是能夠得到結論的一種推理方式，同時也是在數學推理中常常存在的一種推理方式。歸納推理實際上是對數學規律進行查詢，找到數學內容相似點的推理。

三、小學數學教學中培養學生數學推理能力

推理所包含的范圍比較廣泛，無論從具體某一數學領域中進行推理，還是一般性的不同角度進行推理分析，在數學學習活動中，幾乎都有數學推理滲透其中。對于數學推理教學而言，無法提出公認的環節和程序解決所有問題，一般情況下，都需要學生靈活運用數學中的各種公式。在構建學生數學推理能力框架的過程中，可以從鼓勵學生相互交流，設計課堂任務，營造良好氛圍，以及合理地對學生進行教學和評價等方面進行。除此之外，也可以通過以下兩個層面，促使學生數學推理能力得到提升。

（一）設計具有創造性的推理任務

在分析推理類型過程中，與模仿性推理進行比較，讓學生擁有創造性的數學推理更為困難，但這是培養學生數學理念的重要內容。創造性任務是指讓學生獨立思考問題，同時也要探索問題所包含的真實含義。此處的創造性并非指設計的題目如何獨特和新穎，而是在事先不給予學生答案，讓學生獨立思考和分析，讓學生不斷探索和理解。部分教師覺得此種方式更容易操作。瑞典教科書中，在數學教學中大部分都是死記硬背和推理任務。結果發現，超過79%的學習任務都能夠采用簡單模仿的方式進行解決。在數學任務中，學生需要進入到解決問題的策略和步驟，同時能夠讓學生學會舉一反三，將其運用到新的問題之中。教師在設計教學內容階段，要結合教材進行合理設計，引導學生不斷探索提高解決問題的能力［4］。例如，在學習《平行四邊形的面積》過程中，在教材中，將鋪草坪作為背景計算面積，同時也會提示學生如何做輔助線，之后告知學生平行四邊形與長方形面積之間存在的聯系，指導學生善于觀察，最后得出面積公式。通過教材可以看出，教師需要不斷引導學生，讓學生學會思考。思考過程能夠提升學生的推理能力，但采用此種方式屬于一種策略模仿。

教師在指導學生學習《圓錐的體積》過程中，如果教師僅僅使用一個與它相同等高等底的圓柱，將水或者沙子倒入在圓柱或者圓錐中。結果發現，倒入圓錐中的水，如果倒在圓柱中，需要倒三次，學生就了解到圓柱的體積是圓錐體積的三倍。這種情況是只關注到推理結果。如果教師想讓學生更加注重推理過程，就讓學生猜測圓柱與圓錐之間的聯系，學生在沒有學習圓錐體積情況下，一定會通過計算面積的方式進行推理，這種推理類比過程會非常有趣。如果學生在推理過程中出現差錯，教師需要引導學生作出正確結論。學生在思考過程中就會更加具有創造性，不僅能夠在學習中進行猜測，同時也可以在學習中進行推理，讓猜測與推理融合，探測數學的結果［5］。教師為了能夠更好地設計教學任務，需要為學生提供假設與猜想，讓學生對已有知識進行分析和討論，同時也需要讓學生不斷學習、修改和調動，促使學生經歷提出論點，尋找論證依據，最終得出結果等過程。在尋找數學答案階段，對于提升學生數學推理能力具有重要意義。一般的布置任務方式不具有創造性推理概念，無法有效地提高學生數學推理能力。創造性推理任務需要花費更多時間，不僅需要教師從創造性知識的難度中進行分析，同時還要篩選出數學中的各種情景和活動，除此之外，教師還需要了解學生的反饋，對于學生提出的問題做出指導。教師將課內的創造推理逐步向課外延伸，或者將課內外學習推理進行結合，也是培養學生推理能力的有效方法。

（二）指導學生表達和解釋推理

在數學教學過程中，很多學生能夠說出正確答案，但是無法解釋自己的看法和觀點，對于推理過程卻無法提供，這在數學教學中屬于一種普遍現象。例如，在數學研究中，分析數字1、4、7、10為何永遠不會出現三的倍數？有些學生會回答是由于數字規律是加3，因此無法促使得到的數字是3的倍數，有一類學生會舉出例子進行回答，將其中的一些數字作為例子，說10不是3的倍數，還有一些學生會提及到數列，將1作為開始，因此，最終得到的數字不會出現3的倍數。完整的解釋是，由于數字是由1開始，因此，所得到的數字永遠會比3的倍數多1。

在分析過程中學生也有自己的想法，但是缺少推理環節，因此，學生的推理思路無法得到建立。教師在教學過程中，需要引導學生對答案進行描述，要使用一些邏輯語言。例如，因為……，所以……等。讓學生學會為自己的結果作出解釋，幫助學生合理地表達數學過程。在教學過程中，培養學生推理能力是重要目標。數學推理是提升學生素養的關鍵所在。雖然大部分研究者已經對推理等進行分析和概括，但在小學數學推理過程中，更需要重視關注學生的推理過程。指導學生進行推理，不要在意推理過程是否合理，不需要對創造性推理和模仿推理進行嚴格區分，最重要的是讓學生能夠學會假設，讓學生在假設之后不斷思考和表達，這個過程就是學生經歷的數學推理過程。例如，在學習《三角形面積》過程中，教師可以讓學生由猜想開始，然后根據自己所學的知識進行分析，最終得到結果?；蛘呤墙處熃o出三角形面積的計算方法，讓學生對結果進行推斷和分析，這種也是推理過程。數學推理過程包含學生的推斷和思考，在思考過程中，既包含創造性的思維能力，同時也包含批判性思考能力，學生在不斷判斷和檢驗中得到正確論點，通過在推理中不斷創造，最終得到新的理論。想要促使學生學會推理，并不是讓其在某一節數學課堂上進行推理，而是要讓推理過程貫穿于整個數學課堂。對于教師而言，也需要具備推理的意識和思維，掌握科學的推理方式，合理求證，在指導學生階段，體現數學學科的學習特點。

綜上所述，教師在教學階段，培養學生數學推理能力具有重要作用，不僅可以促使學生更好地學習數學，同時也可以培養學生的思維能力。但是，在培養學生數學推理能力的過程中，創新性推理所涵蓋的內容較少。因此，需要教師不斷完善。教師通過設計支持創新性推理內容，鼓勵學生表達和推理過程，有利于培養學生數學推理能力，促使學生在學習階段能夠不斷思考，提升思考能力和思維能力。學生在不斷推理中小心求證，能夠體現出數學科目的學習特征。希望文章的分析，能夠為小學數學教師提供一些教學建議，為培養學生數學推理能力獻方獻策。