逆向教學設計建模類教學評價案例
——無線信號發射器安裝方案設計

辛玉鑫

（山東省青島市第六十七中學，山東青島 266100）

一、教學分析

數學建模是學生高中階段必備的數學核心素養之一，新課程標準中特別強化了數學建模思想的核心地位，并以主題的形式要求學生參與數學建模活動與數學探究活動的全過程。使學生認識數學模型在科學、社會、工程技術諸多領域的作用，提升實踐能力、增強創新意識和科學精神。

數學建模素養不具備外顯性，尤其是在單節課程中往往很難評價。本節課運用逆向教學設計思路設計評價方案，基于評價設計整體教學思路，并給出評價量表中每個問題的素養權重表，使得學生可以依據評價量表量化衡量核心素養達成情況。本節課的素養達成目標重點在于數學建模核心素養的培養，授課目標為求解在幾座建筑所組成的建筑群中安裝無線信號發射器的最優方案。所運用到的幾何模型為長方體的外接球，同時需要應用到數據分析，解不等式組，線性規劃等相關知識，是一節綜合性較強的應用類課程。

二、主體教學過程設計

（一）提出問題，優化模型

為迎接2021年將在我校舉行的全國大學生運動會，需在我校行政樓、實驗樓、3，4號教學樓以及體育館內建立內部無線網絡通信系統，要求信號完全覆蓋于上述區域。請自行搜集數據，從成本角度給出網絡信號發射系統的最佳安裝方案，并給出分析過程。

通過對設計圖紙的分析整理，借用計算機軟件做出五棟樓的立體模型，培養學生直觀想象的核心素養，并為后期的計算做準備，進而得到較理想的平面模型。

優化后的平面模型（單位：10 m）

信號發射能覆蓋的區域可以看作是一個球，信號完全覆蓋可以理解為球，可以完全包含這幾棟建筑，所以可以抽象成長方體外接球的問題，可以通過求解長方體外接球的半徑來得到信號能夠完全覆蓋時對信號發射器發射半徑的要求。

（二）價格分析

以下為某公司給出的該項目的投標書中產品價格報表，請根據報表分析該公司產品的價格：該公司的產品價格主要受哪些因素的影響？如何影響？

項目名稱：青島市第六十七中校園內部網絡通信系統安裝項目（以下為本公司現有產品型號參考價格，產品可根據項目需求進行定制）

產品型號 最大覆蓋半徑/m 報價CRN-40 40 2000 CRN-50 50 2000 CRP-60 60 3000 CRP-75 75 4550 CRP-80 80 5050 CRP-100 100 7000

設計意圖：通過畫散點圖發現散點圖大致分兩部分，當覆蓋范圍小于50m的時候，價格沒有變化，都是2000；當價格大于50m時價格遞增，通過60m和75m所對應的價格發現，半徑增加15m時價格增加了1550，也就是每米100元左右。且半徑最少增加5m，所以半徑應該是以5的倍數增加，約為每5m收500元，旨在培養學生數據分析的核心素養。

各組最優方案展示：

P= + ×= × + ×=images/BZ_235_559_333_913_555.png安裝1個R=121，86，取作125(125 50)2000 500 5 1 2000 15 500 9500?1組安裝5個images/BZ_235_559_576_962_829.pngr1～r4均小于50，取作50；r5≈50.71，近似取作50；P=5×2000=10000 2組 安裝2個images/BZ_235_559_864_942_1105.pngP1=4500 P2=5000 P=4500+5000=2×2000+11×500=9500 P1+P2+P3 3組 安裝三個images/BZ_235_559_1129_946_1372.pngr1≈73.19, P1=4500;r2≈49.9, P2=2000;r3≈50, P3=2000;4500+2000+2000=3×2000+5×500=8500 4組 安裝4個images/BZ_235_559_1400_1030_1696.pngP=4×2000+1×500=8500

（三）模型分析

可根據信號發射器的個數進行分類。將任務分給四個小組，合作求解成本最低的最佳安裝方案。學生展示自己的探究成果，教師記錄每種分類下的最優方案的計算式，師生共同比較得到最佳方案。通過該過程培養學生數學建模、數學運算的核心素養，增強合作意識。

根據以上各小組分享，在現有報價下安裝3個或4個發射器價格最優。對應價格為：

P=3×2000+5×500=8500或P=4×2000+1×500=8500

（四）模型推廣

現有三家公司共同參與競標，通過類似的分析方法得到以下三家公司的價格表示，請通過對模型的分析選擇適當的方案，從價格角度給出建議。（忽略墻壁阻擋，其他設施對發射器安裝位置影響等外部因素）

其他兩家公司給出的報價中，費用依然是兩部分，在研究數學問題時，我們可以將變化的數據抽象為兩個變量，將剛才得到的不同分類下最優方案的費用表示成這兩個變量的函數，得到表達式分別為

單個發射器成本及安裝費用 半徑每單位增加費用甲2000 500 1900 650丙2200 400乙

最優方案的選擇可以通過以下不等式組的求解來完成。

由此，只需要分別計算每個公司的報價中y與x的關系，就可以確定該公司的最優方案和最低成本。以上分析是從“數”的角度利用不等式得到的計算結果，下面從“形”的角度利用圖像加以分析。我們現在將成本表示成關于x和y的函數，利用Matlab做出不同方案下成本z關于兩個變量的函數圖像，如圖1所示。

她之所以讓其他人回去，就是怕他們聽到許諾醉后吐的這些真言，那一整晚，她聽他一遍又一遍地說著那句話，眼淚一顆接一顆地落在那件花了大價錢訂制的潔白婚紗上。

圖1

方案要最優即成本最小，體現在圖像中即z的值要最低。取從下往上的視角觀察圖像，看到的顏色所代表的個數即為最優方案。將圖像轉換得到從下往上看的圖像，截取其中x、y均大于0的部分并調整坐標軸的方向，在平面直角坐標系中表示出剛才所得到的結果。

（五）結果應用

利用以上分析結果計算得到三家公司報價下的最優成本。

單個發射器成本及安裝費用半徑每單位增加費用 方案選擇 最優方案成本甲 2000 500 y= x 3個或4個 8500 14乙 1900 650 1 4 y> x 4個發射器 8250丙 2200 400 1 5 y< x 1個發射器 8200

設計意圖：通過報價數值的改變，結合函數的思想，將其中變化的量表示成函數的自變量，可以得到不同發射器個數下最優方案成本的表達式，然后共同思考如何探究最優成本。通過特殊問題一般化的過程，培養學生數學抽象，邏輯推理，數學運算的核心素養。

以上問題解決時所用的探究方法同樣適用于其他類似問題的討論，如說手機信號增強器的安裝方案、照明系統的安裝方案等。并且以上討論都是建立在理想狀態下，忽略了很多其他因素的影響，如墻壁對于信號的影響，其他建筑對于信號發射器安裝位置的影響等。因此運用結果時要結合綜合因素，結論描述需要從多角度進行分析，結合現實、覆蓋率、維修、適用性、普遍性的因素等。

（六）素養達成分析

自我評價量表

問題 得分1能夠設計合理的測能夠利用所測數據量方案，得到每座建筑長寬高2繪制平面模型3 能夠結合實際情況對數據進行優化處理4 能夠分析出半徑為影響價格的因素并在直角坐標系中畫出散點圖5 能夠根據散點圖分析價格和半徑的相關關系6 能夠結合實際情況用分段函數的形式表示半徑和價格的關系7 能夠根據平面圖確定方案的分類依據8 能夠有條理地完成不同分類下各種方案成本的核算工作9 能夠在不同方案的成本核算過程中靈活地處理數據，進一步優化方案10 能夠分析抽象出不同安裝個數下成本關于兩類費用的函數表達式11 能夠用數學理論從代數角度分析出方案選擇與兩變量之間關系的關聯性12 能夠運用信息技術工具利用圖像分析方案選擇與兩變量之間關系的關聯性13 能夠利用數學模型得到的結果判斷每個公司報價下的最優方案和最低成本14 能夠結合實際，有理有據地闡明方案的合理性

根據以上素養權重對照表，可以得到學生在本節課中各素養達成率，積累一段時間的數據后就可以形成個人階段性的素養追蹤報告，以及班級素養追蹤報告，使得核心素養的培養可以量化衡量。

階段性素養追蹤圖例

三、教學反思及效果分析

（一）問題分析

以上素養追蹤數據的生成有賴于評價量表中素養權重賦值，而評價量表的設計、每個問題的素養權重賦值均具有主觀性。

案例中給出的僅為針對課堂教學部分的評價方案，針對核心素養達成情況的追蹤還可以通過試卷分析、個人自評、小組互評、教師評價等多種方式展開，進行綜合評定。

（二）在日常教學中落實數學建模的必要性

本節課的整體設計思路源于筆者在日常教學中有一個深刻體會：學生根本不知道為什么學數學，學習數學有什么用，盡管無論是考試大綱還是新課程標準中都明確提出了數學學習的終極目標是能用數學的眼光看待世界，用數學的語言描述世界，用數學的思維思考世界[1]，但在日常教學中如何落實這一點是我們需要在教學過程中認真思考的問題。

回顧整個數學史的發展歷程，我們會發現每一個數學理論的突破都是由需求產生的，也就是說，每一個新的數學知識的出現都是為了“用”而出現的。如果能在學生學習的同時，讓他們嘗試去運用所學知識解決他們所熟悉的問題，在應用中體會數學學習的樂趣，在自主思考中達到素養提升的目的，會收到事半功倍的效果，而這也正符合新課程標準中強調的數學建模和數學探究活動的要求。

（三）采用逆向教學設計構建問題導向機制，逐步培養建模思想

本節課采用逆向教學設計構建整體教學過程，在目標導向下進行梯度設置：首先從給定報價的模型入手，進行一般性的討論；其次將單個變量改變，引導學生分析價格變化對方案選擇的影響，初步形成變量的概念；最后通過多家公司報價的提出，引導學生自主設置變量，解決一般問題。并以評價量表的形式實現對每階段的目標達成情況的量化衡量。

數學建模最終要面向的問題是生活中的實際問題，因此建模過程中要考慮很多實際因素對模型的影響。在對模型進行分析計算時，要考慮到諸多實際條件的制約，而不是盲目地進行分析，對于數據的分析也要考慮計算量的影響和實際條件的影響。培養數學建模的思想應該是一個由淺入深，由特殊到一般，由問題化設置到情境化、生活化的系統過程，逆向教學設計與此過程可以很好地契合，結合量化的素養達成情況分析，通過系統的問題設置、情景模擬，盡可能地為學生提供培養建模思想的沃土，讓學生的思想可以充分地伸展、生長。