基于Iwan模型的螺栓非線性接觸建模與參數(shù)辨識

朱明揚， 苗慧慧， 李兵

(西安交通大學(xué)制造系統(tǒng)工程國家重點實驗室， 西安 710049)

在機械工程領(lǐng)域中，螺栓結(jié)構(gòu)由于其具有強度高、穩(wěn)定可靠、可拆卸等特點得到了廣泛的應(yīng)用。螺栓接觸是典型的非線性接觸，非線性特征來自接觸面的微觀碰磨以及宏觀滑移、間隙拍擊等現(xiàn)象，從而使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生能量耗散，產(chǎn)生結(jié)構(gòu)阻尼[1]。對非線性連接結(jié)構(gòu)，建模和分析時常用線性化思想。但線性建模方法不能準(zhǔn)確描述螺栓連接結(jié)構(gòu)的非線性行為，也不能表征螺栓結(jié)構(gòu)的非線性響應(yīng)現(xiàn)象[2]。為了實現(xiàn)更合理的螺栓連接結(jié)構(gòu)分析設(shè)計與計算，需要建立螺栓結(jié)構(gòu)非線性參數(shù)化模型[3]。

目前在常見的本構(gòu)模型中，應(yīng)用Iwan模型描述結(jié)構(gòu)非線性特征的方法得到了較多的應(yīng)用。Iwan[4]提出了均勻分布函數(shù)的Iwan模型。Segalman[5]提出了有并聯(lián)-串聯(lián)Jenkins單元的Iwan模型。Song等[6]提出了一種新型Iwan模型，在Segalman模型中添加一線性彈簧，代表了發(fā)生臨界滑移后的殘余剛度。張相盟等[7]計算了Segalman模型的力-位移關(guān)系與能量耗散-位移的解析關(guān)系。但以上模型不能完全描述現(xiàn)有的連接結(jié)構(gòu)實驗現(xiàn)象[8]。Li等[9]提出非均勻的密度函數(shù)，表示發(fā)生滑移后的殘余剛度，表征能量冪次關(guān)系現(xiàn)象。Segalman等[8]在實驗中計算了螺栓連接的能量耗散。劉冰等[10]對螺栓連接結(jié)合面非線性等效模型進(jìn)行了研究并給出算例。李朝峰等[11]對螺栓連接界面參數(shù)辨識進(jìn)行了靜力學(xué)實驗研究。孫志勇等[12]將螺栓結(jié)合面用薄層單元表達(dá),利用遺傳算法在響應(yīng)面模型基礎(chǔ)上實行辨識和優(yōu)化。王東等[13]應(yīng)用Iwan模型對連接結(jié)構(gòu)非線性接觸進(jìn)行動力學(xué)建模和非線性響應(yīng)求解。艾延廷等[14]基于非線性阻尼識別法對螺栓連接進(jìn)行檢測。郭凌云等[15]、張丹丹等[16]研究了往復(fù)加載下螺栓滯回曲線特征。曹曦等[17]研究了提高螺栓連接結(jié)構(gòu)耗能能力的方式。目前基于Iwan模型的非線性接觸建模依賴于參數(shù)辨識方法與參數(shù)辨識的準(zhǔn)確性，必須結(jié)合有效的辨識技術(shù)完成模型構(gòu)建，但目前針對栓連接結(jié)構(gòu)Iwan模型的參數(shù)辨識研究較少。

現(xiàn)應(yīng)用六參數(shù)Iwan模型，對模型力-位移關(guān)系進(jìn)行數(shù)值求解，分別得到六參數(shù)Iwan模型中表示初次加載力-位移關(guān)系方程曲線和卸載-加載遲滯特性曲線。針對無法直接獲取的Iwan模型參數(shù)進(jìn)行參數(shù)辨識研究。利用MTS材料疲勞試驗機進(jìn)行螺栓連接結(jié)構(gòu)拉伸實驗，得到螺栓結(jié)構(gòu)力與位移關(guān)系，并通過擬合獲得模型中的宏觀滑移殘余剛度；利用激振平臺進(jìn)行螺栓振動實驗。計算螺栓連接結(jié)構(gòu)能量耗散，獲取螺栓連接結(jié)構(gòu)Iwan模型參數(shù),最終實現(xiàn)模型的構(gòu)建。

1 螺栓界面非線性接觸建模

1.1 六參數(shù)Iwan模型

圖1為Iwan模型示意圖。Iwan模型[4]由若干個并聯(lián)的Jenkins單元共同組成，Jenkins單元則包含一個彈簧單元和一個滑塊單元。

F代表模型所受外力圖1 Iwan模型Fig.1 Iwan model

Li等[9]在Segalman模型[18]中引入一個狄拉克(Dirac)函數(shù)，描述殘余剛度現(xiàn)象。得到如式(1)所示的分布函數(shù)，表達(dá)式為

(1)

式(1)中：φ為屈服位移；ρ(φ)為屈服力分布概率密度函數(shù)；H(φ)為赫維賽德(Heaviside)函數(shù)；δ(φ)為狄拉克(Dirac)函數(shù)；φ1為微觀滑移起始位置；φ2為宏觀滑移的起始位置；K2為宏觀滑移開始時的接觸剛度；K∞為宏觀滑移階段的殘余接觸剛度；R為屈服力分布參數(shù)；α為冪次關(guān)系參數(shù)。

圖2所示為模型非均勻密度函數(shù)的示意圖，密度函數(shù)中含有6個有效參數(shù)(R、α、φ1、φ2、K2和K∞)，稱為六參數(shù)分布函數(shù)。采用該密度分布函數(shù)的Iwan模型稱為六參數(shù)Iwan模型。

圖2 六參數(shù)Iwan模型非均勻密度函數(shù)Fig.2 Six-parameters Iwan model non-uniform density function

1.2 六參數(shù)Iwan模型力-位移關(guān)系

圖3所示為六參數(shù)Iwan模型首次加載示意圖。初次加載時Iwan模型在開始滑移前相當(dāng)于線性彈簧，在部分單元開始滑移后，導(dǎo)致力-位移關(guān)系非線性，在宏觀滑移階段類似線性彈簧，此時曲線斜率即為殘余接觸剛度K∞。

圖3 六參數(shù)Iwan模型首次加載曲線Fig.3 The first loading curve of the six-parameter Iwan model

在模型卸載過程中，發(fā)生微觀滑移、宏觀滑移的情況下，卸載方程有不同的表達(dá)方式。

1.2.1 發(fā)生微觀滑移

A為第一次加載位移幅值，卸載過程位移x滿足-A≤x≤A。

(1)當(dāng)A-2φ1≤x≤A時，所有單元未發(fā)生屈服，則黏著狀態(tài)微觀滑移卸載方程[19]為

(2)

式(2)中：下標(biāo)u表示卸載；a→b表示黏著階段。

(2)當(dāng)-A≤x

(3)

式(3)中：b→c表示微觀滑移階段。

1.2.2 發(fā)生宏觀滑移

(1)當(dāng)A-2φ1≤x

(4)

式(4)中：a→b表示黏著階段。

(2)當(dāng)A-2φ2≤x

(5)

式(5)中：b→c代表微觀滑移階段。

(3)當(dāng)-A≤x

(6)

式(6)中：c→d代表宏觀滑移階段。

根據(jù)Masing[20-21]假定，再加載階段的力-位移關(guān)系為

Fr(x)=-Fu(-x)

(7)

式(7)中：下標(biāo)r表示處于加載階段。

1.3 Iwan模型栓連界面建模算例

以周期載荷為例進(jìn)行計算，對模型給出算例，假設(shè)Iwan模型右端存在一個小周期振動位移隨時間t變化，設(shè)其位移表達(dá)式為

x=1.5×10-5sin(100πt)

(8)

設(shè)置仿真參數(shù)，繪制在周期載荷作用下的力與位移關(guān)系曲線，結(jié)果如圖4所示，非線性力變化出現(xiàn)畸變，殘余接觸剛度對系統(tǒng)的影響較大。初次加載圖像通過零點，形成閉合滯回曲線，體現(xiàn)了螺栓界面非線性系統(tǒng)的滯回特性。

圖4 六參數(shù)Iwan模型非線性力-位移曲線Fig.4 Six-parameters Iwan model nonlinear force and nonlinear displacement curve

1.4 含非線性連接界面的彈性體建模

以常見的螺栓簡單搭接結(jié)構(gòu)為例，對如圖5所示的結(jié)構(gòu)進(jìn)行研究，并簡化其數(shù)值計算模型。

F為結(jié)構(gòu)在節(jié)點10處所受加載力；F1、M1為節(jié)點5處所受廣義外力；F2、M2為節(jié)點6處所受廣義外力圖5 含非線性連接界面彈性體建模結(jié)構(gòu)Fig.5 Modeling structure of elastomer with nonlinear interface

螺栓結(jié)構(gòu)所受非線性力，來自切向方向上出現(xiàn)的微觀滑移和宏觀尺度的滑動，以及法向上出現(xiàn)的間隙、碰磨和拍擊等現(xiàn)象。為描述螺栓結(jié)構(gòu)在切向與法向的力學(xué)行為，在切向和法向各設(shè)定一個Iwan模型單元，計算兩節(jié)點的廣義外力。

F1=f(Δ1,h1)

(9)

(10)

F2=-f(Δ2,h2)

(11)

(12)

(13)

式(13)中：0為零矩陣;E為單位矩陣；M為總體質(zhì)量矩陣；K為總體剛度矩陣；C為總體阻尼矩陣；F1為激勵力；F2為非線性力。

(14)

式(14)中：fnl為每個非線性單元在系統(tǒng)上施加的非線性力。Δ1、Δ2的表達(dá)式分別為

(15)

(16)

給定幾何參數(shù)與模型參數(shù)，計算系統(tǒng)動力學(xué)響應(yīng)，可以得到各節(jié)點處位移響應(yīng)，圖6為含螺栓連接結(jié)構(gòu)彈性體節(jié)點5和節(jié)點6位移曲線。

圖6 節(jié)點動力學(xué)位移響應(yīng)Fig.6 Node dynamic displacement response

由圖7可知，動力學(xué)位移響應(yīng)存在明顯的顫振現(xiàn)象，含六參數(shù)Iwan模型懸臂梁振動能量集中于前兩階固有頻率，相比四參數(shù)Iwan模型，六參數(shù)Iwan模型響應(yīng)頻譜各組分更清晰，有限元動力學(xué)響應(yīng)更快。

圖7 四參數(shù)與六參數(shù)Iwan模型懸臂梁頻譜圖Fig.7 Spectrum diagram of cantilever beam of four parameter and six parameter iwan model

2 螺栓界面非線性接觸模型參數(shù)辨識與能量耗散

2.1 螺栓界面非線性接觸模型參數(shù)辨識

宏觀滑移臨界加載力Fs表達(dá)式為

(17)

在周期載荷作用下，對模型力-位移上的滯回曲線積分即為能量耗散，可以獲得能量耗散與加載力幅值的關(guān)系式為

(19)

通過對連接結(jié)構(gòu)進(jìn)行拉伸實驗與振動實驗，可獲得不同加載幅值Fi下的不同能量耗散值Di。將微觀、宏觀滑移階段的Fi和Di代入式(18)與式(19)，獲得方程組為

Fi=F(Di)

(20)

通過螺栓結(jié)構(gòu)拉伸實驗獲得的力與位移關(guān)系識別φ2和K∞兩個參數(shù)。通過測量栓連結(jié)構(gòu)振動實驗的能量耗散值，求解方程組[式(20)]即可識別R、α和K2這3個參數(shù)。當(dāng)螺栓結(jié)構(gòu)受外力作用時，結(jié)構(gòu)就會產(chǎn)生滑移現(xiàn)象，所以將起始點φ1視為0。

2.2 栓連非線性接觸模型能量耗散

螺栓連接結(jié)構(gòu)在受外載情況下其位移量較小，實驗設(shè)備所引起的噪聲與誤差會嚴(yán)重影響能量耗散的定量測量。

圖8所示為單自由度系統(tǒng)示意圖。利用該單自由度系統(tǒng)測量其能量耗散值。給出單自由度振動系統(tǒng)能量耗散的表達(dá)式為

R為非線性阻尼和剛度；c為阻尼；k為彈簧；m為質(zhì)量；f為輸入激勵圖8 單自由度系統(tǒng)示意圖Fig.8 Single degree of freedom system

(21)

3 螺栓連接界面拉伸與振動實驗

3.1 螺栓結(jié)構(gòu)拉伸實驗

實驗采用MTS雙軸材料試驗機，實驗螺栓結(jié)構(gòu)接觸表面粗糙度為1.6，預(yù)緊力矩為10 N·m，螺栓類型采用含六角頭螺栓的單螺栓試件。通過對螺栓連接結(jié)構(gòu)施加單調(diào)拉伸載荷，可以獲得實驗結(jié)構(gòu)力-位移關(guān)系。

對3種型號M8X45、M10X40、M12X45螺栓連接結(jié)構(gòu)施加拉伸載荷，得到如圖9所示的螺栓連接結(jié)構(gòu)拉伸載荷下力-位移曲線。實驗控制加載速率為1 mm/min。經(jīng)過最小二乘法處理得到近似曲線后，近似曲線在宏觀滑移階段的斜率表示殘余剛度K∞。宏觀滑移起始點的橫坐標(biāo)表示宏觀滑移起始點φ2，縱坐標(biāo)表示宏觀滑移初始時刻的加載力Fs。通過參數(shù)辨識算法辨識可以得到如表1所示的辨識參數(shù)。

表1 單調(diào)拉伸加載實驗參數(shù)辨識表Table 1 Parameter identification table of monotonic tensile loading experiment

圖9 螺栓連接結(jié)構(gòu)單調(diào)拉伸加載下力-位移曲線Fig.9 Force-displacement curve of bolted structure under monotonic tensile loading

實驗結(jié)果表明連接結(jié)構(gòu)螺栓直徑越大，宏觀滑移殘余剛度越大。其誤差來源主要為，準(zhǔn)靜態(tài)實驗由于對連接件拉伸，其中位移可能包含連接件的彈塑性變形，需要考慮使用位移計測量。

3.2 BMD振動實驗

測量栓連結(jié)構(gòu)在振動載荷作用下的動態(tài)響應(yīng)，利用品質(zhì)因子法測量能量耗散。實驗裝置如圖10所示。螺栓結(jié)構(gòu)材料為6061鋁合金，上層板尺寸為100 mm×100 mm，底座60 mm×80 mm，板厚為12 mm，分別由M8X45、M10X40、M12X45螺栓螺母連接。搭建的實驗檢測系統(tǒng)由計算機、振動控制儀、功率放大器、振動臺、加速度傳感器、被測試件組成。

圖10 BMD振動實驗裝置Fig.10 BMD vibration experimental device

首先對實驗裝置進(jìn)行掃頻，范圍為100～2 000 Hz，采樣頻率為3 000 Hz。通過掃頻實驗先確定一階共振頻率，之后在共振頻率附近掃頻，獲得振動臺與振子加速度幅值。實驗采用型號為M362C65的PCB單軸加速度傳感器，靈敏度為96.8 mV/(m·s2)。控制振動臺不同振幅，測量螺栓連接結(jié)構(gòu)上下兩側(cè)板加速度幅值和共振頻率。

通過連接結(jié)構(gòu)實驗，利用品質(zhì)因子法可確定、K2、α和R。最終獲得如表2所示的Iwan模型全部參數(shù)。通過對表2中的Iwan模型參數(shù)進(jìn)行數(shù)值求解，可以得到圖11所示的螺栓連接結(jié)構(gòu)Iwan模型非線性力-位移曲線。在實際工況中，不同的預(yù)緊力、螺栓尺寸、墊片等變量都會對傳遞關(guān)系產(chǎn)生影響，最終對栓連結(jié)構(gòu)Iwan模型的具體參數(shù)產(chǎn)生影響。不同的螺栓結(jié)構(gòu)均有力學(xué)特性的差異，體現(xiàn)在宏觀滑移起始點φ2、宏觀滑移初始時刻加載力Fs、宏觀滑移階段剛度K∞這3個參數(shù)上。實驗結(jié)果表明隨著栓連結(jié)構(gòu)直徑的增加，宏觀滑移殘余剛度K∞隨之增大。

表2 Iwan模型參數(shù)表Table 2 Iwan model parameter table

圖11 基于Iwan模型的栓連結(jié)構(gòu)非線性力-位移曲線Fig.11 Nonlinear force-displacement curve of bolted structure based on Iwan model

螺栓直徑增加導(dǎo)致宏觀滑移殘余剛度增加，滯回曲線形態(tài)發(fā)生改變，其包圍的面積變小，即模型能量耗散隨直徑的增加而減小。

將螺栓連接結(jié)構(gòu)參數(shù)辨識所得非線性力-位移關(guān)系與單調(diào)拉伸加載實驗所測數(shù)據(jù)對比如表3所示，其相對誤差較小，該方法實現(xiàn)對螺栓連接結(jié)構(gòu)的參數(shù)辨識，適合描述微觀、宏觀滑移階段螺栓連接結(jié)構(gòu)非線性力學(xué)特性。其誤差來源主要為，實驗條件下，由于振動臺傳感器特性、噪聲干擾等因素，導(dǎo)致實驗結(jié)果不夠穩(wěn)定；另外，激發(fā)振動的參數(shù)也會影響實驗的穩(wěn)定性。

表3 參數(shù)辨識非線性力誤差Table 3 Parameter identification nonlinear force error

通過螺栓連接界面靜、動力學(xué)實驗最終獲得螺栓結(jié)構(gòu)六參數(shù)Iwan模型的所有參數(shù)，其力學(xué)特性非線性的力-位移曲線體現(xiàn)了栓連結(jié)構(gòu)的能量耗散特征。

4 結(jié)論

以基于Iwan模型的栓連結(jié)構(gòu)動力學(xué)建模與參數(shù)辨識實驗為主要研究內(nèi)容，對螺栓連接結(jié)構(gòu)動力學(xué)分析方法進(jìn)行研究。針對螺栓接觸界面的動力學(xué)特性進(jìn)行理論研究。對于螺栓界面非線性響應(yīng)現(xiàn)象復(fù)雜的問題，建立本構(gòu)模型，數(shù)值求解非線性位移與非線性力關(guān)系曲線。進(jìn)行栓連結(jié)構(gòu)的實驗研究，通過萬能試驗機進(jìn)行栓連結(jié)構(gòu)拉伸實驗，獲得結(jié)構(gòu)的非線性力與位移關(guān)系曲線。實驗結(jié)果表明，隨著栓連結(jié)構(gòu)直徑的增加，其宏觀滑移殘余剛度隨之增加。利用激振平臺進(jìn)行栓連結(jié)構(gòu)振動實驗，利用品質(zhì)因子法計算能量耗散。通過以上方法實現(xiàn)了參數(shù)辨識，確定了所構(gòu)建模型，該模型可以用于對栓連結(jié)構(gòu)能量耗散現(xiàn)象的表征。