基于正三角形模型的發射藥燃氣生成規律

張瑞華， 靳建偉， 張鄒鄒， 趙宏立， 王瓊林

(西安近代化學研究所， 西安 710065)

目前，國內外對發射裝藥引起的膛炸機理已逐步形成共識，即“發射裝藥低溫—擠壓—破碎—增面—增燃—增壓—膛炸”，發射裝藥膛內擠壓破碎是藥粒的低溫脆性和彈底發射裝藥著火前受到擠壓和摩擦作用的共同結果[1-2]，而發射藥在發生破碎后引起增面、增燃的燃氣生成規律計算方法是模擬火炮膛炸亟待解決的難題，這是實現膛炸模擬的關鍵環節。

正常發射藥的燃氣生成規律是由幾何燃燒定律推導出的形狀函數來描述的[3-4]，但是在膛內隨機發生破碎后的發射藥顆粒大小不同、形狀各異，傳統的形狀函數計算方法已不再適用。大量學者通過試驗或仿真對發生破碎后的發射藥燃氣生成規律進行了研究。Horst等[2]考慮發射裝藥的破碎對膛內壓力異常的影響時，將彈底6%的發射裝藥燃面人為增加為未破裂前的2～5倍，僅在燃速系數上乘以系數，發射裝藥的形狀不改變，應用此方法模擬了M110E2榴彈炮M188E1裝藥結構下炮尾膛炸的現象。Gazanas等[5-6]用落錘和高速液壓伺服裝置研究了M30、JA2發射裝藥的壓縮和撞擊力學性能，用小型密閉爆發器測量破碎藥粒的燃燒規律，得到了破碎藥粒的燃面是未破碎藥粒的6倍的結論。翁春生等[7-8]在數值仿真過程中通過增加燃氣生成速率達到增加燃面的效果。張小兵等[9]認為火藥破碎后按比例破裂成大塊、小塊和粉末狀3種類型，通過試驗獲得不同的顆粒間應力下3種碎藥的質量分數。芮筱亭等[1]、Rui等[10]、Li等[11]、陳琪等[12]通過理論與試驗獲得了起始動態活度比定量表征發射裝藥破碎程度的方法，并建立了破碎發射藥等效形狀函數，用于計算破碎發射藥的燃氣生成規律，該方法需要通過試驗獲取參數。Jiang等[13]建立了基于離散單元法的發射裝藥擠壓破碎程序，通過統計彈簧斷裂個數來計算破碎發射裝藥初始燃面。以上研究是通過數據統計或者人為設定的方法預測發射藥發生破碎后的燃氣生成規律。

目前，離散單元法已經較為成熟的應用于發射裝藥由于擠壓、摩擦作用導致的大規模破碎仿真研究[13-14]中，且獲得實驗驗證，但是缺乏基于離散單元法發生破碎后發射藥的燃燒規律計算方法研究。

現以廣泛應用的花邊19孔發射藥為研究對象，建立考慮花邊和內孔的發射藥離散單元力學模型，構建正三角形燃燒模型和燃燒函數，并運用燃燒函數和傳統形狀函數對正常和破碎程度相同的發射藥進行密閉爆發器燃燒規律數值仿真，驗證燃燒函數模擬發射藥發生破碎后增面、增燃的準確性。將該計算方法應用于基于離散單元法仿真獲得的彈底破碎發射裝藥中，以期為模擬由發射裝藥破碎引起的火炮內彈道增壓、膛炸現象提供技術支撐。

1 發射藥離散單元力學模型

如圖1所示，花邊19孔發射藥在縱向呈柱狀，簡化建立二維離散單元力學模型。依據真實發射藥形狀和尺寸，考慮花邊和19個內孔，運用EDEM軟件和顆粒替換方法[14-15]，建立如圖2所示的二維花邊19孔發射藥離散單元力學模型。離散小球顆粒半徑r為0.067 mm，離散單元數為8 460，任意相鄰的小球單元之間由黏結鍵連接，發射藥的損傷、破壞通過黏結鍵的斷裂來體現，且小球單元是發生破碎的最小單位。

圖1 花邊19孔發射藥Fig.1 The lace 19-hole propellant

圖2 花邊19孔發射藥離散單元力學模型Fig.2 Discrete element mechanical model of the lace 19-hole propellant

2 發射藥燃氣生成規律仿真理論

2.1 密閉爆發器燃燒經典理論

密閉爆發器定容情況下的火藥氣體狀態方程如式(1)所示[1,3]，火藥已燃百分比ψ計算公式如式(2)所示，火藥燃速公式如式(3)所示。通過仿真獲得p-t曲線，即為發射藥燃氣生成規律。針對發生破碎的發射藥，其難點在于計算已燃百分比ψ。

(1)

(2)

(3)

2.2 建立基于正三角形模型的燃燒函數

2.2.1 燃燒函數建模思路

建立發射藥燃燒函數的基本思想如圖3所示。為了清晰地表示建模過程，選取圖2中紅框內的局部力學模型進行詳細說明，局部發射藥燃燒模型建模過程如圖4所示。具體步驟如下。

圖3 燃燒函數建模思路圖Fig.3 Thought diagram of combustion function modeling

圖4 局部發射藥燃燒模型建模過程Fig.4 Modeling process of combustion model of the local propellant

步驟1依據建立的發射藥離散單元力學模型，預設小球顆粒離散單元代表一個正六棱柱塊體，由于在縱向呈柱狀，簡化建立平面正六邊形幾何模型。

步驟2平面正六邊形幾何模型由6個正三角形組成，建立正三角形燃燒模型，推導燃燒函數。

步驟3所有正六棱柱塊體都沿著與空氣接觸的燃燒面的平形層逐層燃燒，統計小球顆粒離散單元之間黏結鍵斷裂情況，依據建立的燃燒函數計算出整個藥床的燃燒剩余體積，再計算發射藥已燃百分比ψ，從而計算獲得密閉爆發器定容情況下的發射藥氣體壓力。

2.2.2 建立燃燒函數

建立燃燒函數的基本假設如下。

(1) 所有的藥粒具有均一的理化性質。

(2) 塊體與空氣接觸的表面都同時著火。

(3) 所有藥粒具有相同的燃燒環境，因此燃燒面各個方向上燃燒速度相同。

根據小球顆粒離散單元之間黏結鍵斷裂情況，正三角形的燃燒函數分為7種，如表1所示。

表1 7種正三角形燃燒模型和燃燒函數Table 1 Seven equilateral triangle combustion models and combustion functions

根據建立的7種平面燃燒函數，某一種燃燒函數表達式為Si(e) (i=1,2,…,7)；根據小球顆粒之間黏結鍵連接情況，正三角形燃燒模型燃燒層數為k，某一層燃燒模型對應的燃燒函數統計數量為Ni,j(i=1,2,…,7；j=1,2,…,k)；正六棱柱塊體縱向黏結鍵連接情況可分為3類：縱向無黏結鍵連接、縱向連接1個黏結鍵和縱向連接2個黏結鍵，對應統計數量分別為n0,i,j、n1,i,j、n2,i,j，滿足Ni,j=n0,i,j+n1,i,j+n2,i,j；正六棱柱塊體的初始高度均為l，則可計算整個藥床的燃燒剩余體積Vall；計算公式如式(4)所示；從而計算發射藥發生破碎的已燃百分比ψ，如式(5)所示，將其代入式(1)中用于發射藥氣體壓力仿真研究。

n2,i,jl]， 0

(4)

(5)

2.3 形狀函數

為了驗證新建立燃燒函數的合理性和準確性，通過傳統的形狀函數[3]進行驗證，形狀函數如式(6)所示，將其代入式(1)、式(3)中用于發射藥氣體壓力仿真，并與燃燒函數仿真結果進行對比分析。

(6)

式(6)中：χ、λ、μ、χs、λs為發射藥形狀特征量；Z為發射藥相對燃燒厚度；Zk為燃燒結束時的相對燃燒厚度。

2.4 起始動態活度比理論

為了進一步驗證新建立燃燒函數的實用性，引入發射藥動態活度比R和起始動態活度比R0概念[1]。定義密閉爆發器中燃燒的發射藥的動態活度L為

(7)

式(7)中：p(t)為氣體壓力，Pa；pm為發射藥在密閉爆發器內產生的最大壓力，Pa；dp(t)/dt為壓力變化率，Pa/s。

動態活度比R為相等壓力下破碎發射藥與原未破碎發射藥動態活度之比。已理論證明破碎發射藥的動態活度比等于相同壓力下破碎發射藥與原未破碎發射藥的面積比S/S0[1]，發射藥起始動態活度比R0為發射藥被點燃時刻的發射藥動態活度比。計算公式為

(8)

式(8)中：L′為破碎發射藥動態活度，(Pa·s)-1；L0為原未破碎發射藥動態活度，(Pa·s)-1。研究中選取L′為形狀函數計算獲得的發射藥動態活度，L0為燃燒函數計算獲得的發射藥動態活度。

由式(7)可以看出，由密閉爆發器仿真獲得壓力時間曲線后，即可求得其動態活度和起始動態活度比，用來驗證新建立的燃燒函數計算發生破碎發射藥增加燃燒面積的準確性。

3 發生破碎的發射藥燃氣生成規律仿真及驗證

3.1 發生破碎的發射藥離散單元力學模型

由于建立的燃燒函數是二維的，為了檢驗平面燃燒函數統計判斷是否正確、驗證燃燒規律計算是否有效，通過預設發射藥破碎形式進行研究，而在實際研究過程中為擠壓仿真獲得的隨機破碎發射藥。預設如圖5所示發生破碎的發射藥模型，呈中心十字形裂成4塊，建立了如圖5(a)所示的單層發射藥離散單元力學模型；建立的局部[圖5(a)紅框內力學模型]正六邊形幾何模型和正三角形燃燒模型分別如圖5(b)、圖5(c)所示；正常和發生破碎的發射藥在縱向高度l均為17 mm，縱向黏結鍵連接情況只存在一種情況：縱向無黏結鍵連接，即n0,i,j=Ni,j、n1,i,j=0、n2,i,j=0。

圖5 發生破碎的發射藥燃燒模型建立過程Fig.5 Establishment process of combustion model of propellant after fracture

3.2 燃燒函數統計結果

建立的正常和發生破碎的發射藥離散單元力學模型中離散單元數量均為8 460，則正三角形燃燒模型數量為8 460×6=50 760。表2、表3所示為對正常和發生破碎的發射藥的燃燒函數統計結果，發射藥的燃燒層數k為16層，由第1層到第16層逐層燃燒，Ni(i=1,2,…,7)表示某層燃燒的正三角形燃燒模型數量對應的燃燒函數統計結果，第1層中未燃燒和已燃燒的共計數量為50 760，為初始正三角形燃燒模型數量；從第2層起共計數量均為上一層未燃燒數量，表明燃燒函數統計結果正確；對比表2和表3，在相同燃燒層數下，表3中的未燃燒數量統計結果均小于表2，表明燃燒層數相同時，發生破碎的發射藥已燃百分比大于未破碎發射藥。

表2 正常發射藥燃燒函數統計結果Table 2 Statistical results of the combustion function of normal propellant

表3 發生破碎的發射藥燃燒函數統計結果Table 3 Statistical results of the combustion function of propellant after fracture

圖6所示為圖5(c)中局部正三角形燃燒模型的燃燒層數判斷模型(前5層)，每層顏色代表某層正三角形燃燒模型，畫圖時5種顏色(黑色、藍色、紅色、綠色、黃色)依次循環，空白部分表示發射藥未燃燒部分，可以看出發射藥沿著與空氣接觸的面逐層向內燃燒，通過圖6(e)中內孔細節可以看出燃燒模型判斷正確。正常和發生破碎的發射藥燃燒層數判斷模型如圖7所示，可以看出燃燒層數為16層，分別對應表2、表3中的燃燒函數統計結果，充分說明燃燒模型統計結果判斷正確。將表2、表3的統計結果代入式(4)即可計算發射藥的燃燒剩余體積Vall，然后通過式(5)、式(1)、式(3)計算密閉爆發器燃氣壓力。通過燃燒函數和形狀函數分別進行正常和發生破碎的發射藥密閉爆發器仿真研究。

圖6 發生破碎的發射藥燃燒層數示意圖(前5層)Fig.6 Schematic diagram of the number of combustion layers of propellant after fracture (the first five layers)

圖7 發射藥燃燒層數示意圖Fig.7 Schematic diagram of the number of combustion layers of propellant

3.3 燃燒函數驗證

運用燃燒函數和形狀函數進行密閉爆發器燃氣壓力仿真初始參數均相同，仿真裝填密度均為0.2 g/mL。對于正常發射藥，密閉爆發器壓力時間對比曲線如圖8(a)所示，曲線吻合較好；依據式(7)處理得到圖8(b)所示動態活度曲線，進一步依據式(8)處理得到燃燒函數與形狀函數在仿真過程的動態活度比曲線，如圖8(c)所示，可以看出燃燒表面積之比在1.0左右，表明燃燒函數可以描述正常發射藥的燃燒面積和燃氣生成規律。

圖8 正常發射藥燃燒規律仿真結果Fig.8 Simulation results of combustion laws of normal propellant

當運用燃燒函數，圖5(a)中發生破碎的發射藥燃燒初始表面積是正常發射藥的1.567倍，即起始動態活度比為1.567；當運用形狀函數，令發射藥的破碎方式為取0.219倍原發射藥高度，起始動態活度比為1.567，達到兩種仿真方法用的破碎發射藥初始表面積相同的目的。分別運用燃燒函數和形狀函數計算發生破碎發射藥的燃氣生成規律，仿真結果如圖9所示，發現在相同起始動態活度比下壓力時間曲線吻合較好，且燃燒函數與形狀函數在仿真過程的燃燒表面積之比值也在1.0左右，同樣表明燃燒函數可以描述基于離散單元法仿真發射藥發生破碎引起的燃氣生成規律變化。以上結果驗證了建立的燃燒函數的有效性和合理性，且具有較高可實施性。

圖9 發生破碎的發射藥燃燒規律仿真結果Fig.9 Simulation results of combustion laws of propellant after fracture

4 結 論

(1) 首次通過預設離散單元模型代表正六棱柱幾何模型，進一步簡化為正三角形燃燒模型，推導和建立了7種燃燒函數，具有建模方法簡單易懂、燃燒函數類型少、適用性強等優點。

(2) 運用傳統的形狀函數和新建立的燃燒函數對正常和破碎程度相同的發射藥進行密閉爆發器仿真，結果表明新建立的燃燒函數不僅能模擬正常發射藥的燃氣生成規律，同時能夠精確計算基于離散單元法仿真獲得的發射藥破碎引起的燃燒規律變化。

(3) 研究結果為科研人員提供了一種基于離散單元法的發射藥發生隨機破碎的燃氣生成規律計算新方法和新思路；為進一步進行伴隨發射裝藥擠壓破碎的內彈道兩相流仿真從而預測膛炸現象的研究提供了技術支撐。