四足機器人單腿系統及其跳躍柔順控制的研究

陶紅武，譚躍剛，陳建文

（武漢理工大學機電工程學院，湖北 武漢 430070）

1 引言

隨著仿生四足機器人[1]技術的發展，近年來四足機器人的研究熱點逐漸從低速靜步態運動轉向高速動步態運動如跳躍運動步態。跳躍運動是一種高動態性、高靈活性的運動，在足端著地時具有大沖擊力的特點[2]。采用剛性的結構形式和常用的位置控制方法往往運動效果不大理想[3]。

國內外專家學者提出了許多新穎的結構形式和控制方法。在結構上的解決方案主要是通過在單腿上加裝被動元件，如彈簧，阻尼等，使腿部在運動中被動地實現一定的柔順效果，如文獻[4]基于貓的腿部結構設計足式機器人，但這種方法只能應用在單一的結構化環境中，不具有地形適應性。目前較好的解決方案是在單腿系統的控制方法上采用柔順控制方法，如虛擬模型控制，阻抗控制[5]等方法。文獻[6-7]采用虛擬模型的方法對著地過程進行主動柔順控制，文獻[8]在阻抗控制的基礎上采用虛擬分解的柔順控制方法，文獻[9]通過有效改變剛度系數和阻尼系數的方法實現柔順效果。

為了使單腿系統具有良好的跳躍表現，解決機器人運動時存在的沖擊力問題，設計了一種基于力的阻抗控制的柔順控制方法。通過控制的手段，使單腿足端與環境交互時具有一定的阻抗特性，這種阻抗特性表現為足端位置與足端力的映射關系，通過調整這種映射關系，減少足端著地沖擊，避免沖擊造成的不良影響，使單腿的跳躍運動更加柔順。

2 運動學模型

2.1 單腿運動學分析

單腿結構主要包括四個部分：腿部連桿部分、驅動部分、傳動部分和傳感器部分。采用平行四邊形機構將髖關節和膝關節的電機置于機身，其三維結構模型和結構簡圖，如圖1所示。

圖1 單腿結構簡圖Fig.1 Schematic Diagram of a Single Leg Structure

圖中：θ1、θ2—電機轉動的角位移，腿部連桿用連桿l1，連桿l2，連桿l3連桿l4連桿l5表示。

為了便于分析，利用平行四邊形機構的運動特點，對平行四邊形的次要平行桿進行簡化去除，留下l1和l2兩個主要連桿。與此同時，在機身、l1、l2和足端上分別固定坐標系｛0｝，坐標系｛1｝，坐標系｛2｝和坐標系｛3｝，連桿結構簡圖，如圖2所示。

圖中：φ1、φ2—關節角度。θ1，θ2，φ1，φ2間的關系，如式（1）所示。

根據如圖2建立的坐標系，進行運動學計算，得到末端坐標系｛3｝在基坐標系｛0｝的坐標表達，由此得到單腿系統的正運動學方程，如式（2）所示。

根據式（1）中θ1，θ2，φ1，φ2間的關系，將正運動學方程寫成與θ1，θ2有關的形式：

通過對正運動學方程兩邊求導，可得單腿的速度雅可比矩陣J為：

單腿足端所受廣義力與關節上廣義力之間的映射關系即力雅克比矩陣JT，其在形式上為速度雅可比矩陣的轉置。

2.2 跳躍運動分析與質心軌跡規劃

單腿系統在進行跳躍運動時，根據其足端是否與地面接觸分為著地相和騰空相，足端與地面接觸的狀態稱為著地相，反之稱為騰空相[10]。在單腿的著地相中，根據單腿運動方向可分為緩沖階段和起跳階段，相應地，單腿的騰空相可分為上升階段和下落階段。

在單腿跳躍過程中，足端與髖關節的距離一直在周期性的增大和減小，整體質量主要集中在機身處。為了便于研究單腿的跳躍運動，將單腿系統簡化為“質量-彈簧-阻尼”系統，如圖3所示。通過合理簡化分析，可以進一步揭示單腿的跳躍機理。

圖3 “質量-彈簧-阻尼”系統Fig.3 “Mass-Spring-Damping”System

假設單腿系統豎直周期跳躍高度為H，腿著地時腿長為L，腿部虛擬剛度為k，虛擬阻尼為c，整個單腿系統質量為m。設單腿僅在豎直方向上進行跳躍運動，在水平方向上位置保持不變。對跳躍的各階段建立數學模型。

著地相緩沖階段時，足端受重力，虛擬阻尼力和虛擬彈力，其動力學方程可以描述為：

著地相起跳階段時，足端受重力，虛擬阻尼力，虛擬彈力和驅動元件提供的起跳力Fj，其動力學方程可以描述為：

在騰空相上的升階段和下降階段時，系統受重力作用，為保證跳起高度，離地點的初始速度與著地點初始速度大小相同，方向相反。此時單腿的運動符合自由落體運動規律。

為了對單腿系統的質心進行規劃，首先應確定系統的虛擬剛度和虛擬阻尼。設單腿系統在著地緩沖時緩沖距離為S，在著地最低點時，虛擬阻尼消耗掉所有下落沖擊能量，單腿系統速度為零，虛擬彈力等于單腿系統重力，此時系統虛擬剛度k應為：

為使單腿系統下落緩沖平和無振蕩，系統應處于臨界阻尼狀態或過阻尼狀態，此時系統的虛擬阻尼應滿足：

根據四足機器人單腿系統實物樣機的質量參數m和腿長參數L，給定規劃的單腿跳躍高度H和緩沖距離S，如表1所示。根據式（9）和式（10）計算虛擬剛度k和虛擬阻尼c。

表1 跳躍運動規劃參數表Tab.1 The Table of Skip Motion Planning Parameter

由于該微分方程的解析解形式較為復雜，為了便于將規劃應用于跳躍控制中，對著地相質心軌跡進行多項式擬合，擬合后的質心軌跡方程為：

3 單腿系統的柔順性控制

為了解決機器人運動時存在的沖擊力的問題，可以對機器人進行柔順控制。阻抗控制的思想在于通過對機器人的力或位置進行協調控制，從而使機器人在與環境交互時表現出相應的阻抗特性。

3.1 阻抗控制的力控制內環

單腿系統中采用直流無刷電機作為機器人的驅動元件，根據直流無刷電機的轉矩方程，控制電機的電樞電流即可控制電機的電磁轉矩。由于電機的阻尼和傳動系統的摩擦及外界環境干擾等因素的影響，傳遞到髖關節和膝關節的關節力矩往往會有一定的損耗。為了對單腿系統的關節力矩進行精確控制，采用了關節力矩傳感器用于檢測關節的輸入力矩，通過力矩反饋計算力矩誤差，并將力矩誤差換算為參考電流誤差，再經過電流PI控制器，即可實現關節輸入力矩的精確控制。

3.2 基于力的阻抗控制

根據機器人動力學的一般形式，當機器人末端受外力時有：

式中：τ—機器人的輸入驅動力矩；M(q)—機器人質量矩陣；V—離心力和科式力部分；G(q)—重力部分；Fe—機器人末端力；JT-機器人力雅可比矩陣。

基于力的阻抗控制中，以力閉環為內環，阻抗控制環為外環來設計阻抗控制系統，此時阻抗控制器應根據足端的位置誤差來計算阻抗力。阻抗力與位置間的關系可以用慣性，阻尼，剛度三個要素來定義，通過慣性，阻尼和剛度三個參數，來設計阻抗控制模型。

設計單腿跳躍運動時足端的阻抗控制率為：

由式（16）可知，足端力與關節輸入力矩和系統動力學力矩有關。為了實現期望的阻抗特性，還需要對機器人的輸入力矩進行逆動力學補償，設補償力矩為：

當逆動力學模型參數沒有誤差時，有：

將式（20）與式（13）對比可知，此時的足端接觸力可以跟隨足端阻抗力，可以實現零誤差足端阻抗跟蹤。足端阻抗可以表示為：

根據以上分析，可以給出基于力的阻抗控制系統方框圖，如圖4所示。

圖4 基于力的阻抗控制系統方框圖Fig.4 Block Diagram of Impedance Control System Based on Force

基于力的阻抗控制模型可以通過對關節輸出力矩的控制實現足端接觸力對阻抗力的跟蹤，使足端表現出阻抗特性。以力矩控制環作為內環可以提高整個控制系統的響應速度，理論上具有很好的控制效果。

3.3 Adams-Simulink聯合仿真分析

為了驗證單腿控制系統的控制性能，采用Adams和Matlab/Simulink聯合仿真的方法，結合前文中跳躍運動的分析和規劃，以基于力的阻抗控制對單腿系統的跳躍過程進行柔順控制，分析仿真過程中足端著地力，足端位置和足端離地高度。

設置Adams模型，單腿系統模型足端與地面的距離為0.05m，設置Adams模型重力，使單腿系統整體可在重力作用下下落。采用Adams中的Impact接觸模型在足端與地面之間設置接觸約束，接觸約束中地面剛度系數為3.0×105，阻尼系數為1000N，仿真步長為0.005s。為防止仿真中單腿系統下落過程中發生傾倒，對單腿機身的旋轉自由度進行約束，使其只能在上下和前后方向運動，如圖5所示。

圖5 單腿系統Adams模型Fig.5 Adams Model of Single Leg System

根據圖4中基于力的阻抗控制框圖，在Simulink中建立控制模型。在Simulink控制模型中，取阻抗控制參數M=0.1，B=25，K=1000，對單腿系統的跳躍運動進行柔順控制。仿真結果，如圖6所示。

圖6 基于力的阻抗控制下單腿跳躍運動仿真結果Fig.6 Simulation Results of Single Leg Jumping Motion under Force-Based Impedance Control

根據仿真結果可知，采用基于力的阻抗控制方法進行仿真時，單腿系統可以實現周期性跳躍運動。

從足端接觸力的角度來看，在三次跳躍過程中，單腿足端接觸力變化平緩，著地接觸力峰值不超過75N，起跳接觸力不超過70N，在最后一次著地時，單腿系統自由下落，著地力比前三次大，為80N，由此可見有阻抗控制下落與無阻抗自由下落相比，有效減少足端接觸力的大小。運動停止時，著地力穩定在33.7N。

從足端位置的角度來看，在著地相時單腿足端位置具有明顯的收縮緩沖現象，其足端運動軌跡與規劃運動軌跡有一定的誤差，最大誤差為0.03m。在騰空相時，對足端位置誤差進行了修正，使足端位置保持在y=-0.35處。

從跳躍高度的角度來看，每次單腿系統起跳，在騰空相最高點時足端離地高度均為0.05m，單腿的跳躍具有較好的連續性和重復性。

4 單腿系統的實驗研究

對四足機器人單腿系統進行跳躍運動實驗，通過實驗的方法，驗證四足機器人單腿系統的柔順運動性能。

以單腿系統足端離地0.05m為實驗初始位置，足端相對于機身坐標系的坐標為y=-0.35。實驗過程中單腿系統僅在豎直方向跳躍，水平方向位置保持不變，其足端軌跡規劃與前文豎直跳躍仿真中軌跡規劃一致。基于力的阻抗控制器參數與仿真環境相同，取M=0.1，B=25，K=1000，控制周期為0.025s；足端力傳感器和關節力矩傳感器采樣頻率均為100Hz。

對單腿系統進行豎直跳躍運動實驗，并利用足端力傳感器和關節力矩傳感器采集記錄運動過程中的受力情況，利用電機編碼器記錄電機運動位置并將其換算為足端位置，單腿系統豎直跳躍運動實驗過程，如圖7所示。實驗結果，如圖8所示。

圖7 單腿系統豎直跳躍運動實驗過程Fig7 Experimental Process of Vertical Jump in Single Leg System

圖8 四足機器人單腿系統豎直跳躍實驗Fig.8 Vertical Jumping Experiment of Quadruped Robot Single Leg System

從足端接觸力的角度看，采用基于力的阻抗控制時，單腿系統豎直跳躍運動中足端著地力變化較緩和，無明顯沖擊，具有較好的柔順性。在單個跳躍運動周期中，著地接觸瞬間最大沖擊力約為54N，隨后在阻抗控制的柔順作用下接觸力逐漸減小，至起跳階段時腿部蹬地發力，接觸力增大，使單腿系統起跳，起跳時足端離地接觸力為零。三個跳躍周期之后，單腿系統自由下落，下落著地力峰值為55N，隨后逐漸穩定，穩定時接觸力為32N，即單腿系統的重力。

從足端位置的角度看，采用基于力的阻抗控制時，運動過程中足端的實際位置與規劃的足端位置有一定的誤差，特別是在著地相時誤差非常明顯，這種足端位置誤差與系統的機械結構精度和阻抗控制的位置犧牲作用有關，但這種誤差對跳躍運動的影響不大，單腿足端的運動狀態與規劃的運動狀態相符，且跳躍運動周期也具有一致性。跳躍運動結束之后，單腿足端在機身坐標系下的坐標為y=-0.335，這也是因為阻抗控制是犧牲位置精度來實現力的柔順的。

5 結論

在四足機器人單腿系統的豎直跳躍仿真和實驗中，單腿系統成功完成了三個周期的豎直跳躍運動，得出以下結論。（1）采用基于力的阻抗控制方法，跳躍過程中有效減少足端接觸力的大小，著地沖擊力較小，具有明顯的沖擊力柔順效果。（2）表明單腿系統的設計，跳躍控制策略是合理的。