五自由度鍍膜機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析與仿真

趙修琪，盧繼霞，陳相如，薛嘉樂(lè)

（中國(guó)礦業(yè)大學(xué)（北京）機(jī)電與信息工程學(xué)院，北京 100083）

1 引言

近幾年機(jī)械臂在很多生產(chǎn)領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用，是由于它不僅使用方便、動(dòng)作靈活迅速、而且能適于各種工作環(huán)境，減少勞動(dòng)力、提高生產(chǎn)效率[1]。當(dāng)今的工業(yè)生產(chǎn)領(lǐng)域中有很多類型的工業(yè)機(jī)械臂，如自動(dòng)噴涂機(jī)械臂、自動(dòng)涂裝機(jī)械臂、自動(dòng)上下料機(jī)械臂等，在鍍膜領(lǐng)域除了自動(dòng)鍍膜機(jī)外，目前國(guó)內(nèi)外公開發(fā)表的資料中暫時(shí)沒(méi)有機(jī)械臂應(yīng)用在鍍膜領(lǐng)域，但是自動(dòng)鍍膜機(jī)體積大、價(jià)格昂貴。

這里設(shè)計(jì)的五自由度自動(dòng)鍍膜機(jī)械臂的主要工作是對(duì)DW1介質(zhì)恒壓堵塞型油液污染度自動(dòng)檢測(cè)儀[2]所需要的微孔濾膜進(jìn)行鍍覆。濾膜鍍覆的標(biāo)準(zhǔn)工藝流程是基于課題組的前期研究結(jié)果[3-5]，包含了除油、水洗、除銹、水洗、預(yù)鍍鎳、化學(xué)鍍鎳等操作，目前介質(zhì)恒壓堵塞型油污檢測(cè)儀采用的濾膜都是人工鍍覆，但是人工鍍覆存在以下問(wèn)題：（1）人工鍍覆不僅效率低，而且有時(shí)在鍍膜的過(guò)程中會(huì)因?yàn)楦鞣N外來(lái)因素的影響使得鍍膜時(shí)間不精準(zhǔn)，影響化學(xué)鍍膜的質(zhì)量；（2）完成一次完整鍍膜過(guò)程的時(shí)間大約是35min左右，如果連續(xù)人工鍍膜就會(huì)非常耗時(shí)耗力；（3）化學(xué)鍍膜避免不了一些化學(xué)藥品的揮發(fā)，長(zhǎng)時(shí)間鍍膜會(huì)對(duì)工作人員健康產(chǎn)生不良影響。

機(jī)械臂不僅定位精準(zhǔn)，而且每個(gè)動(dòng)作的時(shí)間控制精準(zhǔn)，從而可以提高鍍膜的質(zhì)量，減少勞動(dòng)力，提高生產(chǎn)率。設(shè)計(jì)的五自由度自動(dòng)鍍膜機(jī)械臂，如圖1所示。

圖1 五自由度自動(dòng)鍍膜機(jī)械臂Fig.1 Five-Degree-of-Freedom Manipulator

機(jī)械臂的5個(gè)關(guān)節(jié)都是轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)，兩關(guān)節(jié)之間由連桿連接。關(guān)節(jié)（1～4）可以使末端執(zhí)行器到達(dá)任意位置，關(guān)節(jié)5的設(shè)計(jì)是為了保證濾膜鍍覆中的水洗操作。底座起支撐作用，控制器也放在底座中。末端執(zhí)行器用來(lái)抓取濾膜夾。

（1～8）分別對(duì)應(yīng)機(jī)械臂進(jìn)行微孔濾膜鍍覆時(shí)所需要的8道工序：上樣、除油、水洗、除銹、水洗、預(yù)鍍鎳、化學(xué)鍍鎳和下樣，這8道工序中所需要的器具以相互間隔25°分布在半徑為400mm的半圓邊界上，如圖2所示。

圖2 機(jī)械臂鍍膜工作空間示意圖Fig.2 Mechanical Arm Plating Working Space Diagram

圖中：0—五自由度自動(dòng)鍍膜機(jī)械臂所在的位置；1、8—對(duì)應(yīng)機(jī)械臂取放濾膜所在位置；2—除油工序，所需超聲除油裝置高為280mm；3～6工序中所需要的裝置為1000mL燒杯；7—化學(xué)鍍鎳，所需裝置為長(zhǎng)寬高均為200mm的恒溫箱。

為了解所設(shè)計(jì)的機(jī)械臂能否滿足鍍膜的工作要求，需要對(duì)其運(yùn)動(dòng)學(xué)特性、工作空間及運(yùn)行軌跡等進(jìn)行仿真分析。

2 機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

2.1 機(jī)械臂參數(shù)

首先根據(jù)鍍膜的作業(yè)要求確定機(jī)械臂的初始位姿，按照改進(jìn)D-H法[6]建立坐標(biāo)系，為了簡(jiǎn)化運(yùn)算，把基坐標(biāo)與關(guān)節(jié)1的坐標(biāo)重合。機(jī)械臂的D-H坐標(biāo)系，如圖3所示。連桿參數(shù)，如表1所示。

圖3 機(jī)械臂的改進(jìn)D-H坐標(biāo)系Fig.3 Improved D-H Coordinate System for the Manipulator

表1 機(jī)械臂連桿參數(shù)Tab.1 Mechanical Arm Link Parameters Determined

2.2 機(jī)械臂的正運(yùn)動(dòng)學(xué)方程

正運(yùn)動(dòng)學(xué)就是根據(jù)兩連桿坐標(biāo)系之間的矩陣，然后將這些變換矩陣相乘得到機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，即末端執(zhí)行器的位置。兩連桿之間的變換矩陣可以用式（1）表示[7-8]。

將表1中各連桿參數(shù)代入可得各連桿變換矩陣：

式中：ci=cosθi，si=sinθi，i=1，2，3，4，5。

將上述矩陣一次連續(xù)相乘得到正向運(yùn)動(dòng)學(xué)方程：

2.3 機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解

機(jī)械臂的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題，可以理解為通過(guò)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程：

求解一系列的關(guān)節(jié)角θ1，θ2，θ3，θ4，θ5［9］。

2.3.1 求解第一關(guān)節(jié)角

使方程（4）左右兩邊矩陣的（2，4）元素對(duì)應(yīng)相等可得：

可以得出θ1的解：

2.3.2 求解第二關(guān)節(jié)角

令方程（4）兩邊的元素（1，4）和元素（3，4）分別相等，得到：

令方程（4）兩邊的元素（1，3）和（3，3）分別對(duì)應(yīng)相等，得到：

把式（8）代入到式（7）中，消去c234、s234項(xiàng)，并兩邊平方，可得：

其中，K1=c1px+s1py-d5c1ɑx-d5s1ɑy；K2=pz-d5ɑz

對(duì)（9）的兩個(gè)等式相加并進(jìn)行整理，把含有θ2移動(dòng)到一側(cè)，得到：

（正負(fù)號(hào)對(duì)應(yīng)于θ2的兩個(gè)解）

2.3.3 求解第三關(guān)節(jié)角

利用同樣的方法將式（8）代入式（7），消去c234、s234項(xiàng)，并分離出含有s23、c23的項(xiàng)得到：

把（12）中的兩個(gè)等式相加，并求得：

（正負(fù)號(hào)對(duì)應(yīng)θ2+θ3的兩個(gè)解）

所以得：

根據(jù)θ2和θ2+θ3解得4種可能組合，θ3有四種解。

2.3.4 求解第四關(guān)節(jié)角

重新整理式（3）得：

令式（15）兩邊元素（1，3），（2，3）分別對(duì)應(yīng)相等得：

（由于θ2+θ3有兩種可能解，所以θ4有2種可能的解）

2.3.5 求解第五關(guān)節(jié)角

令式（14）兩邊元素（3，1），（3，2）分別對(duì)應(yīng)相等得：

3 機(jī)械臂工作空間仿真分析

3.1 工作空間

末端執(zhí)行器能夠到達(dá)的所有區(qū)域就是機(jī)械臂的工作空間，工作空間是衡量機(jī)械臂工作能力的重要指標(biāo)，可以運(yùn)用蒙特卡洛（Monte Carlomethod）的方法對(duì)機(jī)械臂進(jìn)行工作空間仿真分析［10］。

生成蒙特卡洛法工作空間的思路如下：

（1）通過(guò)正運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，求解出末端執(zhí)行器的相對(duì)于基座的位置向量。

（2）利用rand函數(shù)在各關(guān)節(jié)角度范圍內(nèi)產(chǎn)生N個(gè)0到1之間均勻隨機(jī)數(shù)rand(N，1)作為隨機(jī)步長(zhǎng)×rand(N，1)，從而得到機(jī)械臂關(guān)節(jié)變量的偽隨機(jī)值為：

（3）將上述（2）中得到的關(guān)節(jié)角度值代入正運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，求得執(zhí)行器的坐標(biāo)。

（4）Matlab輸出的結(jié)果即為機(jī)械臂的工作空間。

3.2 工作空間的生成

使用蒙特卡洛法在Matlab上的Robotics Toolbox中對(duì)機(jī)械臂的工作空間進(jìn)行仿真分析。取隨機(jī)坐標(biāo)點(diǎn)數(shù)目N=10000，得到五自由度機(jī)械臂工作空間，如圖4所示。

圖4 機(jī)械臂末端運(yùn)動(dòng)空間在坐標(biāo)平面上的投影Fig.4 Projection of the End of the Arm Movement Space on the Coordinate Plane

如圖4（a）所示，機(jī)械臂末端執(zhí)行器能夠到達(dá)的最遠(yuǎn)距離為700mm，如圖4（b）～圖4（c）所示，機(jī)械臂末端執(zhí)行能到達(dá)最高高度為700mm，滿足鍍膜所需的工作空間。

4 軌跡規(guī)劃

Matlab中的Robotics Toolbox的工具箱功能很強(qiáng)大可以完成對(duì)機(jī)械臂建模、仿真分析、軌跡規(guī)劃等任務(wù)，并且以圖形的方式將仿真結(jié)果體現(xiàn)出來(lái)，可以直觀的看出機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)情況。

4.1 模型的建立

在Matlab中，調(diào)用Link（）函數(shù)可以很方便的建立機(jī)臂模型，調(diào)用格式為：

其中，（sign=0表示只有轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)，modified為改進(jìn)D-H參數(shù)），編寫仿真模型的步驟如下：

（1）調(diào)用Link（）函數(shù)并把表1中的θi、di、ɑi-1、αi-1、0依次代入Link（）函數(shù)，得到L1、L2、L3、L4、L5，其中0表示轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)；

（2）調(diào)用SerialLink（）函數(shù)把L1、L2、L3、L4、L5命名為機(jī)械臂；

（3）設(shè)置機(jī)械臂的初始位姿時(shí)各關(guān)節(jié)的角度為［0-pi/2pi/2 0 0］；

（4）調(diào)用teach（）和plo（t）函數(shù)畫出模型驅(qū)動(dòng)器和機(jī)械臂仿真模型；

所建仿真模型，如圖5所示。

圖5 機(jī)械臂模型Fig.5 Robotic Arm Model

機(jī)械臂模型驅(qū)動(dòng)器，可以拖動(dòng)圖中的滑塊，使機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)，如圖5（a）所示。機(jī)械臂初始位置的仿真模型，如圖5（b）所示。

4.2 軌跡規(guī)劃仿真

機(jī)械臂在進(jìn)行作業(yè)前，都需要對(duì)其運(yùn)動(dòng)規(guī)劃，以保證機(jī)械臂按照作業(yè)要求進(jìn)行相應(yīng)的動(dòng)作。根據(jù)圖2知自動(dòng)鍍膜機(jī)械臂鍍膜過(guò)程中需要8道工序，這8道工序所需要的裝置以間隔25°平均分布在半圓工作空間的邊界線上。除了第一道工序中濾膜的抓取動(dòng)作外機(jī)械臂完成每道工序的動(dòng)作都是提升→旋轉(zhuǎn)→下降，只是在每個(gè)器具中停留的時(shí)間不一致。這里對(duì)從第一道工序轉(zhuǎn)移到第二道工序過(guò)程時(shí)的旋轉(zhuǎn)動(dòng)作進(jìn)行規(guī)劃。

利用Robotics Toolbox中的jtrɑj函數(shù)可以實(shí)現(xiàn)機(jī)械臂關(guān)節(jié)空間規(guī)劃。調(diào)用jtrɑj函數(shù)的格式為：[qqdqdd]=jtrɑj(q0q1t)，其中q為從狀態(tài)q0到狀態(tài)q1的關(guān)節(jié)空間規(guī)劃軌跡，qd、qdd分別為該規(guī)劃軌跡的速度和加速度，t為給定的時(shí)間長(zhǎng)度向量。以第一道工序正上方360mm處的點(diǎn)A為機(jī)械臂旋轉(zhuǎn)前位置，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（400，0，360），第二道工序（超聲除油）裝置正上方360mm處點(diǎn)B的坐標(biāo)可以通過(guò)三角函數(shù)計(jì)算獲得（363，169，360），點(diǎn)B為機(jī)械臂旋轉(zhuǎn)后位置的坐標(biāo)。以A和B兩點(diǎn)為例，利用已建立機(jī)械臂模型進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)軌跡仿真。過(guò)程如下：

（1）首先設(shè)置采樣時(shí)間為2s，步長(zhǎng)為0.056s；

（2）設(shè)置機(jī)械臂模型規(guī)劃仿真的初始位置A和終點(diǎn)位置B分別 為［0-1.4850 1.1245 0.3605 0］、［0.3927-1.4850 1.1245 0.3605 0］；

（3）調(diào)用[q，v，ɑ]=jtrɑj[q，q0，q1]進(jìn)行軌跡規(guī)劃

（4）調(diào)用plo（t）函數(shù)畫出機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)圖；

（5）利用finke（）函數(shù)計(jì)算出變換矩陣，并用squeeze（）函數(shù)提取動(dòng)態(tài)變換矩；

（6）調(diào)用plot3（）函數(shù)畫出空間軌跡，調(diào)用plo（t）函數(shù)角位移、角速度、角加度隨時(shí)間變化曲線；

機(jī)械臂旋轉(zhuǎn)前A點(diǎn)所在位置，如圖6所示。機(jī)械臂旋轉(zhuǎn)后B點(diǎn)所在位置，如圖7所示。機(jī)械臂到達(dá)預(yù)定位置的運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖8所示。可以看出末端執(zhí)行器僅在X、Y軸有位移的變化，在Z方向上沒(méi)有位移波動(dòng)。

圖6 機(jī)械臂起始位置AFig.6 Schematic Diagram of the Starting Position of the Arm

圖7 機(jī)械臂終點(diǎn)位置BFig.7 Robot Arm End Position

圖8 機(jī)械臂末端執(zhí)行器空間軌跡Fig.8 Robot Arm End Effector Space Trajectory

對(duì)機(jī)械臂進(jìn)行軌跡規(guī)劃仿真不僅可以將機(jī)械臂各關(guān)節(jié)相關(guān)運(yùn)動(dòng)參數(shù)直觀顯示出，還很方便的分析結(jié)果。例如上述圖9列出了關(guān)節(jié)1的角位移、角速度、角加速度隨時(shí)間變化曲線，從圖中很明顯的看到它們隨時(shí)間的變化不存在間斷和突變。其它關(guān)節(jié)分析結(jié)果類似。由以上分析可知機(jī)械臂及其末端執(zhí)行器可以連續(xù)平穩(wěn)地完成所需的鍍膜作業(yè)。

圖9 關(guān)節(jié)1的相關(guān)運(yùn)動(dòng)參數(shù)隨時(shí)間變化曲線Fig.9 Curve of Time-Dependent Curve of Joint 1

5 結(jié)語(yǔ)

主要是對(duì)自動(dòng)鍍膜機(jī)械臂正、逆運(yùn)動(dòng)學(xué)進(jìn)行了分析求解，并在此基礎(chǔ)上運(yùn)用蒙特卡洛法對(duì)機(jī)械臂的工作空間進(jìn)行仿真分析。使用Matlab軟件中的Robotics Toolbox工具箱建立機(jī)械臂的仿真模型并進(jìn)行運(yùn)動(dòng)軌跡仿真，得到機(jī)械臂相關(guān)運(yùn)動(dòng)參數(shù)隨時(shí)間變換的曲線圖。通過(guò)分析所得到的仿真結(jié)果表明所設(shè)計(jì)的機(jī)械臂可以滿足微孔濾膜鍍覆的工作要求。