光學系統裝配誤差分析及裝調路徑優選

周 雙，劉子建

（湖南大學汽車車身先進設計制造國家重點實驗室，湖南 長沙 410082）

1 引言

隨著科學技術的發展，光學系統的成像質量以及制造裝配精度要求越來越高，光學系統的公差設計、精度分析及裝調技術研究在光學系統研究領域占據越來越重要的位置。

在光學系統的公差分析領域，文獻[1]對小口徑高精度折射式光學系統用全過程仿真計算進行成像質量預估，通過對光學公差進行再分配，實時調整公差。文獻[2]給出了通過光學系統加工誤差來計算鏡片偏心、傾斜和間隔誤差的模型，并通過蒙特卡羅方法評估物鏡裝配后的像質。在光學系統的裝調領域，計算機輔助裝調技術（CAA-Computer Aided Alignment）利用軟件技術和系統，根據光學系統波像差的檢測結果計算出元件失調量，輔助和指導光學系統的裝調[3]。

上述研究涉及的公差分析僅局限于光學公差，并未考慮機械零件公差的影響，建立涉及機械誤差和光學公差的綜合分析模型方面的研究不多。另一方面，對于CAA中失調量的計算值如何準確地轉化為實際裝調工程中的調整量問題，也沒有提出有效的解決辦法[4]。鑒于此，分析了多種公差綜合對透鏡裝配傾斜誤差和偏心誤差的影響，從光學公差和機械公差設計的角度綜合評價光學系統設計的合理性。借助于光學元件的分劃和繞中心軸線旋轉裝入的角度，提出了透鏡與鏡筒裝配位姿量化方法及裝調路徑描述方法。基于像質評價標準MTF對公差進行靈敏度分析，進一步提出基于誤差權重因子的裝調路徑優選方法。

2 多公差綜合透鏡裝配誤差分析

傳統的光機結構設計流程中光學設計和機械結構設計相對獨立，光學工程師根據光學原理提出光學公差要求，結構工程師據此確定機械零件的尺寸公差和形位公差，但是現有方法很難對機械公差滿足光學公差的程度作出準確的預估判斷[5]。本節通過分析多種公差綜合對裝配誤差的影響，建立基于光學元件公差和機械零件公差的綜合誤差裝配模型，得到球面接觸形式和平面接觸形式下的最大偏心誤差和傾斜誤差，確定了實際裝配誤差分布的區間。用其與光學設計中裝配公差設計值做比較，從光學公差和機械公差設計的角度綜合評價光學系統設計的合理性。

2.1 透鏡球面接觸形式裝配時的誤差分析

在光學系統的實際裝配過程中，裝配誤差是由多種加工誤差綜合影響導致的，要綜合分析所有加工誤差對裝配誤差的影響是十分復雜的。本節在假設透鏡楔形公差、透鏡外圓柱面直徑公差、鏡筒內徑尺寸公差遠大于其他公差對裝配誤差的影響的基礎上來分析透鏡球面接觸形式的裝配誤差。

透鏡在研磨過程中，會產生楔形誤差。楔形誤差產生的傾角[6]：

式中：δ—傾斜誤差；Δt—楔形公差；D—外圓柱直徑。

設透鏡與鏡筒徑向配合的最大間隙為Cmax，由鏡筒內徑尺寸公差的和透鏡外圓柱直徑公差決定。透鏡的楔形公差與尺寸公差對裝配誤差的綜合影響，如圖1所示。軸線O0C為透鏡的理想光軸，實線表示透鏡存在楔形誤差時所在位置，此時透鏡第一外表面中心由C移到C1，透鏡的光軸變為OC1；虛線表示透鏡存在裝配間隙時偏離理想光軸的極限位置，此時透鏡第一外表面中心由C1移到C2，透鏡的光軸為OC2。其中，∠C1OF=∠C2OF1=β，sinβ=D/(2R)。

圖1 球面接觸形式的誤差分析Fig.1 Error Analysis for Spherical Surface Contact

由幾何約束關系可得：

式中：α，δ—微小量，因此求得透鏡由尺寸公差和楔形公差綜合影響造成的最大傾斜誤差γmax和最大偏心誤差emax為：

2.2 透鏡平面接觸形式裝配時的誤差分析

由于帶有凹球面的透鏡通常加工時在超過通光區域留有平面，所以可以看作接觸面為平面。通過分析透鏡與鏡筒裝配時各類公差對透鏡傾斜及偏心的影響，透鏡和鏡筒尺寸公差，平面度公差以及鏡筒軸肩相對于機械軸的垂直度公差對裝配誤差影響最顯著[5]，由于公差之間的關系遵循尺寸公差大于位置公差，位置公差大于形狀公差的設計規則[7-8]，因此以尺寸公差（最大裝配間隙為Cmax）和鏡筒軸肩垂直度公差Tp來分析平面接觸形式的裝配誤差。

由圖2可知：鏡筒軸肩垂直度公差對透鏡裝配時產生的最大傾斜誤差γmax為：

圖2 平面接觸形式的誤差分析Fig.2 Error Analysis for Plane Contact

裝配間隙和鏡筒軸肩垂直度公差綜合影響產生最大偏心誤差emax為：

3 透鏡裝配位姿定義

假設光學系統透鏡總數為m，為了度量透鏡裝入旋轉的角度，利用光學元件的分劃工藝在透鏡邊緣等分劃n條刻度線，并且標記刻線角度。鏡筒則只設置一條刻線，把x負半軸方向作為鏡筒的刻線。定義透鏡旋轉時，透鏡刻線與鏡筒刻線對齊時所處的位置狀態為透鏡的裝配位姿，如圖3所示。用Lij表示，其含義為第i塊透鏡的第種j裝配位姿，代表第i塊透鏡是以刻線360°(j-1)/n與鏡筒刻線對齊的。透鏡裝配位姿Lij對應的（偏心、傾斜）裝配誤差以及刻線角度，如表1所示。

圖3 透鏡的分劃與裝配位姿定義Fig.3 Lens’s Division Technology and Definition of Assembly Position

表1 裝配位姿的表達Tab.1 Description of Assembly Position

光學元件的分劃與透鏡的裝配位姿定義，將透鏡與鏡筒的裝配位姿量化為具體的旋轉角度，同時建立裝配位姿與裝配誤差對應關系。

在光學系統實際的裝調過程中，各個透鏡不同的裝配位姿對應著不同的裝配誤差，這些裝配誤差可以通過光學測量裝置一一測得。裝配誤差大小是多種加工誤差綜合作用的結果，所以裝配位姿對應裝配誤差的分布是隨機的。這里通過隨機數來模擬實際測量的裝配誤差的大小。透鏡的偏心誤差大小取值范圍為[0，emax]，透鏡傾斜誤差大小取值范圍為[0，γmax]，其中emax和γmax可利用第2節討論的裝配誤差分析方法求得。因此按上述方法對實際測量的裝配誤差大小進行隨機數模擬即可得到m個透鏡的n種裝配位姿對應的偏心誤差ei及傾斜誤差γi(1≤i≤m)，如式（7）、式（8）所示。

4 公差靈敏度分析與誤差權重因子定義

4.1 光學系統公差靈敏度分析

在光學設計仿真軟件ZEMAX中，靈敏度公差分析是評價光學系統輸出結果變化相對于元件公差敏感程度的方法。在現代光學設計中，光學傳遞函數是目前公認的能充分反映系統實際成像質量的評價指標。光學傳遞函數分為兩部分：調制傳遞函數和相位傳遞函數，而真正決定成像質量的是調制傳遞函數MTF。在ZEMAX中，用MTF作為評價標準的靈敏度公差分析的流程，如圖4所示。

圖4 ZEMAX靈敏度公差分析過程Fig.4 Tolerance Sensitivity Analysis Process in ZEMAX

在ZEMAX中計算出每個透鏡不同誤差對應的MTF值，然后以每一透鏡的MTF值為縱坐標，對應的誤差設置值為橫坐標確定一組點，對這組點進行三次樣條插值得到靈敏度曲線。如此，可以得到m個透鏡關于偏心誤差或傾斜誤差的m條靈敏度曲線，如圖5所示。

圖5 透鏡的偏心公差靈敏度曲線Fig.5 The Decentration or Tilt of Lens Tolerance Sensitivity Curves

在圖5中，靈敏度曲線關于誤差的變化率越大，說明該透鏡的誤差對光學系統MTF的影響越大[9]。也就是說，當裝配誤差處于公差范圍內時，透鏡的MTF對誤差項的敏感程度與靈敏度曲線的變化率成正比，如果用靈敏度曲線兩端點連線斜率的絕對值近似地代表曲線的平均變化率，則可以求得各個透鏡偏心公差靈敏度曲線的平均變化率Kei(1≤i≤m)和各個透鏡傾斜公差靈敏度曲線的平均變化率Kγi(1≤i≤m)。

4.2 誤差權重因子的定義

在透鏡的裝調過程中，對于公差靈敏度曲線變化率較大的透鏡，裝調時對應的誤差應該重點控制，而對于公差靈敏度曲線變化率較小的透鏡，裝調時可以放寬其誤差的范圍。為了表達對透鏡偏心誤差及傾斜誤差的控制程度，在裝調時，把可能達到裝配要求的誤差區間定義為誤差合格區間，把能影響裝配誤差合格區間大小的因子定義為誤差權重因子h(0＜h＜1)。由于透鏡靈敏度曲線變化率越大的，對應的誤差合格區間應該控制的較小，因此定義各個透鏡誤差權重因子大小之比等于各透鏡公差靈敏度曲線的平均變化率的倒數之比。設hei(1≤i≤m)為各透鏡的偏心誤差權重因子，hγi(1≤i≤m)為各透鏡的傾斜誤差權重因子，則有：

最小偏心誤差權重因子和最小傾斜誤差權重因子的初值可按照如下方法確定：設偏心誤差最為敏感的透鏡為透鏡p(1≤p≤m)。式中：epmin，epmax—透鏡p的最小和最大偏心誤差值；傾斜誤差最為敏感的透鏡為透鏡q(1≤q≤m)。式中：γqmin，γqmax—透鏡q的最小和最大傾斜誤差值；Kemin，Kemax—偏心公差靈敏度曲線平均變化率的最小值和最大值；Kγmin，Kγmax—傾斜公差靈敏度曲線平均變化率的最小值和最大值。為了保證每個透鏡至少有一個裝配位姿對應的裝配誤差值位于該透鏡的裝配誤差合格區間內，即保證至少有一種裝配位姿滿足裝配要求，同時保證最大的誤差權重因子小于1，hep，hγq必須滿足：

確定了最小偏心和傾斜誤差權重因子初值之后，可由式（9）和式（10）求得所有透鏡的誤差權重因子。

5 光學系統裝調路徑優選

設一個光學系統中的透鏡數為m，每塊透鏡與鏡筒裝配時可能有n種裝配位姿。透鏡以各自的某一種裝配位姿進行裝配時，形成光學系統的一條裝調路徑，其中1≤j1，j2，...，jm≤n。在裝調過程中，如果每個透鏡的所有裝配位姿都參與裝配，則有nm種裝調路徑。因此對于裝調難度大且成像質量高的光學系統，確定最佳的裝調路徑，減少裝調的次數具有重要意義。

定義［ce］為偏心誤差布爾矩陣，其元素為偏心誤差合格區間為[0，hei*eimax]，其中偏心誤差權重因子hei由式（9）可求得。eimax為第i塊透鏡的最大偏心誤差，由式（7）求得。當裝配位姿Lij對應的偏心誤差eij＜hei*eimax時，偏心誤差對應的裝配位姿符合裝配要求，即取1；反之，則元素取0。偏心誤差布爾矩陣的元素定義，如式（13）所示。

定義［cγ］為傾斜誤差布爾矩陣，其元素大小為(1≤i≤m，1≤j≤n)，傾斜誤差合格區間為[0，hγi*γimax]，其中傾斜誤差權重因子hγi由式（10）可求得。式中：γimax—第i塊透鏡的最大傾斜誤差，由式（8）求得。當裝配位姿Lij對應的傾斜誤差γij＜hγi*γimax時，說明該傾斜誤差對應的裝配位姿符合裝配要求，即取1；反之則元素取0。傾斜誤差布爾矩陣的元素定義，如式（14）所示。

由上分析可知，利用傾斜誤差布爾矩陣和偏心誤差布爾矩陣對裝調路徑的綜合優選必須滿足：只有當兩個布爾矩陣中的元素和同時取1時，誤差對應的裝配位姿才符合裝配要求。用表示符合裝配要求的裝配位姿，則有：

6 實例分析

經過初步設計的三片式柯克物鏡系統的主要零件圖，如圖6所示。其中只標注了這里分析所需尺寸及公差。

圖6 三片式柯克物鏡的零件圖Fig.6 Parts Drawing of Cooke Triplet Objective System

光學設計最初分配的元件加工公差和裝配公差，是基于系統像質要求以及當前的裝調工藝水平進行分配的。三片式柯克物鏡系統的部分初始設計公差要求，如表3所示。

表3 透鏡初始設計公差Tab.3 Lens’s Initial Design of Tolerance

6.1 分析各類公差對傾斜誤差和偏心誤差的影響

透鏡1與鏡筒裝配時，可以視為其與鏡筒裝配時為平面接觸，如圖6所示。透鏡1的最大裝配誤差可由式（5）和式（6）求得：

透鏡2為雙凹球面透鏡，與鏡筒裝配時為平面接觸。其最大裝配誤差可由式（5）和式（6）求得：

透鏡3為雙凸球面透鏡，與鏡筒裝配時為球面接觸。透鏡3的最大裝配誤差由式（1）、式（3）和式（4）求得：

比較表3和上述透鏡裝配誤差分析結果可知，透鏡2、3裝配時可能達到的最大裝配誤差都在其設計公差范圍內；而透鏡1的最大偏心誤差超出了其設計公差范圍，所以透鏡3的機械公差設計并沒有很好地滿足光學公差設計要求。需要對與透鏡1的偏心裝配公差相關聯的公差設計值重新分配。

6.2 透鏡的裝配位姿定義

在光學系統裝調之前，采用第2節所示方法沿透鏡邊緣分劃出等量刻線，并標記角度。假設三片式柯克鏡頭的各個透鏡分劃的刻線為8條，在裝調過程中各個透鏡通過旋轉，透鏡刻線與鏡筒刻線對齊時的所有裝配位姿，如表4所示。

表4 裝配位姿的表達Tab.4 Description of Assembly Position

在6.1中已經求得圖6中三塊透鏡的最大偏心誤差和最大傾斜誤差。通過Matlab隨機函數在0到最大誤差值間取值來模擬實際測量的裝配誤差。三塊透鏡裝配位姿對應的偏心誤差和傾斜誤差分別為：

6.3 透鏡偏心公差和傾斜公差的靈敏度分析

三片式柯克物鏡系統的初始結構參數，如表5所示。其相對孔徑D/f=1/4.5，視場角2ω=40°。按照4.1中靈敏度公差分析方法，利用ZEMAX軟件對庫克三片式鏡頭進行了偏心和傾斜公差的靈敏度分析，運用Matlab軟件對所得數據進行處理，得到各個透鏡的偏心和傾斜誤差對系統MTF的靈敏度曲線，如圖7、圖8所示。

圖7 透鏡偏心公差靈敏度分析Fig.7 Analysis of Decentration Tolerance Sensitivity of Lens

圖8 透鏡傾斜公差的靈敏度分析Fig.8 Analysis of Tile Tolerance Sensitivity of Lens

表5 三片式柯克物鏡初始結構參數Tab.5 The Initial Structure Parameters of Cooke Triplet Objective System

由圖7中曲線的變化率可知，透鏡1的偏心誤差對像質評價函數MTF影響較小，透鏡2的偏心誤差對系統MTF影響最大，所以在裝調過程中，應該重點調節與控制透鏡2的偏心誤差。

各透鏡偏心公差靈敏度曲線的平均變化率之比為：

由圖8中曲線的變化率可知：透鏡2傾斜誤差對系統MTF影響最小，透鏡3的傾斜誤差對系統MTF影響最大，所以在裝調過程中，應該重點調節與控制透鏡3的傾斜誤差。

各透鏡傾斜公差靈敏度曲線的平均變化率之比為：

6.4 透鏡誤差權重因子的確定

由上節中求得的靈敏度曲線平均變化率之比及式（9）、式（10）可以確定偏心誤差權重因子及傾斜誤差權重因子的比值：

由于透鏡2的偏心誤差最為敏感，由式（11）確定透鏡2的偏心誤差權重因子初值范圍：0.17＞he2＞0.13

因此取he2=0.15，能保證裝調時透鏡偏心誤差控制得較小，也能使最大偏心權重因子不超過1。因此可得：he1=0.9，he3=0.23

由于透鏡1的傾斜誤差最為敏感，由式（12）確定透鏡1的傾斜誤差權重因子初值范圍：0.25＞hγ1＞0.13

因此取hγ1=0.20，能保證裝調時透鏡傾斜誤差控制得較小，也能使最大傾斜權重因子不超過1。因此可得：

6.5 光學系統裝調路徑優選

由式（7）、式（8）可求得各個透鏡的最大偏心誤差和最大傾斜誤差：

由式（13）、式（14）可得誤差布爾矩陣[ce]，[cγ]：

利用傾斜誤差布爾矩陣和偏心誤差布爾矩陣對裝調路徑的綜合優選，由式（15）求得符合裝配要求的裝配位姿矩陣

因此，結合表4中透鏡裝配位姿對應刻線角度可知：當三片式庫克物鏡裝調時，透鏡1以45°的裝配位姿裝入，透鏡2以45°或180°的裝配位姿裝入，透鏡3以90°或225°的裝配位姿裝入時，能滿足光學系統像質評價標準MTF的要求。因為MTF是系統各個像差的綜合評價標準，當系統需要對單個像差如慧差、像散、場曲進行校核時（球差與傾斜和偏心無關，只與透鏡間間距有關[10]），需要在以上裝配位姿附近進行精調，以達到光學系統所有成像要求。

7 結論

分析了透射式透鏡以球面接觸形式和平面接觸形式裝配時，多種公差對裝配傾斜誤差和偏心誤差的綜合影響，可用于對光學元件公差及機械零件公差設計的合理性進行了評價。借助于光學元件的分劃和繞中心軸線旋轉裝入的角度，提出了一種透鏡與鏡筒裝配位姿量化確定方法及透鏡裝調路徑描述方法。利用光學設計仿真軟件ZEMAX進行了公差的靈敏度分析，從而進一步提出了基于誤差權重因子的裝調路徑優選方法。最后以一個三片式柯克物鏡系統的裝調為例，從光學公差和機械公差設計的角度綜合評價光學系統公差設計的合理性，并給出了在裝配過程中各個透鏡合理的裝入角度，簡化了該光學系統裝調的步驟，驗證了研究結果的合理性。研究對CAA技術的使用和光機裝調操作有很好的借鑒作用。