結合模糊自整定的機械臂魯棒PD控制器研究

董 凡，高宏力，郭 亮，楊 愷

（西南交通大學機械工程學院，四川 成都 610031）

1 引言

機械臂是機器人控制系統中的重要部分，憑借其精確、快速、重復定位精度高等特點被廣泛應用于實際工業生產中，但是隨著工業自動化程度的提高，傳統控制算法很難滿足機械臂的控制精度要求，因此，機械臂的精確軌跡跟蹤控制問題成為現階段機械臂控制領域的一個研究熱點。

機械臂軌跡跟蹤控制的核心思想是設計一個控制性能優異的控制器，可以根據輸入信息使執行器輸出相對精確的控制力矩，從而驅動機械臂各關節的運動以達到期望位置與位姿。然而，機械臂系統是一個具備強時變、強耦合等特性的高度非線性控制系統，存在外界擾動及系統建模誤差等較多不確定性，因而難以獲得其較為精確的數學模型，無法實現優異的運動控制效果[1]。現階段，針對系統不確定性的解決方案主要分為兩種控制策略，一種是利用迭代學習或神經網絡等自適應控制方法逼近系統的不確定性，通過不斷的訓練學習獲取較高的軌跡跟蹤控制精度，但是此類控制策略算法實現過程較為復雜，訓練周期過長且計算量較大，很難保證系統的穩定性與實時性[2-3]。另一種控制策略是采用魯棒、滑模等控制方法，這類方法可以在不確定性可控范圍內保證系統穩定和維持一定的性能指標，能夠抑制控制過程中的干擾和補償未建模動態，但是此類控制策略沒有學習能力，自適應調整能力差，當外界擾動超過擬定的閾值后，容易引起系統抖振等問題，影響系統的控制精度與穩定性[4-5]。

綜合考慮兩類控制策略的優劣，提出了一種基于非線性PD的控制方法，引入模糊控制器替代傳統PD控制的參數整定過程，實現PD參數的在線自調整功能[6-7]，同時采用魯棒控制器補償機械臂系統的不確定性[8-9]。此控制策略以PD控制器為基礎，將模糊控制與魯棒控制相結合，兼容了兩者的優點，提高了整個機械臂控制系統的魯棒性、穩定性，且無需在線學習模型參數，在保證控制精度的同時減少了計算量和訓練成本。

2 機械臂動力學模型

具有N個自由度的機械臂動力學模型可表述為以下二階非線性微分方程[10]：

M(q)∈Rn×n—機械臂的正定慣性矩陣—離心力和哥氏力；G(q)∈Rn—重力矩陣；ω∈Rn—外部擾動和建模誤差；τ∈Rn—系統的控制輸入力矩。

此機械臂系統的動力學特性如下：

（2）慣性矩陣M(q)為對稱正定矩陣，存在正數m1，m2滿足不等式：

3 軌跡跟蹤控制器設計

3.1 控制器結構與控制策略

針對具有高度非線性和強耦合性的機械臂系統，非線性PID控制作為一種簡單有效且精度較高的控制方法在工業生產中得到廣泛應用，但是在實際控制過程中，非線性PID控制器的參數整定過程較為復雜，且更多地依賴人工經驗，其優化值具有一定的局域性，一定程度上無法解決動態品質和穩態精度的矛盾。另外，此類控制器由于其參數整定過程缺乏在線自調整能力，難以解決非線性時變系統的不確定性。

針對傳統PID控制器存在的一些問題，提出了一種基于模糊自整定的魯棒PD控制策略，該控制器由模糊PD控制部分和魯棒補償部分組成，模糊PD控制部分引入了模糊邏輯實現了PD參數的在線自調整功能，優化了PD控制器復雜的參數整定過程，減少了超調量，大量縮短了調節時間。同時魯棒補償部分引入了自適應算法，通過自適應律獲取其不確定性的信息，保證了系統在外部擾動或存在不確定性的情況下保持控制穩定性，提高其抗干擾能力和學習能力，補償系統不確定性使閉環系統跟蹤誤差全局漸進收斂。

具體的控制器結構，如圖1所示。設計總控制律如下：

圖1 基于模糊自整定的魯棒PD控制器結構圖Fig.1 The Structure of Robust PD Controller Based on Fuzzy Self-Adjustment

式中：τpd—模糊PD控制部分的輸出項；u—魯棒補償項。

3.2 模糊PD控制器

常用的PID控制器，如式（4）所示。具有比例項、積分項、微分項。

式中：kP—比例系數；ki—積分系數；kd—微分系數；e(t)—跟蹤誤差。針對提出的控制策略，如果加入積分項，由于積分作用的滯后特性與誤差累積的消極影響可能會破壞系統的動態品質，增加整個控制系統的計算量，降低其穩定性。因此，決定采用的PD控制器，如式（5）所示。去掉積分項。

傳統的PD控制由于其復雜的參數整定過程難以應用在機械臂等非線性時變系統中，因此引入了模糊邏輯作為PD控制器參數調整的重要依據，優化了非線性PD控制中復雜的參數整定過程，實現了其在線自整定功能，具體參數整定過程，如圖2所示。

圖2 模糊PD控制器參數整定流程圖Fig.2 The Flow Chart of Parameter Self-Adjustment of Fuzzy-PD Controller

模糊推理過程中輸入變量為誤差e、誤差變化率Δe，輸出變量為比例系數增量Δk P、微分系數增量Δkd，根據控制策略選擇三角型隸屬函數作為輸入變量的隸屬函數，兩個變量誤差e、誤差變化率Δe均包含模糊子集{B，M，S}，B表示為“大”，M表示為“中”，S表示為“小”，其隸屬函數，如圖3所示。

圖3 輸入變量的隸屬函數Fig.3 The Membership Function of Input Variable

同時根據控制系統設計經驗，制定輸出變量的模糊規則表，如表1、表2所示。

表1 比例系數增量Δk p的模糊規則表Tab.1 Fuz zy Rule of Scale Coefficient IncrementΔk P

表2 微分系數增量Δkd的模糊規則表Tab.2 Fuzzy Rule of Differential Coefficient IncrementΔk d

根據隸屬函數和模糊規則對輸出變量進行模糊推理，確定比例系數增量ΔkP、微分系數增量Δkd。PD的初始參數值kP0、kd0由Ziegler-Nichols公式確定，然后根據式（6）、式（7）整定比例系數kP、微分系數kd，進而實現非線性PD控制的參數自整定功能。

3.3 魯棒自適應補償器

為補償機械臂系統因建模誤差和外部擾動等帶來的不確定性，設計了魯棒自適應補償器，在傳統魯棒算法基礎上采用自適應算法確定系統不確定上界，結合魯棒控制的穩定性和自適應控制的學習能力，消除系統不確定性帶來的影響，使閉環系統跟蹤誤差全局漸進收斂。

定義跟蹤誤差為：

式中：q—關節實際運動角位移；qd—關節期望角位移。

定義輔助信號為：

式中：λ=diag(λ1，···λn)，且λ＞0，即可推出：

結合式（1）和式（12）得：

引入H=--G(q)-ω表示系統的不確定項，則式（13）可表示為：

設計魯棒補償器為：

式中：ud—補償器實際輸出；ε—某個極小的正常數；β—系統不確定項的上界，即滿足：

式中：S=max(1，‖e‖，‖e‖2)—系數向量；P—系統不確定項。

式中：k—正定常數矩陣。

將式（15）與式（18）結合，可得魯棒自適應補償器為：

3.4 系統穩定性證明

同理可得：

因此對式（20）左右兩端求導得：

將式（13）和式（17）代入式（23）中，可得：

4 實驗仿真驗證

為了驗證提出的控制策略的可行性，決定采用二自由度機械臂系統作為Simulink仿真控制對象。

此機械臂的動力學方程參數為：

此機械臂的物理參數為：

m1=1kg，m2=1.5kg，r1=1m，r2=0.8m

設置仿真模型的輸入函數為：

q1d=0.3sin(t)，q2d=0.3sin(t)

選取PD控制器參數初值為：

k P0=diag(100，100)，kd0=diag(100，100)

選取魯棒自適應控制器參數為：

k=10，ε=0.03，λ=diag(2，2)

在Matlab中建立設計的機械臂控制系統Simulink模型，在模型中添加上述參數并進行仿真分析，具體的仿真結果，如圖4所示。同時為了更好驗證設計的控制器的有效性，引入傳統PID控制器Simulink模型進行Matlab仿真實驗對比，具體的仿真結果，如圖5所示。

圖4 新型控制器的關節角位置跟蹤曲線和誤差Fig.4 Angle Tracking Curve and Error of New Controller

圖5 傳統控制器的關節角位置跟蹤曲線和誤差Fig.5 Angle Tracking Curve and Error of Traditional Controller

通過對兩種控制器仿真結果的分析，可以發現設計的控制器軌跡跟蹤效果優異，關節角位置跟蹤誤差收斂速度和系統動態響應速度較快，具備良好的穩定性和抗干擾能力。相反，傳統PID控制算法在軌跡跟蹤過程中存在明顯的誤差，收斂速度相對較慢，且參數調節更多地依賴人工經驗。

此外，基于上述分析結果可以看出，與傳統PID控制算法相比，設計的新型控制算法的控制效果更優異，其主要原因在于該算法通過引入模糊邏輯優化了傳統PID算法復雜的參數整定過程，并且引入魯棒自適應算法對傳統算法難以解決的不確定性進行補償，提高了控制系統的魯棒性和學習能力。

5 結論

針對機械臂這樣一個具有強耦合性的非線性時變系統，提出了一種基于模糊自整定的魯棒PD控制策略，引入模糊邏輯作為PD控制器的參數自整定方法，同時設計魯棒自適應算法以補償系統的不確定性。對此控制策略的穩定性與有效性進行了理論推導和仿真實驗驗證，并與傳統PID控制策略進行對比，結果表明此控制器軌跡跟蹤誤差收斂速度較快，具有良好的魯棒性和實時性，提高了機械臂控制系統的穩定性、精確性和學習能力。由此可見，此控制策略具備應用在復雜的機械臂控制系統中的可行性。