一種有效的螺紋固定結(jié)合部有限元建模方法

王 瑞，張建平

（河南師范大學(xué)新聯(lián)學(xué)院，河南 鄭州 450000）

1 引言

機床動態(tài)特性對其加工精度、性能以及壽命存在重要影響，在設(shè)計階段建立高精度整機動力學(xué)模型是評價、優(yōu)化其動態(tài)特性的關(guān)鍵手段。機床是由眾多零部件通過各類結(jié)合部裝配在一起的組合體，其中螺紋固定結(jié)合部最為常見，它指的是兩零部件通過螺紋緊固件連接成整體時其相互接觸的部分。結(jié)合部動態(tài)特性對整機動態(tài)特性影響顯著，研究表明結(jié)合部剛度占整機剛度的（60～80）%，整機阻尼的90%以上源自結(jié)合部[1]。因此，建立合理的結(jié)合部動力學(xué)模型將有助于提高機床整機動力學(xué)建模的精度。然而結(jié)合部的形狀、材料屬性、結(jié)合面粗糙度及所受的外部載荷對其傳力特性影響顯著，如何建立能準確描述結(jié)合部傳力特性的動力學(xué)模型，既是機床整機動力學(xué)建模研究的熱點也是當前的一個技術(shù)難題。國內(nèi)外眾多學(xué)者開展了大量關(guān)于結(jié)合部動力學(xué)建模的研究，并且取得了許多有價值的成果[2-3]。文獻[4]將結(jié)合面等效成一個節(jié)點，建立了結(jié)合面間六自由度的等效動力學(xué)模型，并計算了每個自由度的等效剛度與阻尼；文獻[5]通過在結(jié)合面間建立一系列彈簧阻尼單元來描述結(jié)合部的動態(tài)特性，單元的剛度與阻尼可以通過解析計算和參數(shù)辨識的方法獲得，由于該方法簡單實用，所以被眾多學(xué)者和工程師采納；文獻[6]認為各種條件下的結(jié)合面（不同材料、表面粗糙度、介質(zhì)等）動態(tài)特性均可用一個理想結(jié)合面的動態(tài)特性來描述，理想結(jié)合面上任何位置處的力學(xué)性質(zhì)均相同，據(jù)此提出了用于建立理想結(jié)合面動力學(xué)模型的有限元單元，并基于有限元的相關(guān)理論推導(dǎo)出了單元的剛度矩陣和阻尼矩陣，矩陣中的參數(shù)是通過參數(shù)辨識的方法獲得。

上述研究雖然在很大程度上解決了螺紋固定結(jié)合部動力學(xué)建模問題，但是忽略了結(jié)合面壓力不均勻分布對結(jié)合部建模精度的影響。螺紋固定結(jié)合部在螺紋緊固件的預(yù)緊力作用下會出現(xiàn)結(jié)合面壓力分布不均勻的現(xiàn)象，而結(jié)合面接觸壓力是決定其接觸剛度與阻尼的關(guān)鍵因素之一[7]。將結(jié)合面面壓不均勻分布納入到螺紋固定結(jié)合部動力學(xué)建模過程中可以有效改善其建模精度。因此，給出一種基于結(jié)合面壓力不均勻分布的螺紋固定結(jié)合部有限元建模方法，建模流程簡述如下：首先，在Ansys中對研究對象進行網(wǎng)格劃分，在螺紋連接處施加實際預(yù)緊力并進行靜力學(xué)分析；其次，提取結(jié)合面上的單元信息與節(jié)點信息，基于節(jié)點間距離最短原則對上、下結(jié)合面中的節(jié)點進行匹配，通過Ansys的APDL語言編寫程序，利用該程序在匹配好的兩節(jié)點間建立Matrix27剛度單元與Matrix27阻尼單元來模擬結(jié)合部的動力學(xué)特性。基于Yoshimura法與結(jié)合面面壓分布計算出結(jié)合面剛度、阻尼分布，將Matrix27單元位置處的結(jié)合部剛度、阻尼系數(shù)帶入Matrix27剛度、阻尼單元中；最后，將結(jié)合部有限元模型與各零部件有限元模型綜合成整體有限元模型。

2 靜力分析

通過調(diào)查各種類型的數(shù)控機床，最終確定以裝配體為研究對象并進行螺紋固定結(jié)合部動力學(xué)建模研究，如圖1所示。圖中的裝配體由上塊體與下塊體通過4個均布的性能等級為8.8級的M8螺栓連接而成，每個螺栓施加的預(yù)緊力矩為25N·m，其結(jié)合部為典型的螺紋固定結(jié)合部。組成裝配體的上塊體與下塊體均由45號鋼制成，其材料屬性，如表1所示。

圖1 裝配體結(jié)構(gòu)與尺寸Fig.1 Assembly Structure and Size

表1 材料屬性Tab.1 Material Properties

所給螺紋固定結(jié)合部動力學(xué)建模方法由于引入了結(jié)合面壓力分布不均勻因素，因此對施加預(yù)緊力的裝配體進行靜力學(xué)分析并獲得結(jié)合面的壓力分布是結(jié)合部動力學(xué)建模的先決條件，是獲得結(jié)合面剛度、阻尼分布的依據(jù)。裝配體結(jié)構(gòu)中存在諸多曲面元素（例如孔面和圓柱面），在保證力學(xué)性能被準確模擬的前提下，利用Ansys中對幾何形狀具有較好擬合特性的solid187單元進行網(wǎng)格劃分。solid187為10節(jié)點四面體單元，每個節(jié)點具有3個沿坐標軸方向的自由度，與傳統(tǒng)4節(jié)點四面體單元不同，solid187可以模擬單元內(nèi)部的應(yīng)力變化，更貼近于實際結(jié)構(gòu)的傳力特性，并且相比于同樣能模擬應(yīng)力變化的六面體單元具有計算效率高，對幾何域擬合性好的優(yōu)點，因此選用solid187來模擬零部件本體的力學(xué)性能。在有限元模型中每個螺栓位置處施加25N·m的預(yù)緊力矩，每個螺栓所受到的預(yù)緊力為[8]：

式中：F0—螺栓的預(yù)緊力；T—螺栓的預(yù)緊力矩；K—擰緊力矩系數(shù)。基于螺栓的實際安裝工況，查詢機械設(shè)計手冊，取K值為0.2；d—螺栓的公稱直徑。

在螺栓預(yù)緊力作用下，結(jié)合面中螺紋孔周圍會出現(xiàn)應(yīng)力集中現(xiàn)象，根據(jù)彈性力學(xué)的相關(guān)理論可知，在此受力狀態(tài)下結(jié)合面將呈現(xiàn)出波浪形的變形曲面，結(jié)合面在螺紋孔周圍發(fā)生接觸，遠離螺紋孔的位置處發(fā)生分離，只有接觸部分存在接觸面壓，未接觸部分的接觸面壓為零。基于上述分析，將有限元模型中的接觸面設(shè)置成Frictional型接觸，使用該接觸模型后，在計算過程中接觸面之間既可以發(fā)生法向分離，也可以產(chǎn)生切向滑動，符合結(jié)合面在靜力作用下的受力狀態(tài)。調(diào)用Ansys中靜力學(xué)分析模塊對裝配體有限元模型進行靜力學(xué)分析，提取結(jié)合面中的壓力分布，如圖2所示。由此可見，壓力在結(jié)合面中的分布是不均勻的，螺紋孔周圍出現(xiàn)應(yīng)力集中，遠離螺紋孔的結(jié)合面面壓逐漸減小并趨近于零。由此說明，分析得到的受力狀態(tài)符合結(jié)合面實際受力狀態(tài)。

圖2 結(jié)合面面壓分布Fig.2 Pressure Distribution in Joint Surface

3 螺紋固定結(jié)合部有限元建模

螺紋固定結(jié)合部的結(jié)合面在微觀上不是絕對光滑的平面，而是凹凸不平的曲面。螺紋緊固件將兩個零部件連接成為一整體，結(jié)合面間的凸起彼此接觸形成了一個個微接觸對，微接觸對在零部件間起到了力及運動的傳遞作用，并且微接觸對在結(jié)合面上的分布具有隨機、均勻、離散的特性。在有限元模型中，節(jié)點同樣起著力及運動的傳遞作用，并且結(jié)合面上的網(wǎng)格節(jié)點也具有隨機，均勻，離散的分布特性，節(jié)點在結(jié)合面間的傳力、分布特性與微接觸對在結(jié)合部中的傳力、分布特性相似，因此采用有限元模型來描述結(jié)合部的傳力特性是合理的（隨著網(wǎng)格密度的提高，結(jié)合部有限元模型的傳力特性將逐漸趨近其真實傳力特性）。研究表明結(jié)合部具有存儲能量與消耗能量的特性[9]，因此可以在上、下結(jié)合面的節(jié)點間建立剛度、阻尼單元以此來模擬結(jié)合部的動態(tài)特性。對于結(jié)合部而言，微接觸對的質(zhì)量可以忽略不計，只考慮其剛度與阻尼特性。上塊體結(jié)合面中的網(wǎng)格節(jié)點與下塊體結(jié)合面中的網(wǎng)格節(jié)點可能會出現(xiàn)部分重合與分離的情況，而Matrix27剛度、阻尼單元可以描述任意距離的兩節(jié)點間的傳力特性，因此所給方法采用Matrix27剛度、阻尼單元來描述結(jié)合部中兩節(jié)點間的傳力特性。

3.1 節(jié)點配對

Matrix27剛度、阻尼單元是兩節(jié)點單元，每個節(jié)點有6個自由度（其中3個沿坐標軸方向的水平自由度，3個繞坐標軸運動的轉(zhuǎn)動自由度），單元的剛度、阻尼矩陣為用戶自定義。由于Matrix27剛度、阻尼單元的作用是模擬結(jié)合面間的傳力特性，因此單元節(jié)點應(yīng)分別位于上、下結(jié)合面中。對上、下結(jié)合面中的節(jié)點進行配對是在結(jié)合部中建立Matrix27剛度、阻尼單元的前提，節(jié)點配對的基本原則為：（1）節(jié)點對要均勻、離散的分布在結(jié)合面中。該原則能夠保證結(jié)合部有限元模型中起運動、力傳遞作用的Matrix27剛度、阻尼單元在結(jié)合部中的分布特性與真實結(jié)合部中起運動、力傳遞作用的微接觸對的分布特性吻合，并且節(jié)點對的均勻、離散分布有助于實現(xiàn)結(jié)合部壓力不均勻分布對結(jié)合部動態(tài)特性的影響；（2）每個節(jié)點對的空間長度為所有配對方案中的最小值且不高于設(shè)定值ε。其中，ε是保證Matrix27剛度、阻尼單元在結(jié)合部中呈均勻、離散分布。結(jié)合面間節(jié)點配對具體流程，如圖3所示。

圖3 結(jié)合面節(jié)點配對流程圖Fig.3 Node Pairing Flow Chart of Joint Surface

首先分別提取上、下結(jié)合面的節(jié)點信息（包括節(jié)點編號與節(jié)點坐標），其次在Matlab中編寫算法，分別計算出某結(jié)合面上的每個節(jié)點相對另一結(jié)合面上所有節(jié)點間的距離，計算公式，如式（1）所示。

圖4 結(jié)合面節(jié)點分布圖Fig.4 Node Distribution Map of Joint Surface

將結(jié)合面均勻分塊，計算各子區(qū)域中節(jié)點對的密度，計算方法，如式（2）所示。

式中：Nn—編號為n的子區(qū)域中節(jié)點對的個數(shù)；Sn—該子區(qū)域的面積；ρn—區(qū)域的節(jié)點對密度。

接著計算結(jié)合面所有區(qū)域節(jié)點對密度的均值及相對于均值的偏差，如式（3）、式（4）所示。

式中：n—子區(qū)域的編號；N—子區(qū)域的個數(shù)；E—節(jié)點對密度分布的均值；δn—編號為n的子區(qū)域節(jié)點對密度分布相對于均值的偏差，選取方差為最小值時所對應(yīng)的ε，此處取ε=3mm。

3.2 結(jié)合面面元劃分

結(jié)合面面元是指零部件有限元模型中的單元與結(jié)合面重合時的輪廓形狀。對結(jié)合面進行面元劃分是在已有的有限元網(wǎng)格基礎(chǔ)上，提取單元與結(jié)合面重合的所有網(wǎng)格節(jié)點構(gòu)成一個集合，該集合存放著一個面元中的所有節(jié)點編號，是求解結(jié)合面剛度、阻尼分布的關(guān)鍵。具體流程如下：分別提取上塊體結(jié)合面與下塊體結(jié)合面中的所有節(jié)點編號及坐標并以集合的形式表示，記為A1，A2。分別將集合A1，A2中屬于同一單元的節(jié)點編號進行歸類，以集合Bn表示，其中n代表集合的序號，Bn中的所有節(jié)點屬于單元與結(jié)合面重合的輪廓，則將Bn稱為編號為n的結(jié)合面面元。分別將上塊體結(jié)合面與下塊體結(jié)合面中每個面元的輪廓在Matlab中繪出，如圖5（a）、圖5（c）所示。由于對裝配體進行有限元網(wǎng)格化分時采用的是Solid187單元，因此結(jié)合面上的面元形狀均為三角形。對比Ansys在結(jié)合面處的有限元網(wǎng)格，如圖5（b）、圖5（d）所示。由圖5可見，Matlab繪制的網(wǎng)格與Ansys網(wǎng)格完全吻合，說明上述關(guān)于結(jié)合面面元的劃分工作是正確的。

圖5 結(jié)合面網(wǎng)格分布圖Fig.5 Mesh Grid Distribution Map of Joint Surface

3.3 結(jié)合面剛度與阻尼分布計算

Matrix27剛度單元的剛度矩陣，如式（5）所示。式中kxx、kyy、kzz—兩節(jié)點間沿x、y、z方向的剛度系數(shù)。Matrix27阻尼單元的表達式與剛度單元相似。螺紋固定結(jié)合部中所有Matrix27剛度單元的剛度系數(shù)計算流程：首先分別計算下塊體結(jié)合面內(nèi)每個面元的每條輪廓函數(shù)表達式fn1、fn2、fn3，其中n表示面元的編號，1、2、3分別表示面元輪廓線的序號，如圖6所示。采用式（6）來描述每個結(jié)合面面元內(nèi)的壓力場分布，如式（6）所示。

式中：n—面元的編號；x，y—面元所在平面的橫、縱坐標；Pn(x，y)—面元內(nèi)任意一點的壓力值。提取下塊體結(jié)合面內(nèi)所有節(jié)點的法向壓力值，基于每個面元節(jié)點的坐標及面壓值，辨識出參數(shù)P00-n，P01-n，P11-n。最后在Matlab中繪制出結(jié)合面的壓力分布，如圖7所示。

圖7 結(jié)合面擬合壓力分布圖Fig.7 Pressure Distribution of Joint Surface

基于式（7）和式（8）計算出每個結(jié)合面面元的平均面壓，式中Pmy-n表示結(jié)合面上第n個面元的平均面壓，Pn(x，y)為擬合獲得的結(jié)合面中編號為n面元的壓力場分布函數(shù)，Sn為此面元的面積。結(jié)合面中的某個三角形面元，如圖6所示。

Yoshimura法認為任意固定結(jié)合部在相同表面粗糙度及面壓條件下，單位面積的剛度與阻尼系數(shù)相同。基于此思想，首先根據(jù)結(jié)合面面元平均面壓計算得到每個面元區(qū)域內(nèi)的單位面積法向、切向剛度系數(shù)，將單位面積法向，切向剛度系數(shù)乘以該面元面積可以得到面元的總法向、切向剛度；其次將面元的總剛度均分至該面元的三個角點，由于同一個節(jié)點會被多個面元共用，因此，利用式（11）計算出各節(jié)點的總剛度：

式中：KM—編號為M的節(jié)點總剛度；n—面元編號；N—擁有共同節(jié)點M的面元個數(shù)。

文獻［10］通過實驗獲得了不同接觸條件下（結(jié)合面材料、有無介質(zhì)、表面粗糙度）的結(jié)合部單位面積法向、切向剛度、阻尼系數(shù)與結(jié)合面面壓之間的數(shù)學(xué)表達式。則所給研究對象結(jié)合面壓力與單位面積法向、切向剛度的數(shù)值關(guān)系，如式（9）、式（10）所示。

式中：Pn—結(jié)合面接觸面壓；Kn—單位面積法向剛度；Kt—單位面積切向剛度，結(jié)合面粗糙度Rɑ=1.6μm。

基于Matlab編寫可實現(xiàn)上述操作的程序，計算獲得的結(jié)合面節(jié)點剛度分布，如圖8、圖9所示。由此可以發(fā)現(xiàn)，螺拴孔附近的剛度相對其周圍明顯要大，這是由于在螺拴預(yù)緊力作用下，螺拴孔周圍壓力集中，因此剛度均較周圍要大。

圖8 結(jié)合面法向剛度分布Fig.8 Normal Stiffness Distribution of Joint Surface

圖9 結(jié)合面切向剛度分布Fig.9 Tangential Stiffness Distribution of Joint Surface

下面通過式（12）～式（15）求解每個節(jié)點阻尼。

式中：cn、ct—結(jié)合面上每個配對節(jié)點間的法向阻尼與切向阻尼系數(shù)；C′n、C′t—結(jié)合面的法向、切向總阻尼值；N—結(jié)合面間配對的節(jié)點對總個數(shù)；S—結(jié)合面總面積；C、C′—某一面壓值下單位面積法向、切向阻尼值。

最后將所求出的節(jié)度、阻尼帶入到與之相對應(yīng)的Matrix27剛度、阻尼單元中，至此，螺紋固定結(jié)合部有限元模型建模工作結(jié)束。

4 模型驗證

將螺紋固定結(jié)合部有限元模型與裝配體中的上、下塊體有限元模型綜合成整體有限元模型，調(diào)用Ansys模態(tài)分析模塊對整體有限元模型進行模態(tài)分析，提取前四階模態(tài)頻率的計算結(jié)果，如表2所示。為驗證該建模方法的有效性，基于LMS振動噪聲測試系統(tǒng)對裝配體進行錘擊法模態(tài)測試，試件采用尼龍繩進行懸掛，通過力錘激勵，ICP壓電式三向加速度傳感器拾取測試點的振動信號，運用LMStest.Lab軟件提取裝配體的前四階試驗?zāi)B(tài)頻率，如表2所示。

表2 理論模態(tài)值與實驗?zāi)B(tài)值對比Tab.2 Comparison between Theoretical Modal and Experimental Modal

試驗獲得的所有激勵點與測試點間的頻響函數(shù)曲線及其相位圖，如圖10所示。試驗采集設(shè)備包括PCB公司的086C03型力錘和356A16型三向加速度傳感器，LMS公司的SCM202型16通道數(shù)據(jù)采集儀。

圖10 頻響函數(shù)幅值、相位圖Fig.10 The Graph of Frequency Response Function Amplitude，Phase

通過對比裝配體前四階理論模態(tài)頻率與試驗?zāi)B(tài)頻率，最大誤差出現(xiàn)在第一階模態(tài)處，為7.2%，其余均在5%以內(nèi)。將裝配體的前四階理論與試驗?zāi)B(tài)振型對比于圖11，通過觀察發(fā)現(xiàn)，前四階理論模態(tài)振型與前四階試驗?zāi)B(tài)振型相似且一一對應(yīng)。由此說明，所給螺紋固定結(jié)合部動力學(xué)建模方法是合理可行的。

圖11 理論模態(tài)振型與實驗?zāi)B(tài)振型對比Fig.11 Comparison between Theoretical Modal and Experimental Modal

5 結(jié)論

（1）給出了一種構(gòu)建螺紋固定結(jié)合部動力學(xué)模型的新方法。通過在結(jié)合面節(jié)點間建立Matrix27剛度單元和Matrix27阻尼單元來描述結(jié)合部的動態(tài)特性，每個剛度、阻尼單元中的剛度系數(shù)、阻尼系數(shù)通過計算獲得，并且考慮了結(jié)合面面壓的分布對剛度數(shù)值大小的影響，即結(jié)合面面壓越大，該處的剛度值就越大；（2）對所研究的裝配體試件進行了模態(tài)測試，通過對比試件前四階的理論模態(tài)與試驗?zāi)B(tài)發(fā)現(xiàn)，理論模態(tài)的前四階振型與試驗?zāi)B(tài)的前四階振型相似且一一對應(yīng)，前四階理論固有頻率與試驗固有頻率間的誤差在（0.7～7.2）%范圍內(nèi)，從而證明了所給建模方法的有效性；（3）所給建模方法由于在建模過程中不需要通過實驗來獲得相關(guān)建模所需參數(shù)，因此具有成本低、建模效率高、通用性好的優(yōu)點。