變徑基圓漸開線渦旋膨脹機幾何及泄漏模型的研究

彭 斌，蔣 龍

（蘭州理工大學機電工程學院，甘肅 蘭州 730050）

1 引言

對渦旋機械的研究可追溯至19世紀末，時至今日依然在不斷地進行著優化改進。其中，渦旋膨脹機作為渦旋機械的一個分支，以其優良的特性被廣泛的應用于回收余熱裝置中。對于渦旋膨脹機的優化主要集中于：幾何模型、數學模型的研究和以渦旋膨脹機為核心的低溫余熱系統的研究。

幾何模型研究方面：文獻[1-2]對等截面渦旋膨脹機的幾何模型、數學模型進行了分析研究；文獻[3]對型線結構參數進行了優化研究，得到比較適合樣機的結構參數；文獻[4]對渦旋膨脹機的性能、文獻[5]對渦旋膨脹機的泄漏損失分別作了數值計算和分析；文獻[6-7]對渦旋膨脹機的性能進行了研究。低溫余熱系統方面：文獻[8]從等截面和變截面的渦旋膨脹機的幾何模型出發，研究了渦旋膨脹機的工作腔內工質壓力、溫度和質量隨主軸轉角的實際變化規律；文獻[9]研究了除Hcfc-123以外的流體工質對小型有機朗肯循環渦旋膨脹機性能的影響；文獻[10-11]對以R245fa為工質的有機朗肯循環系統集成開式渦旋膨脹機進行了試驗研究；文獻[12]對一種用于小型發電系統的渦旋膨脹機的詳細通用動態建模和仿真方法進行了研究，提出了渦旋膨脹機和發電機的整體動摩擦系數，并通過實驗得出總動摩擦系數在10-3Nms；文獻[13]運用逆向工程和計算流體動力學（RE/CFD）的方法，對用于微型的ORC系統中的膨脹機進行了適應性研究；文獻[14]搭建了有機朗肯循環渦旋膨脹實驗系統，對渦旋膨脹機變負載工況的輸出性能進行實驗研究；通過討論不同基圓變化下的變徑基圓渦旋膨脹機的容積、泄漏線的變化規律，得到適用于渦旋膨脹機的基圓變化規律，為變徑基圓渦旋膨脹機的設計提供參考。

2 變徑基圓渦旋型線方程

變徑基圓渦旋型線，即以半徑不斷發生變化的圓為基圓所展開的型線，其基圓變化控制系數為k。變徑基圓渦旋型線的公式與圓漸開線渦旋型線的公式相似，事實上，圓漸開線渦旋型線為變徑基圓渦旋型線k=0時的特例。

變徑基圓渦旋型線的靜盤靜盤公式如下[15]：

靜盤外側漸開線公式：

靜盤內側漸開線公式：

式中：ɑ—初始基圓半徑；k—控制基圓變化系數；φ—漸開線展角；α—漸開線發生角。

動靜盤嚙合后所需最小盤徑：

式中：φe—漸開線最終展角。

膨脹起始角為：

其中，φ0可由式φ0+2φ0sin(φ0-α)+2cos(φ0-α)=(π-α)2-2求解。

當k=0時，基圓不發生變化，渦旋型線為等壁厚的圓漸開線；當k＜0時，基圓不斷變小，渦旋型線為壁厚逐漸減小的漸開線；當k＞0時，基圓不斷變大，渦旋型線為壁厚逐漸增大的漸開線，如圖1所示。分別為k=-0.06、k=0、k=0.06時所展成的漸開線。

圖1 變徑基圓渦旋型線Fig.1 Reducing Base Circular Vortex Line

3 容積計算

根據控制基圓變化系數k的選取的不同，漸開線的壁厚也發生變化，其容積也有所不同，與傳統等壁厚圓漸開線的容積求解相比，要相對復雜一些。變徑基圓渦旋膨脹機的面積求解公式如下[16]：

各工作腔的劃分，以三個腔為例，分為：第一膨脹腔、第二膨脹腔、第三膨脹腔，如圖2所示。

圖2 腔體劃分Fig.2 Cavity Partition

不考慮齒頭修正對容積的影響，得各工作腔容積為：

式中：h—齒高；i—工作腔號；θ*—膨脹起始角，其計算式為（5）。

4 泄漏

泄漏主要分為外泄漏和內泄漏，內泄漏主要是高壓腔向低壓腔進行泄漏，渦旋膨脹機的內泄漏主要分為：由軸向間隙產生的徑向泄漏和由徑向間隙產生的切向泄漏兩種泄漏，如圖3所示。對于變徑基圓渦旋膨脹機來說，這兩種泄漏都會由于k的選取不同而有所變化。

圖3 兩種泄漏的示意圖Fig.3 Schematic Diagram of Two Leaks

4.1 切向泄漏

由于徑向間隙產生的切向泄漏，其泄漏線長即渦旋齒的齒高，所以切向泄漏的泄漏線長度的計算公式為：

4.2 徑向泄漏

由于軸向間隙產生的徑向泄漏，其泄漏線長與渦旋型線長和主軸的轉角有關系，徑向泄漏的泄漏線長度計算公式為：

式中：φi、φi+1—嚙合型線的起始終止角。

5 計算與分析

根據上述各公式的推導，可以看出，對變徑基圓渦旋膨脹機的型線研究，主要涉及以下參數：初始基圓半徑ɑ、控制基圓變化系數k、漸開線展角φ、漸開線發生角α、漸開線最終展角φe、齒高h。下面在一些參數確定的條件下，研究其余參數的變化規律，如圖4所示。

圖4 盤徑隨k的變化Fig.4 Disk Diameter Changes with k

5.1 k對盤徑的影響

選取ɑ=3.2mm、α=2π/9、φe=20.41，研究不同k的取值對盤徑的影響。

如圖4可以看出，k的取值由（-0.06）增加至0.06，隨著k的增加，在其他參數一定的情況下，動靜渦旋盤嚙合盤徑呈近似線性增加。這表明，k的選取對盤徑有著正比的影響，合理的減小k的選取可以控制渦旋膨脹機的尺寸和重量。

5.2 最終展角φe與盤徑D的關系

選取ɑ=3.2mm、α=2π/9，研究最終展角φe、k、與盤徑D之間的關系，如圖5所示。由圖5可以看出，隨著盤徑D的增加，各取值的k所對應的最終展角φe都在增加，其中k的取值越小，φe的增加率越大；相同盤徑時，隨著k的取值增加，最終展角φe逐漸減小，可見在盤徑一定時，k與φe成反比。

圖5 φe-D-k關系圖Fig.5 Diagram ofφe-D-k

5.3 盤徑D一定時，k與容積vi的關系

選取D=137.41mm、ɑ=3.2mm、α=2π/9，研究在不同k的取值下，各腔容積的變化，如圖6所示。

圖6 各腔容積vi隨k的變化Fig.6 The Volume vi of Each Cavity Varies with k

由圖6可以看出，隨著k的取值不斷增加，各腔容積都有不同程度的減少，其中第三腔容積減小的幅度最大，這是由于壁厚的增加導致的。根據渦旋膨脹機的工作特點，應選取k＜0的變徑基圓渦旋型線，從而在保證強度的同時可以有較大的膨脹腔。

5.4 盤徑D一定時，k的選取對切向泄漏線的影響

切向泄漏線長即渦旋膨脹機的齒高h，選取D=137.41mm、ɑ=3.2mm、α=2π/9，研究盤徑一定時，k對h的影響，如圖7所示。

圖7 h隨k的變化Fig.7 The Change of h with k

由圖7可知，在盤徑一定的情況下，隨著k的增加，渦旋齒高不斷增大，即切向泄漏線不斷的增加，泄漏量也就隨著增加。故可以通過合理減小k的取值來減小切向泄漏。

5.5 盤徑D一定時，k的選取對徑向泄漏線的影響

徑向泄漏即渦旋型線嚙合點間的型線長，選取D=137.41mm、ɑ=3.2mm、α=2π/9，研究盤徑一定時，k對渦旋膨脹機徑向泄漏的影響，如圖8所示。

圖8 k=-0.06各腔泄漏線長隨主軸轉角的變化Fig.8 The Change of the Leak Line Length of Each Cavity with the Spindle Rotation Angle at k=-0.06

由圖8可以看出，當k=-0.06時，各腔徑向泄漏線隨著主軸轉角的變化而增加，但其增加率不再像圓漸開線渦旋膨脹機的泄漏線那樣呈線性增長，這是由于變徑基圓渦旋膨脹機渦旋型線隨著轉角不斷發生變化，導致徑向泄漏線與主軸轉角不再呈線性增長。

隨著主軸轉角的變化，如圖9所示。徑向泄漏線總長的變化趨勢是增長的，其中，k=0.06時增長的最快，其各角度時的徑向泄漏線也是最長的；k=-0.06時增長的最慢，其各角度時的徑向泄漏線也是最小的；k=0時介于前兩者之間。可見當k＜0時，可以減小渦旋膨脹機的徑向泄漏。

圖9 徑向泄漏線總長隨主軸轉角的變化Fig.9 Change of Radial Leakage Line Total Length with Spindle Angle

6 結論

（1）根據渦旋型線的嚙合原理，對變徑基圓渦旋膨脹機的型線公式進行了推導計算，討論了k的取值對盤徑D的影響和最終展角φe與盤徑D、k的關系，得到了盤徑D的變化與k的取值成正比，最終展角φe的增長率與k的取值成反比。

（2）以三個腔體為例，對變徑基圓渦旋膨脹機的腔體進行了劃分，并推導了各腔容積的計算公式，探討了在盤徑D一定的情況下，不同k的取值對各腔容積vi的影響，得出了隨著k的增加，各腔容積減少。進而得到了渦旋膨脹機應選取k＜0。

（3）對工作腔的切向、徑向泄漏進行了探討，探討了在盤徑D一定的情況下，切向泄漏線和徑向泄漏線隨k的變化規律，得出切向泄漏線長h與k的選取成正比，徑向泄漏線長Lr與k的選取成反比，同時也得到各腔徑向泄漏隨主軸轉角的變化由于基圓的改變不再呈線性變化。進而得出，渦旋膨脹機可以通過適當的選取k＜0的值，來減小泄漏。