基于冪次指數趨近律的電子節氣門變結構控制

賈東明，徐增勇，張 昊

（1.河南交通職業技術學院，河南 鄭州 450000；2.東南大學，江蘇 南京 210000）

1 引言

近年來，電子節氣門逐漸替代了傳統的拉索式節氣門，為汽車燃燒及排放控制提供了基礎保障。節氣門閥板開閉的控制與汽車的排放控制是息息相關的。節氣門一方面作為汽車發動機控制系統的關鍵部件，一方面又對內燃機的進氣量及空燃比形成了影響。因此，節氣門的控制精確程度影響到了進氣系統控制、空燃比控制、廢氣再循環控制等，并最終對排放的控制形成了影響[1-2]。

PID控制作為控制領域應用最為廣泛的控制算法自然而然地被應用于電子節氣門的控制，并成為了目前電子節氣門控制中使用最多的算法。如果被控系統能夠被準確建立數學模型，或者即使無法準確建模但系統不存在參數漂變，那使用PID算法也都是精致的。但對于電子節氣門而言，很難準確建模，即使模型建立也可能會隨著使用時間的增加而導致模型參數漂變，并且節氣門在整個工作工程中難免會受到氣流影響而產生擾動。從這些角度來講，初期能夠勝任控制精度的PID算法必然會隨著汽車使用時間的增長而逐漸導致控制精度下降[3]。

近年來，眾多國內外學者對電子節氣門的控制算法進行了研究。有的針對PID算法進行了優化，提出了模糊PID控制算法[3]。模糊PID算法主要針對傳統的PID算法在系統存在擾動及系統參數發生漂變時，原先調整好的參數無法適應新的情況從而導致控制效果變差的問題，使用模糊算法根據誤差及誤差導數來對PID參數進行自整定。但是模糊控制過程中參數的調整是基于經驗或者過程控制知識來設定的，具有一定的局限性。從而導致穩定速度變慢，無法及時整定出最佳PID參數。有的直接使用智能化算法進行控制[4-8]。文獻[9]等針對電子節氣門的開度不確定性和非線性特性，提出了一種基于滑模觀測器的控制算法，提高了電子節氣門的控制精度并降低了時間開銷，但控制系統在高頻時會產生抖振誤差。文獻[10]研究了電子節氣門的非線性遲滯特性，并針對其提出了一種基于前饋補償器的智能模糊反饋控制算法，使用模糊規則補償電子節氣門的遲滯特性，但設計的并不夠理想，所以控制效果不能達到預期的精確程度。文獻[7]提出了一種電子節氣門最優位置預測控制算法，使得控制器對節氣門各種物理參數難以辨別以及外部干擾不確定等因素的敏感度有所降低，從而提高了控制系統的魯棒性和穩定性。文獻[11]提出了基于觀測器的輸出反饋控制算法，用于解決電子節氣門系統的狀態變量不完全可測的問題。該系統由一個非線性狀態反饋控制器和一個降階觀測器組成，為了抑制跟蹤靜差在控制器中引入了跟蹤誤差的積分項。將觀測器誤差和建模誤差看作外部擾動，分析了跟蹤誤差系統的魯棒性，給出了選擇控制器參數的指導性原則，實現了節氣門的跟蹤控制。

針對電子節氣門會隨著時間推移而發生參數漂變、難以建立準確數學模型以及工作過程中存在各種擾動的情況，提出了基于冪次指數趨近率的滑模變結構控制算法，并將其應用于電子節氣門控制。最終，得出了新算法響應速度快、魯棒性強的特點。從而解決了建模不準、參數漂變、動態擾動所帶來的種種問題。

2 電子節氣門數學模型的建立

電子節氣門數學模型的建立主要包括電機、復位彈簧、齒輪減速機構、閥片摩擦扭矩等模型的建立。

2.1 電機模型

驅動電機數學模型的建立主要依據基爾霍夫電壓定律進行確定：

式中：R—電機的等效電阻；i—電機電樞通過的電流；L—線圈的等效電感；U—電機輸入的電壓；Ue—電機反向電壓。實際在電機的眾多參數中電感數值比較小，通常可以忽略不計，所以式（1）可以簡化為：

式中：kb—電機所產生的反向電動勢常數；ωm—電機旋轉的角速度。從而可以得到電機扭矩方程如下：

式中：k—電機的扭矩系數；Bm—電機的阻尼系數；Jm—電機主軸的轉動慣量—電機旋轉時的角加速度。

2.2 復位彈簧模型

為了使得電子節氣門在初始的時候能夠有一定的開度，所以在其中使用了兩個彈簧，分別是開啟彈簧和回位彈簧。當電子節氣門閥板的轉角θ大于初始位置轉角θ0時，只有返回彈簧提供力矩來保證閥板返回θ0；當閥板轉角θ小于初始位置轉角θ0時，開啟彈簧和回位彈簧同時提供相反方向的力矩，這時彈簧組的輸出力矩就是兩個彈簧的力矩之差。節氣門所受的扭矩為：

式中：KS—復位彈簧彈性系數；Tp—復位彈簧預緊力矩。

2.3 齒輪減速機構模型

電子節氣門驅動電機輸出為高轉速低扭矩，可以通過一組相互嚙合的齒輪將動力轉換為低轉速高扭矩。減速齒輪的傳動比為：

式中：ωt—電子節氣門閥板轉動的角速度。

2.4 摩擦扭矩數學模型

電子節氣門體中的摩擦力矩主要來源于粘性摩擦力矩Td和庫侖摩擦力矩Tf?？偰Σ亮豑r就是這兩種摩擦力矩之和，即：

式中：kd—粘性摩擦系數；kf—庫倫摩擦系數。

2.5 節氣門執行機構的學模型

電子節氣門閥板在運動的時候是受到多個力矩的共同作用而進行的。主要包括以下三個力矩的作用：由直流電機所提供的驅動力矩Tm是最主要的力矩、由復位彈簧產生的彈簧力矩Ts以及節氣門閥板在運動過程中所受到的總摩擦力矩Tr也參與其中。通過上述分析，我們可得出電子節氣門執行器的動力學方程如下：

式中：Jt—節氣門閥板軸的轉動慣量—節氣門閥板運動時的角加速度。將式（3）～式（6）代入上式并進一步化簡得到：

如果以節氣門轉動的角度θ作為變量，則可以得到一個二階系其統傳遞函數如下：

可將其轉化成能控能觀的狀態方程如下：

經系統辨識之后使用如下參數：

3 基于趨近率的變結構控制研究

滑模變結構算法是20世紀50年代所提出的一種可以應對非線性控制的簡單有效方法。但滑模變結構算法在提出之初由于技術條件和控制手段的限制并沒有得到廣泛的關注。近年來，隨著電腦控制速度的提升此算法開始受到了廣泛關注。

滑模變結構控制算法需要尋求滑模面，當系統被控制到滑模面后，就會被吸附，從而沿著滑模面趨近到原點。因此，滑模變結構算法是大范圍漸進穩定的。

滑模變結構算法控制率分兩個階段，第一個階段是趨近運動，即使得系統向滑模面靠攏。第二個階段是滑模運動，即系統沿著滑模面滑動到平衡點。

3.1 趨近運動的研究

趨近運動的目的是使系統運動到滑模面s=0，所以在滑模面兩側采用不同的控制方式，在滑模面上方時采用使系統朝著滑模面下方運動的方式，而在滑模面下方時采用朝著滑模面上方運動的方式。由于在滑模面上下方的控制率不同，所以稱之為變結構控制。趨近運動關系到系統運行到滑模面時的狀態，所以后來有學者開始著重研究趨近率。

式中：sgns—依據滑模面值的符號函數，即s＞0時取1，s＜0時取-1。三種趨近率都滿足＜0，即在滑模面上下方分別沿著趨近于滑模面的方向運動。

在采用等速趨近率時，系統運動到滑模面附近，只能在滑模面上下穿行，不能使得s=0，所以引發了系統的抖振。

采用指數趨近率時，其運動方程是：

在系統遠離滑模面時由s(0)e-kt起主導作用，從而快速趨近于滑模面，但是卻永遠無法到達。所以在系統靠近滑模面時由-εtsgns起主導作用，由于控制時間很短，所以t所起的作用微乎其微，主要由-εsgns主導。因此系統到達滑模面附近時也是上下穿越，所以系統振動也沒有解決。

采用冪次趨近率時，其運動方程是：

從運動方程可知，系統可以在有限時間內到達滑模面，且其在到達滑模面時運動方向是與滑模面相切的[12]，所以可以很平穩地過渡到滑模面。所以冪次趨近率從本質上解決了滑模算法的振動情況。

3.2 滑模運動的研究

在趨近運動階段，由算法保證在有限時間內到達滑模面，然后系統便沿著滑模面運動?；＿\動由所采用的滑模面函數保障。滑模面函數如式：

式中：c—可以選擇的參數；e—系統誤差。當系統運行到滑模面上則s=0，帶入式（16）之后求解微分方程可得：

從式（17）可以得到，當時間趨于無窮大時，誤差可以趨近于零。所以滑模面除了參數c之外無需設計。參數c的數值大小關系到系統誤差收斂到零的速度。

3.3 冪次指數趨近率

從上面的研究可以看出，滑模面的設計本身就保障了誤差可以趨近到零，所以不必過多去考慮。但是趨近率的設計卻決定了系統是否能夠在有限的時間內到達滑模面，以及是在滑模面上下穿行還是能真正到達。所以趨近率的研究是算法的重點。

冪次趨近率使系統能夠在有限時間內真正到達滑模面，但是在系統遠離滑模面時，其趨近速度遠遠不及指數趨近率。指數趨近率保障系統可以很快到達滑模面附近，但是最終卻在滑模面上下穿行。有學者提出采用飽和函數來代替開關函數解決抖振問題，但其本質只能讓振動減弱卻無法消除。綜合冪次趨近率和指數趨近率的優點，可得出冪次指數趨近率如式：

式（18）所示的趨近率不僅保障了系統在遠離滑模面的趨近速率，而且保證了系統能在有限時間內真正到達滑模面，并且保證了系統是以切入的方式到達。

4 冪次指數趨近率算法的應用

基于冪次指數趨近率的變結構算法可應用于電子節氣門的控制。

4.1 控制率的推導

系統的狀態方程可具體寫成：

4.2 系統仿真及分析

將系統參數帶入式（21），并取ε=10，k=50，c=15，α=0.9，r=sin（πt），系統初始狀態取[11]。進行仿真，如圖1～圖5所示。

圖1 正弦輸出跟蹤曲線Fig.1 Sine Output Tracking Curve

圖2 輸出誤差曲線Fig.2 Output Error Curve

圖3 輸出力矩曲線Fig.3 Output Torque Curve

圖4 冪次指數趨近律相軌跡曲線Fig.4 Phase Trajectory Curve of Power Exponent Reaching Law

圖5 等速趨近律相軌跡曲線Fig.5 Phase Trajectory Curve of Constant Velocity Reaching Law

實線代表的期望輸出是一正弦函數，虛線是初始位置不為0的節氣門開度在控制算法作用下對期望函數的跟蹤曲線，如圖1所示。可以看出，在很短的時間內即可使得輸出誤差趨近于零，從而精確跟蹤期望曲線。輸出誤差曲線，更加明確地顯示了誤差趨于零的過程，如圖2所示。輸出力矩曲線，顯示出系統為了使得節氣門實際開度跟蹤期望開度而不斷改變的電機力矩，如圖3所示。相軌跡曲線，其中虛線是相平面，它是經過誤差及誤差導數均為零的一條直線，是滑模變結構控制的核心，控制實施的目的是使得系統實際輸出相軌跡曲線能在有限時間內達到相平面，并沿著相平面運動到零點，從而使得誤差及誤差導數均為零，實現期望輸出的完美跟蹤，如圖4、圖5所示。使用等速趨近律的相軌跡曲線，如圖5所示。可以看出，系統在到達相平面之后并沒有平滑運動，而是在相平面上下穿行，使得誤差在正負數據之間不斷改變，反應在被控元件上就是電子節氣門閥板的不斷抖動。所使用的冪次指數趨近律變結構控制算法，如圖4所示。它解決了圖5的缺陷，使得系統在切入相平面后平滑運動到誤差為零處，解決了抖動問題。

5 算法的魯棒性研究

則可以得出函數導數小于零的結論，所以算法的穩定性是能夠得到保障的。但是當系統存在建模誤差、系統漂變或者外界擾動時，控制器的魯棒性是否能夠得到保障則是需要進行研究的。很多學者在系統中增加了擾動，然后建立了帶擾動的李雅普諾夫函數來求證系統的魯棒性。但我們知道，在尋找李亞普諾函數時，充滿了技術性[13-14]。因此，這里力圖在不尋找李雅普諾夫函數的條件下對控制器的魯棒性進行分析。

5.1 基于微分方程求解的魯棒性分析

控制系統在進行控制時是分為趨近運動和滑模運動的，當我們設計了冪次指數趨近率后，又將趨近運動分為兩個階段，即遠離滑模面的趨近運動和靠近滑模面的趨近運動。我們探索控制器魯棒性時也分別對這三個階段進行分析。

設系統存在各種建模誤差、參數漂變和外界擾動，則式（20）可表示為：

式中：Δ1、Δ2、Δ3—系統的建模誤差及參數漂變的和；Δu—外界擾動量。將這四項綜合為Δf(t)可表示成：

其中，Δf(t)=Δ1x1+Δ1x2+Δ3u+Δu

由于在設計控制律時并沒有考慮Δf(t)的存在，所以控制率依然使用式（22），但此時的系統已經變化成為式（25）。我們用不變的控制率來控制變化后的系統，所以將式（22）、式（25）、式（21）聯立得：

系統運動第一階段，即從遠離滑模面向靠近滑模面運行時，ks將起到主導作用，這時求解微分方程：

將式（28）、式（29）帶入式（27）得：

設Δf(t)有界，即：| -Δf(t)|＜F

式中：F—一正常數，則：

其中C1也是與初始位置相關的常數。將式（30）代入式（28）得：

由式（31）可以看出，系統會隨著時間的推移而運行到滑模面附近，而靠近的程度由綜合擾動的極限區間值F和趨近率中的參數k共同決定。所以，適當的增大參數k不僅可以保證趨近的速度，而且可以保證趨近的程度。

系統運動到第二階段，即系統在靠近滑模面之后，原來設計的運動方程式（15）使得s值非常小，這時整個運動由綜合擾動所影響，原設計的趨近率將由綜合擾動所控制，即：

t2-t1代表積分時間差，差值越大將使得s越大，也即遠離滑模面。但當離開滑模面超過一定值時，則又自動進入第一階段。所以當擾動存在時，控制器由第一階段使得系統靠近滑模面，第二階段使得系統在短期內處于滑模層內。

第三階段，即系統朝著相平面原點的運動階段，也就是使得系統朝著輸出誤差和誤差導數均為零的方向滑動的階段。既然在第一、二階段沒有使得系統切入滑模面，那么第三階段的運動問題就值得討論。第三階段由式（16）所決定，所以：

其中，C2是一積分常數，從式(34)可以看出，e的第一項決定了系統最終的輸出誤差。如果綜合擾動是有界的，則即使系統無法真正到達滑模面，最終也能使得輸出誤差被控制到一定范圍。且可以通過增大kc值，來使得輸出誤差趨于零。

5.2 加入綜合擾動后的仿真

為了驗證上面得出的結論，需要在系統中加入綜合擾動來進行分析。在控制器參數均不改變的情況下，加入綜合擾動Δf(t)=Asin(πt)。當幅值A比較小時系統能夠得到很好的控制效果。隨著幅值的增大，輸出誤差會逐漸增大，為了得到明顯的結論，我們選擇A=300，帶擾動的正弦輸出跟蹤曲線，如圖6所示。

圖6 帶擾動的正弦輸出跟蹤曲線Fig.6 Sin Output Tracking Curve with Disturbance

圖6可以看出，當使用了較大的擾動之后，期望輸出值和實際輸出值之間的差值變大。圖7更加明顯地顯示出了誤差的變化情況?？梢钥闯觯`差無法穩定到零，也即無法實現閥板運動精確跟蹤。相軌跡曲線揭示了這一運動的本質情況，如圖9所示。即輸出相軌跡曲線在運動過程中無法正真到達相平面，并且在零點附近做重復的圍繞運動。當然，誤差增大的原因是由于采用了較大的擾動，但我們仍可以通過前面的分析而找到解決的方案。從式（34）可以看出，k、c數值的改變可以改變最終誤差e的大小。我們選擇k=150，c=50之后得到，如圖10、圖11所示。圖10可以看出，參數增大之后明顯增加了系統的魯棒性，可以使得誤差值明顯減小，而且提高了響應的速度。圖11的相軌跡曲線可以看出，輸出相軌跡曲線可以很好地切入相平面并運行到原點附近，在原點附近做小范圍波動。

圖7 帶擾動的輸出誤差曲線Fig.7 Disturbed Output Error Curve

圖8 帶擾動的輸出力矩曲線Fig.8 Disturbed Output Torque Curve

圖9 帶擾動的冪次指數趨近律相軌跡曲線Fig.9 Phase Trajectory Curve of Power Exponent Reaching Law with Perturbation

圖10 修改參數后的正弦輸出跟蹤曲線Fig.10 Sine Output Tracing Curve after Modifying Parameters

圖11 修改參數后的冪次指數趨近律相軌跡曲線Fig.11 The Curve of the Phase of Exponential Reaching Law after Podifying Parameters

以上分析可以看出，當設計之初把參數調大之后就增加了系統的魯棒性，并提高了響應速度。

5.3 傳統PID控制算法對比

傳統的PID控制由于算法簡單有效而被廣泛應用于工業實踐。但PID算法無法有效應對參數漂變、建模誤差及各種擾動而在電子節氣門控制中顯示出了局限性。首先針對狀態方程（10）及辨識的參數使用PID算法進行控制，經參數調整后得到仿真結果，如圖12所示。然后加入綜合擾動Δf(t)=Asin(πt)，選擇A=140后進行仿真，得到結果，如圖13所示。從圖12可以看出，傳統PID控制算法在參數選擇之后，其控制的精度及響應的速度都是理想的。圖13可以看出，當系統加入擾動之后，其控制效果明顯變差。使用冪次指數趨近律的變結構控制可在控制初期先加大參數，從而解決此問題。但PID控制卻為了適應初期的系統而設定好了參數，當系統發生改變時無法再改變參數，因此控制效果變差是不可避免的結果。

圖12 PID控制正弦輸出跟蹤曲線Fig.12 Sine Output Tracking Curve of PID Control

圖13 帶擾動的PID控制正弦輸出跟蹤曲線Fig.13 Sine Output Tracking Curve of PID Control with Disturbance

6 結論

電子節氣門的控制精度與內燃機的排放控制息息相關，其在使用過程中存在建模不準確、參數漂變、外界擾動的情況，導致傳統的控制方案無法應對。提出了基于冪次指數趨近律的變結構控制，并對冪次指數趨近律進行了分析。說明了冪次指數趨近律保證了系統能在有限時間內真正到達滑模面，并且保證了系統是以切入的方式到達而避免了抖動。通過冪次指數趨近律變結構控制在電子節氣門上的仿真分析得出了控制精度高響應速度快的結論。提出了通過求解微分方程分三階段討論冪次指數趨近律變結構控制算法魯棒性的方法，并得出了新算法魯棒性強的結論。求解微分方程來分析魯棒性避免了李雅普諾夫函數的尋找，使得問題變的更加簡單。通過使用傳統PID控制算法進行仿真比較，直觀地表明了新算法的優點，說明了新算法不僅保障了電子節氣門的控制精度，而且能保證系統在存在有界建模誤差、參數漂變及擾動的情況下依然具有良好的魯棒性及控制精度。