基于等效線性化方法的非線性振動能量采集器功率分析

李佳誠， 王志霞, 2， 王 煒, 2， 王 辰

(1. 天津大學(xué) 機械工程學(xué)院，天津 300350； 2. 天津市非線性動力學(xué)與控制重點實驗室， 天津 300350； 3. 香港理工大學(xué) 土木與環(huán)境工程系， 香港 999077)

近年來，以便攜式通信系統(tǒng)、無線傳感器網(wǎng)絡(luò)為代表的低功耗電子技術(shù)取得了長足的發(fā)展，在人們的日常生產(chǎn)活動中發(fā)揮著日益重要的作用。與此同時，考慮到很多無線傳感器都工作在傳統(tǒng)電力網(wǎng)絡(luò)不能直接提供電能的區(qū)域，而采用電池供電又無法實現(xiàn)“永久化”的長效運行模式，進而成為制約這些設(shè)備進一步廣泛應(yīng)用的瓶頸。因此，如何有效地從環(huán)境中獲取能量，擺脫傳統(tǒng)供給方式的束縛，為眾多無線傳感器和低功耗電子設(shè)備提供可靠、安全且免維護的電力來源，就成為科研人員關(guān)注的焦點問題。

作為環(huán)境能量的主要形式之一，振動能不受溫度、尺度等條件的制約，具備成為可靠能量來源的基本要素。目前的振動能量采集器按照工作原理不同，可分為電容式、壓電式和電磁式三種；其中電磁式振動能量采集器(electromagnetic vibration energy harvester, EMH)具有低頻性能好、發(fā)電量大、無需驅(qū)動電源等特點，特別適用于低頻環(huán)境下(小于150 Hz)能量采集。

在工作原理方面，EMH主要是利用法拉第電磁感應(yīng)定律，結(jié)構(gòu)中包括永磁體和感應(yīng)線圈繞組。在外界激勵作用下，永磁體與線圈之間產(chǎn)生相對運動，導(dǎo)致線圈中的磁通量發(fā)生變化，從而產(chǎn)生感生電動勢。然而，在實際應(yīng)用過程中，研究人員卻發(fā)現(xiàn)，為確保EMH實現(xiàn)最佳的能量轉(zhuǎn)化效果，一方面需要使其盡可能地工作在振子的諧振頻率附近，另一方面還需要對結(jié)構(gòu)參數(shù)進行優(yōu)化，只有使振動、感生、儲能各環(huán)節(jié)相互協(xié)調(diào)，才能達到最佳的能量采集效果。因此，如何尋求有效手段來提高采集器的頻帶寬度，同時實施全面的參數(shù)優(yōu)化工作，成為了EMH設(shè)計、應(yīng)用過程中亟待解決的核心課題。

具體而言，傳統(tǒng)的EMH以線性振子為主，如：Williams等[1]就利用薄膜振動的原理，設(shè)計了最初的EMH模型，還基于線性振子的思想結(jié)合有限元方法對結(jié)構(gòu)進行了優(yōu)化；王佩紅[2]應(yīng)用Maxwell較早開展了EMH的設(shè)計優(yōu)化工作，研究了永磁體及各種結(jié)構(gòu)參數(shù)與最大輸出電壓和輸出功率之間的關(guān)系，從而為實際器件的加工制作提供了可靠的參考依據(jù)；李志宏等[3]設(shè)計了一種復(fù)合式能量采集模型，利用傳遞函數(shù)推導(dǎo)出了壓電式和電磁式復(fù)合采集器的功率表達式，并研究了負載參數(shù)變化對于功率的影響。

雖然線性振子比較易于實現(xiàn)系統(tǒng)的功率分析、確定最優(yōu)參數(shù)的取值范圍，但是由于其工作帶寬有限，當外界激勵遠離諧振頻率時，振幅顯著減弱，并伴隨著輸出電壓陡然下降，難以起到有效的能量采集效果。因此，需要采用非線性手段達到增加帶寬、提高振幅、改善輸出效果的目的。在非線性能量采集器方面，武麗森等[4]提出了一種新型的非線性壓電-電磁復(fù)合式結(jié)構(gòu)，其基本原理在振動磁鐵的上下各固定一個磁鐵，利用磁鐵相互作用的非線性力來改善俘能效果，試驗結(jié)果顯示當在磁鐵間距為2.5 mm時，電磁單元最佳負載為18 Ω，3 dB帶寬為15πrad/s；代顯智等[5]利用等效磁荷理論，計算了結(jié)構(gòu)振動時受到的磁力，并采用數(shù)值手段對其進行參數(shù)擬合，由此研究了采集器的非線性振動特性，并且討論了定量分析的誤差產(chǎn)生原因。

雖然在采集器中引入非線性因素可以達到增加帶寬、改善輸出效果的目的[6-16]，但隨著非線性手段的引入，系統(tǒng)的控制方程也變得更為復(fù)雜，這無疑增大了功率分析、參數(shù)優(yōu)化的難度。另一方面，學(xué)者們提出了獲取最大電流或電壓兩種不統(tǒng)一的功率優(yōu)化方案。如：Yan等[17]建立了雙穩(wěn)態(tài)多永磁電磁能量采集器理論模型，并用諧波平衡法求出解析解，再通過數(shù)值模擬和試驗研究了激勵頻率、激勵幅度、勢阱電阻和勢阱形狀對最大電壓的影響，但所采用的諧波平衡法的精度不夠高，造成理論分析結(jié)果和數(shù)值模擬結(jié)果誤差較大。Kecik[18]研究了非線性偽磁懸浮能量采集系統(tǒng)，利用Matlab自帶ODE程序求解非線性方程并詳細介紹了偽磁懸浮物理參數(shù)(振幅激勵、負載電阻和耦合系數(shù))對位移響應(yīng)和最大電流的影響，但由于非線性因素的存在，Kecik只選取幾個特定的參數(shù)值進行研究。

為深入研究上述復(fù)雜非線性因素對采集器振動特性的影響，進而形成更為便捷，精度更高的功率優(yōu)化方案，本文提出了一種基于等效線性化思想[19]的非線性EMH穩(wěn)態(tài)響應(yīng)計算、采集器功率分析的方法。首先，將動態(tài)頻率法[20]拓展至1.5自由度強非線性復(fù)雜振動系統(tǒng)，考慮復(fù)雜非線性因素、周期激勵作用下，計算出系統(tǒng)的動態(tài)頻率與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。文獻[20]表明，較之傳統(tǒng)的諧波平衡法，動態(tài)頻率方法可以更為高效、精確地處理強非線性復(fù)雜振動問題。其次，在系統(tǒng)的能量方程中，利用動態(tài)頻率進行Fourier級數(shù)展開，將第一階諧波成分之外的部分視為與其等效線性化系統(tǒng)相對應(yīng)的高頻外激勵，借助諧波平衡的觀點，確定相關(guān)諧波項的系數(shù)；該等效線性化方程的解則對應(yīng)于原有非線性系統(tǒng)的解，與基于弱非線性系統(tǒng)平均法獲得的線性化系統(tǒng)相比，其求解精度更高。最后，利用傳遞函數(shù)開展針對EMH等效線性化系統(tǒng)的輸出功率分析，討論系統(tǒng)負載等關(guān)鍵參數(shù)變化對于最大功率的影響，從根本上克服了非線性因素存在對于優(yōu)化策略的負面影響。實現(xiàn)了引入非線性成分、有效擴大帶寬，與降低參數(shù)優(yōu)化復(fù)雜性、充分發(fā)揮結(jié)構(gòu)設(shè)計優(yōu)勢之間的平衡。

1 EMH的數(shù)學(xué)模型

如圖1所示，采用懸臂梁結(jié)構(gòu)EMH，整體上由振動環(huán)節(jié)和電路環(huán)節(jié)兩個部分組成[21-23]，其中：振動環(huán)節(jié)采集環(huán)境中的機械能，電路環(huán)節(jié)將機械能轉(zhuǎn)化為電能并加以儲存，以達到向外界輸出電能的功能。以下分別從上述兩方面建立EMH的通用化數(shù)學(xué)模型。

1.1 振動環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型

如圖2所示，EMH的拾振部分可以簡化為一個機械彈簧-質(zhì)量塊-阻尼器組合而成的物理模型，此處的非線性因素包括磁力非線性和阻尼非線性[24]，采用Ansoft Maxwell進行磁力仿真，如圖3和圖4所示，七次多項式就可以很好地擬合仿真數(shù)據(jù)

(1)

式中：u為質(zhì)量塊位移；bn為磁力系數(shù)。

(a) 三維物理模型示意圖

(b) 俯視圖圖1 EMHFig.1 EMH

圖2 EMH拾振環(huán)節(jié)力學(xué)簡化模型Fig.2 Simplified mechanical model of the EMH

圖3 非線性磁場力擬合曲線Fig.3 Nonlinear magnetic force fitting curve

圖4 擬合余差圖Fig.4 Fitting residual diagram

(2)

考慮式(1)可得系統(tǒng)通用化的非線性振動方程

(3)

式中：my″(t)=AΩ2cosΩt，F(xiàn)e=βI，分別為外界激振力與電磁線圈產(chǎn)生的恢復(fù)力；除此之外，m為模型質(zhì)量，c1為阻尼系數(shù)，c2為非線性阻尼系數(shù)，k為剛度系數(shù)，β為機電耦合系數(shù)，I為流過負載的電流。

對式(3)進行化簡，得到如下的簡化方程

(4)

1.2 電路環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型

圖5 EMH等效電路模型Fig.5 Equivalent circuit model of the EMH

根據(jù)基爾霍夫電流定律建立上述等效電路的0.5自由度方程

(5)

并進行簡化，可得：

(6)

綜合方程式(4)和(6)，可得EMH機電耦合系統(tǒng)1.5自由度非線性形式控制方程

(7)

其中：較為豐富的非線性形式，為拓展后續(xù)定量分析提供了通用化的研究基礎(chǔ)。

2 基于動態(tài)頻率方法的等效線性化分析

為準確把握非線性因素對振動特性的影響，本文采用動態(tài)頻率方法計算其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。該方法最初用于單自由度強非線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)計算與全局動力學(xué)分析，其總體求解思路是：在系統(tǒng)的機械能表達式之中引入一個待定的動態(tài)頻率項，考慮系統(tǒng)中非線性因素對周期響應(yīng)頻率的影響，而后利用能量平衡的方法得到一系列包含未知量的代數(shù)方程組。與常規(guī)的非線性振動問題分析方法不同，此處得到的動態(tài)頻率為一個關(guān)于時間變量t的函數(shù)，既有效地體現(xiàn)了系統(tǒng)中強擾動量的影響，又簡化了復(fù)雜系統(tǒng)漸近解的求解過程，且極易實現(xiàn)程序化。在此基礎(chǔ)上開展的等效線性化分析，將成為本文非線性EMH功率優(yōu)化、參數(shù)分析的主要途徑。

2.1 動態(tài)頻率方法求解系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)漸近解(Ω≈ω1，0)

為獲取方程(4)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，本文首先將文獻[20]中提出的動態(tài)頻率方法拓展至與式(7)類似的1.5自由度系統(tǒng)。以系統(tǒng)在平衡位置的周期運動為研究對象，給出方程(4)解的表達式

(8)

諧波分析過程中基頻項在解的傅里葉函數(shù)展開式中占主要部分，考慮到高階諧波項前的系數(shù)相比于基頻項為小量，且將非線性因素對基頻的影響以動態(tài)頻率ω(t)的形式給出，因此式(8)可以表示為

(9)

將式(9)代入到式(6)求解出I的表達式

(10)

將式(4)轉(zhuǎn)換為能量方程

(11)

式中，E0表示一個周期內(nèi)的平均能量。

將式(9)和式(10)代入式(11)，積分并且整合方程中低于p階的δ冪級數(shù)，可以得到相應(yīng)的第p階能量方程

O(δk+1)

(12)

其中：對于一階近似，可以令式(12)中的p=1。

將方程左右兩側(cè)展開成為關(guān)于三角函數(shù)(sinT, cosT)的多項式,并將cosT的高階項通過三角變化為sinT的高階項，只保留含有cosT的一階項，然后平衡方程兩側(cè)的三角函數(shù)同類項，便可得到一個關(guān)于未知變量的代數(shù)方程組，具體的平衡過程包括如下六個步驟：

(13)

聯(lián)立上述代數(shù)方程組可以確定式(9)中的未知量。同時，上述平衡過程，并不會因為系統(tǒng)中非線性項的差異而發(fā)生變化，因而相較于諧波平衡法或者其它定量分析方法具有比較明顯的應(yīng)用優(yōu)勢。

2.2 等效線性化系統(tǒng)

對非線性系統(tǒng)式(7)進行等效線性化處理，采用與文獻[19]類似的方法，引入高階諧波組合項替代方程中的復(fù)雜非線性項形式，同時保留以待定固有頻率ω1,0為基礎(chǔ)的系統(tǒng)線性項部分，可得：

(14)

式中：γ1是等效阻尼系數(shù)；γ2是等效機電耦合系數(shù)；γ3是等效激勵幅值；γ4是平衡常數(shù)；w是等效電流；Γi,0和Γ0,i為諧波項系數(shù)。顯然，式(14)中的線性項系數(shù)較之原有非線性系統(tǒng)具有更為直觀的物理意義，也便于經(jīng)由傳遞函數(shù)開展后續(xù)功率分析。

以能量方程為基礎(chǔ)給出系統(tǒng)式(14)的能量方程

(15)

3 EMH輸出功率分析

等效線性化處理之后，EMH機電耦合系統(tǒng)可視為如下1.5自由度線性黏性阻尼系統(tǒng)

(16)

其中：激勵成分f″(t)源自于等效后的外界激勵與諧波項

(17)

(18)

對式(18)中的電流方程作拉氏變換

sW(s)+ReW(s)+kesX(s)=0

(19)

可解電流W(s)的表達式

(20)

對式(18)中的振動方程做拉氏變換并代入式(20)，可得：

(21)

簡化式(21)，可得：

X(s)=H(s)F″(s)

(22)

式中，傳遞函數(shù)H(s)為

(23)

阻抗Z(s)為

(24)

由于形式上系統(tǒng)式(18)是線性方程，滿足線性疊加原理，因此將輸入f″(t)分解為各階諧波激勵，再利用傳遞函數(shù)獲取位移響應(yīng)X(t)

(25)

其中： 系數(shù)γ1,γ2,γ3,γ4的解析表達式比較復(fù)雜，此處并未列出。

為最大化系統(tǒng)的輸出功率，首先從式(25)的線性系統(tǒng)位移響應(yīng)出發(fā)計算系統(tǒng)的最大位移，而后代入式(20)確定最大電流值Wm

(26)

并由此獲取系統(tǒng)的最大平均輸出功率Pam表達式

(27)

其中：式(27)忽略了高階諧波成分的影響。結(jié)果與文獻[28]得到的功率表達式類似。

4 數(shù)值仿真分析

為驗證本文方法的有效性，此處采用數(shù)值方法對原有非線性系統(tǒng)式(7)與等效線性化系統(tǒng)式(16)進行對比，其中數(shù)值模擬的參數(shù)大小如表1所示。結(jié)果如圖6，7所示：等效線性化方程的數(shù)值解與原方程數(shù)值解吻合得較好，且一階近似的等效線性化方程與原方程的余差已經(jīng)很小；同時，二階近似結(jié)果可以顯著提高等效線性化系統(tǒng)的擬合精度。

表1 等效線性化方法的模擬參數(shù)

圖6 系統(tǒng)(7)相圖對比Fig.6 Comparison of system (7) phase diagram

此時傳遞函數(shù)H(s)的波特圖與瞬態(tài)響應(yīng)曲線如圖8和圖9所示，該系統(tǒng)是穩(wěn)定的正阻尼系統(tǒng)，且其無阻尼固有圓頻率數(shù)值為1.56，共振圓頻率數(shù)值是1.47。

利用式(27)畫出最大平均功率Pam的幅頻曲線如圖11所示，從圖中可以看出功率最大點的固有圓頻率數(shù)值大約為1.38與圖8中得到的系統(tǒng)共振圓頻率數(shù)值1.47相差0.09。故可將共振點圓頻率ω1,0作為功率最大點便于后續(xù)計算，式(27)可化為

(a) u

圖7 等效線性化方程解與原方程解的余差曲線

圖8 傳遞函數(shù)H(s)波特圖Fig.8 Transfer function H(s) Bode plot

圖9 系統(tǒng)瞬態(tài)運動曲線Fig.9 System transient motion curve

圖10 系統(tǒng)(16)相圖對比Fig.10 Phase diagram comparison of system (16)

(28)

5 試驗參數(shù)理論分析

5.1 試驗裝置

試驗流程如圖12所示。信號發(fā)生器產(chǎn)生的余弦信號經(jīng)過功率放大器及SPEKTRA激振器作用于樣機，迫使懸臂梁帶動磁鐵振動，從而磁場能夠切割線圈，產(chǎn)生電流。

圖13為EMH樣機和試驗裝置示意圖。樣機主要包括NdFeB35磁鐵，線圈由高導(dǎo)電的漆包線組成(N=480圈)，懸臂梁由鈹青銅材料組成。試驗裝置主要由信號發(fā)生器，信號功率放大器，激振器，位移傳感器，加速度傳感器，數(shù)據(jù)處理儀等組成。

圖11 固有圓頻率Ω與最大平均功率Pam的關(guān)系曲線Fig.11 Relation curve between natural circular frequency Ω and maximum average power Pam

圖12 試驗流程Fig.12 The test procedure

1. 能量采集器； 2. 激振器； 3. 激光位移傳感器； 4. 交流電阻箱； 5. 計算機； 6. 信號分析儀； 7. 電荷放大器； 8. 信號發(fā)生器；9. 功率放大器圖13 試驗裝置和EMH樣機圖Fig.13 Test setup and prototype of the EMH

5.2 試驗結(jié)果

由功率表達式(28)可以計算電磁單元的最大平均輸出功率Pam。這里采用的非線性能量采集器的結(jié)構(gòu)參數(shù)如表2所示。此處主要討論負載電阻,機電耦合系數(shù)與系統(tǒng)最大平均功率Pam之間的關(guān)系。

如圖14所示，結(jié)構(gòu)動態(tài)響應(yīng)的非線性和激勵強度密切相關(guān)。激勵加速度增大的過程中，結(jié)構(gòu)的非線性現(xiàn)象越明顯。從試驗頻響曲線可知，在0.2g激勵條件下，結(jié)構(gòu)響應(yīng)接近線性結(jié)構(gòu)響應(yīng)；0.5g激勵條件下，產(chǎn)生明顯的軟特性響應(yīng)，即幅頻曲線向低頻偏移，同時響應(yīng)幅值也會增加；1g激勵條件下，幅頻曲線進一步向低頻偏移，幅值進一步增加，非線性現(xiàn)象更明顯。當外界激勵為1g時，此時的諧振頻率大約為11 Hz,基于式(29)

ω=2πf

(29)

得到系統(tǒng)的諧振圓頻率ω≈69.12 rad/s，再根據(jù)式(13)算出的ω1，0為71.48 rad/s，與實驗測試相差2.36 rad/s。

根據(jù)式(26)可以求出諧振時EMH收集到最大電流為2.03 mA，而試驗測得最大電壓為31.04 mV，如圖15所示，轉(zhuǎn)換成最大電流為1.94 mA。由于振動時磁鐵運動路徑中磁場分布不均勻，所以輸出電壓呈現(xiàn)非線性的特征。

表2 非線性能量采集器試驗參數(shù)

圖14 不同加速度下樣機的幅頻曲線Fig.14 Amplitude frequency curves of the prototype under different accelerations

圖15 諧振時電壓輸出波形Fig.15 Resonance voltage output waveform

當負載電阻趨近線圈電阻時，功率越接近最大值。設(shè)置外界激勵圓頻率為69.12 rad/s，線圈電阻為16 Ω，通過調(diào)節(jié)電阻箱改變負載電阻，此時負載R與最大平均功率Pam的關(guān)系如圖16所示，負載的最大功率點大約16 Ω左右，此時最大平均功率為31.01 μW。

圖16 負載R與最大平均功率Pam的關(guān)系曲線Fig.16 Relation curve between load R and maximum average power Pam

機電耦合系數(shù)β取決于線圈結(jié)構(gòu)和磁通量密度[29]，如式(30)所示

β=NBL

(30)

式中：N為線圈匝數(shù)；B為磁通量密度；L為線圈長度。試驗通過增加線圈匝數(shù)來增大機電耦合系數(shù)，由圖17可知，隨著機電耦合系數(shù)β的增大，功率也隨之增大，且對功率的影響程度很大。

圖17 機電耦合系數(shù)β與最大平均功率Pam的關(guān)系曲線

為了驗證樣機的輸出特性，將其與近幾年報道的電磁式振動能量采集器相對比。如表3所示，相較于其它的采集器，本文搭建的電磁式能量采集器能夠在低頻環(huán)境下，產(chǎn)生較滿意的能量輸出。

表3 當前文獻報道的電磁式能量采集器性能比較

6 結(jié) 論

本文提出了一種基于等效線性化方法的非線性EMH功率優(yōu)化分析策略。該方法有效地克服非線性因素對于EMH輸出功率分析的負面影響，從而有效地提高了分析問題的效率，并且采用數(shù)值模擬以及試驗手段驗證了相關(guān)分析結(jié)果的有效性。本文的主要工作和結(jié)論如下：

(1) 以動態(tài)頻率方法為基礎(chǔ)可以開展通用化復(fù)雜非線性問題的研究，且此方法具有較高的求解精度；與此同時其分析結(jié)果又可以成為后續(xù)定量研究的理論基礎(chǔ)，因而具有廣泛的適用性。

(2) 利用等效線性化手段，可以弱化系統(tǒng)中的非線性因素，在近線性結(jié)構(gòu)中更為直觀地討論關(guān)鍵參數(shù)變化對于系統(tǒng)振動特性的影響，將復(fù)雜的非線性分析簡單化。本文據(jù)此開展了非線性EMH的功率分析工作，結(jié)合傳遞函數(shù)，有助于形成統(tǒng)一、便捷的非線性振動能量采集器功率研究途徑。

(3) 等效線性化處理可以提高復(fù)雜非線性問題的分析效率，所得諧波項系數(shù)，在低階近似時可以獲得明確的解析表達式，也便于討論其與原有系統(tǒng)參數(shù)之間的關(guān)系；而取高階近似時，該系數(shù)就會變得比較復(fù)雜，因此如何在提高精度的同時降低復(fù)雜性仍是后續(xù)值得關(guān)注的科學(xué)問題。另一方面本文僅以特定的采集器試驗?zāi)Ｐ蜑檩d體進行驗證，并未采用更為小型化和高功率的采集器結(jié)構(gòu)，后續(xù)需借助等效線性化理論制定優(yōu)化策略來提高能量采集器效能。