考慮溫升梯度影響的表貼式高速永磁電機轉子強度分析

2022-01-27 14:15:20陳亮亮馮驚鴻祝長生伍家駒李志農

振動與沖擊 2022年1期

陳亮亮，馮驚鴻，熊茹，祝長生，伍家駒，李志農

(1. 南昌航空大學無損檢測技術教育部重點實驗室，南昌 330063； 2. 南昌航空大學信息工程學院，南昌 330063；3. 國網江西省電力有限公司供電服務管理中心，南昌 330077； 4. 浙江大學電氣工程學院，杭州 310027)

表貼式高速永磁電機具有結構簡單、效率高、功率密度高等優點，在壓縮機、飛輪儲能、高速離心機、高速機床等領域應用廣泛[1-2]。高剩磁、高矯頑力以及高磁能積的稀土永磁材料廣泛應用于高速永磁電機[3]。表貼式永磁電機的永磁體結構主要有整體式和分塊式兩類。與分塊式結構相比，整體永磁體具有結構簡單、便于加工、機械強度高等優點，但其永磁材料的利用率相對較低。整體結構的永磁體又可進一步分為實心圓柱結構及空心圓環結構。

稀土永磁材料的抗壓強度較大而抗拉強度很小，而電機高速運行時將產生強大的離心力，其性質為拉力，巨大的離心力容易破壞永磁體，因此，需要在永磁體外設置高強度的保護套。高強度保護套主要有復合材料及非導磁金屬材料兩類，常用的復合材料有碳纖維和玻璃纖維，而常用的非導磁金屬材料則有鈦合金及高強度合金鋼等。復合材料護套為各向異性材料，非導磁金屬護套則可看作各向同性材料[4-5]。與復合材料護套相比，非導磁金屬護套的強度分析過程相對簡單、精度高，且易于永磁體的散熱，有助于避免永磁體過熱而退磁，但也存在渦流損耗的問題[6-8]。

實際中，常采用有限元法和解析法對高速永磁電機的轉子強度進行分析，確保電機在高速運行狀態下永磁體內的應力能夠滿足要求。有限元法精度高，但建模困難，計算量大[9-11]。解析法具有計算量小、效率高、適合轉子強度的優化設計等優點，但解析解的推導較為困難，尤其是復雜結構轉子的解析解[12]。

針對碳纖維復合材料護套固定的永磁轉子的強度解析計算問題，文獻[13-15]進行了研究。Binder等[13]提出了碳纖維護套圓柱型永磁轉子的環向應力及接觸壓強的解析解，該解析解未考慮材料各向異性及轉子發熱的影響。同時考慮碳纖維材料各向異性及轉子溫度等因素對轉子應力的影響，陳亮亮等[14]研究了碳纖維護套圓環型永磁轉子的強度解析解。針對表貼式高速永磁電機在高速高溫工況下的轉子強度分析問題，劉威等[15]提出考慮軸間填充物的電機轉子強度的解析模型。

文獻[16-20]研究了非導磁金屬護套固定的永磁轉子的強度解析建模問題。Borisavljevic 等[16]提出了非導磁金屬護套圓柱型永磁轉子的應力解析解。忽略轉子發熱的影響，王繼強等[17]和程文杰等[18]提出了圓柱及圓環兩種整體永磁轉子的強度解析解，并通過有限元法驗證了解析解的有效性。張超等[19]從平面應變的角度研究了非導磁金屬護套保護下圓環型永磁體轉子的強度解析解。針對分塊永磁轉子的強度分析問題，陳亮亮等[20]提出了未考慮溫度影響的強度解析解。

忽略永磁體溫升對轉子強度的影響，張鳳閣等[21]分析了非導磁金屬護套和碳纖維護套兩種保護方式下圓柱型整體永磁轉子的強度解析解。針對含極間填充塊的分塊結構永磁轉子，Chen等[22]提出了非導磁金屬護套及碳纖維護套永磁轉子的強度解析解的統一模型。

已有的轉子強度解析解在考慮溫度影響時通常近似認為轉子各部分的溫度相同，把轉子溫升看作常數，然而在工程實際中轉子內的溫度往往是不均勻的，溫度沿徑向呈梯度分布，即轉子溫升存在一定的梯度。Du等[23]采用有限元法研究了轉子溫升梯度對分塊永磁轉子應力的影響，結果表明，如果把轉子溫升看作常數，則永磁體的應力計算結果將產生13.3%的誤差。因此，轉子強度解析解需要進一步考慮轉子溫升梯度分布的影響。此外，在以往的研究過程中，主要采用有限元法對解析解進行驗證，缺乏電機高速運行的試驗驗證。

針對存在溫升梯度的轉子強度分析問題，本文基于彈性力學中的平面應力模型，推導了永磁轉子徑向位移、徑向應力、環向應力以及等效Mises應力的解析解，并分別通過有限元仿真及電機高速運行試驗對解析解的有效性進行驗證。在此基礎上，進一步深入分析護套厚度、過盈量、轉速及溫度等參數對轉子強度的影響，總結非導磁金屬護套整體永磁轉子強度的變化規律。

1 轉子結構

圖1所示為非導磁金屬護套圓環型永磁轉子的結構，轉子主要包括永磁體、轉子鐵芯及非導磁金屬護套三個部分。轉子各部分的尺寸標注如圖2所示，Ror為轉子鐵芯的外半徑；Rim和Rom為圓環型永磁體的內半徑及外半徑；Ris和Ros為非導磁金屬護套的內半徑及外半徑。為了使永磁體免受高速離心力的破壞，永磁體與非導磁金屬護套間常采用過盈配合。

圖1 永磁轉子結構Fig.1 Structure of the PM rotor

圖2 轉子尺寸標注Fig.2 Dimensions of the rotor

假設永磁體與轉子鐵芯和非導磁金屬護套之間的過盈量分別為δ1及δ2，即：

(1)

2 轉子強度解析解

將轉子應力簡化為平面應力問題，先假設永磁體與轉子鐵芯和非導磁金屬護套接觸面的接觸壓強分別為P1和P2；接著分別求解非導磁金屬護套、永磁體和轉子鐵芯的平衡方程、物理方程及幾何方程，得到轉子各部件的應力和位移的解析解；最后通過轉子各部件相互接觸面的徑向位移邊界條件來求解接觸壓強P1、P2。

2.1 非導磁金屬護套強度分析

如圖3所示，非導磁金屬護套內表面受到均勻壓強P2的作用，外表面受力為零。

圖3 非導磁金屬護套受力圖Fig.3 Force diagram of non-magnetic alloy sleeve

高速運行狀態下，非導磁金屬護套的平衡微分方程可表示為

(2)

式中：r為半徑；σrs和σθs分別為非導磁金屬護套的徑向應力及環向應力；ρs和ω為非導磁金屬護套的密度及轉子角速度。

轉子發熱狀態下非導磁金屬護套的物理方程可表示為

(3)

式中：Es，μs，εrs和εθs分別為非導磁金屬護套的彈性模量、泊松系數、徑向應變及環向應變；εst為非導磁金屬護套的溫升熱應變，可采用以下公式來計算

εst=βs·ΔTs

(4)

式中：βs和ΔTs分別為非導磁金屬護套的熱膨脹系數和溫升，ΔTs=Ts-Ts0；Ts0和Ts分別為非導磁金屬護套在半徑r處的初始溫度及發熱后的溫度，溫升ΔTs不為常數，而是沿半徑方向存在一定的梯度。

非導磁金屬護套的幾何方程可表示為

εrs=durs/dr,εθs=urs/r

(5)

式中，urs為非導磁金屬護套的徑向位移，它是半徑的函數。

結合非導磁金屬護套的平衡微分方程、物理方程和幾何方程可得到考慮轉速及轉子溫升影響的徑向位移us(r)，徑向應力σrs(r)、環向應力σθs(r)及等效Mises應力σsMises(r)，分別為

(6)

(7)

βsΔTsEs

(8)

(9)

式中，C1s和C2s為待定系數，由應力邊界條件確定。

非導磁金屬護套外表面受力為零，而內表面則受到均勻壓強P2的作用，在彈性力學中，以拉應力為正，壓應力為負,因此，其應力邊界條件可表示為

σrs(r)|r=Ris=-P2,σrs(r)|r=Ris=0

(10)

根據應力邊界條件(10)可解出待定系數C1s和C2s。

2.2 永磁體強度分析

永磁體受力如圖4所示，其內外表面分別受到均勻壓強P1和P2的作用。

圖4 永磁體受力圖Fig.4 Force diagram of PM

永磁體的應力及徑向位移分析方法與非導磁金屬護套類似，但其應力邊界條件有所不同。由永磁體受力圖可知，永磁體內外表面的徑向應力分別為-P1和-P2，其應力邊界條件可表示為

σrm|r=Rim=-P1,σrm|r=Rom=-P2

(11)

綜合永磁體的平衡微分方程、物理方程、幾何方程及應力邊界條件，可得到永磁體的徑向位移urm(r)、徑向應力σrm(r)、環向應力σθm(r)及等效Mises應力σmMises(r)。

2.3 轉子鐵芯強度分析

圖5所示為轉子鐵芯受力圖，轉子鐵芯為實心圓柱結構，其外表面受到均勻壓強P1的作用。

圖5 轉子鐵芯受力圖Fig.5 Force diagram of rotor core

轉子鐵芯的平衡微分方程、幾何方程及物理方程與非導磁金屬護套類似，而邊界條件則有所不同。

當r=0, 轉子鐵芯的徑向位移urr(0)=0，轉子鐵芯外表面受到均勻壓強P1的作用，因此，轉子鐵芯的邊界條件可表示為

urr|r=0=0,σrr|r=Ror=-P1

(12)

根據轉子鐵芯的平衡微分方程、物理方程、幾何方程及邊界條件，可得到轉子鐵芯的徑向位移urr(r)、徑向應力σrr(r)及環向應力σθr(r)及等效Mises應力σrMises(r)的表達式，分別為

(13)

(14)

(15)

(16)

當轉子鐵芯的溫升ΔTr為常數時，式(13)～(15)可簡化為

(17)

(18)

(19)

式(13)～(15)表明，當轉子鐵芯的溫升ΔTr不為常數時，轉子溫升在轉子鐵芯內會同時產生額外的徑向位移和溫升熱應力；式(17)～(19)表明，當轉子鐵芯的溫升ΔTr為常數時，轉子溫升僅在轉子鐵芯內產生額外的徑向位移，但沒有額外的溫升熱應力。可以證明，轉子發熱對非導磁金屬護套和永磁體的應力及徑向位移的影響也有類似規律，具體分析過程與轉子鐵芯相似，恕不贅述。由此可見，在分析永磁轉子的應力分布時，需要進一步考慮溫度梯度的影響。

2.4 接觸壓強P1,P2的求解

根據非導磁金屬護套、永磁體以及轉子鐵芯相互接觸面的徑向位移邊界條件得到接觸壓強P1及P2。在非導磁金屬護套徑向位移表達式urs(r)中令r=Ris得到非導磁金屬護套內表面的徑向位移urs(Ris)；在永磁體徑向位移表達式urm(r)中分別令r=Rim及r=Rom得到永磁體內外表面的徑向位移urm(Rim)和urm(Rom)；在轉子鐵芯徑向位移表達式urm(r)中令r=Ror得到轉子鐵芯外表面處的徑向位移urr(Ror)。

根據轉子各部件接觸面的徑向位移邊界條件有：永磁體內表面的徑向位移urm(Rim)減去轉子鐵芯外表面的徑向位移urr(Ror)等于靜態過盈量δ1；非導磁金屬護套內表面的徑向位移urs(Ris)減去永磁體外表面的徑向位移urm(Rom)應該等于靜態過盈量δ2，即轉子各部件接觸面的徑向位移邊界條件可表示為

(20)

求解方程式(20)可得到接觸壓強P1和P2。

3 有限元仿真分析

分別采用解析法和有限元來分析某高速永磁電機的轉子應力，電機額定電壓為380 V，額定功率為75 kW,額定轉速為24 000 r/min，定子槽數為12，極對數為1，矽鋼片厚度為0.35 mm，轉子永磁體為整體圓環型結構,采用鈦合金護套對永磁體進行保護。轉子各部件之間的過盈量為：δ1=0,δ2=0.15 mm，表1為電機轉子各部件的基本參數。

表1 永磁體轉子的基本參數

分別采用解析解和有限元法計算三種運行狀態下的轉子應力：① 轉速為零的靜態，此時的應力由永磁體與非導磁金屬護套間的過盈量產生；② 電機以24 000 r/min的額定轉速運行，但轉子尚未發熱，溫升為零；③ 電機以24 000 r/min的額定轉速運行，轉子發熱且溫升不為常數。

采用ANSYS仿真軟件對永磁轉子進行熱分析，求解發熱狀態下轉子內的溫度分布。在熱分析過程中，轉子初始溫度取20 ℃，經Ansoft仿真分析得到永磁體和非導磁金屬護套的渦流損耗分別為48 W及22 W，由于轉子鐵芯采用很薄的電硅鋼片制成，再加上非導磁金屬護套的屏蔽作用，轉子鐵芯損耗很小，這里忽略不計，電機定轉子間氣隙的對流散熱系數取28 W/(m2·℃)。圖6為ANSYS熱分析得到的永磁轉子的溫度分布。

圖6 永磁體轉子的溫度分布Fig.6 Temperature distribution of the PM rotor with non- magnetic alloy sleeve

圖6表明，轉子鐵芯內的溫度基本為一常數，但永磁體和護套內的溫度則不是常數，而是隨著半徑的增加，溫度逐漸減小，即溫升沿著永磁體和護套的半徑方向呈現梯度分布。

采用曲線擬合法對熱分析結果進行擬合，可得到轉子各部件的溫升表達式

(21)

式中，半徑r和溫升的單位分別為mm和攝氏度。本節中，電機在第三種運行狀態下的轉子溫升為式(21)。轉子溫升表達式(21)是初始溫度為常溫20 ℃時的計算結果，雖然當初始溫度改變時，轉子溫升表達式會有所差別，但這里轉子溫升的求解思路具有通用性。

3.1 永磁體應力分析

三種運行狀態下，有限元法得到的永磁體徑向應力云圖如圖7～9所示，解析法和有限元法得到的沿半徑方向永磁體徑向應力分布如圖10所示。在圖10中，實線表示解析法的計算結果，星線則代表有限元法的計算結果，拉力為正，壓力為負，符號σ表示應力。由于轉子是軸對稱的，為方便表達，這里僅給出四分之一圓周的應力云圖。

圖7 靜態時永磁體的徑向應力云圖Fig.7 Radial stress contour of PM at static state

圖8 高速無溫升時永磁體的徑向應力云圖Fig.8 Radial stress contour of PM at high speed state

圖9 高速且轉子發熱時永磁體的徑向應力云圖Fig.9 Radial stress contour of PM at hot running state

圖10 永磁體徑向應力分布Fig.10 Radial stress distribution of PM

圖7～10表明，解析解和有限元法的計算結果相吻合，解析解能夠準確計算永磁體的徑向應力。三種運行狀態下，永磁體的徑向應力均保持為壓力(負值)。靜態時，徑向應力沿半徑方向略有減小。高速運行時，由于離心力的影響，永磁體的徑向應力大幅減小，此時，徑向應力沿半徑方向逐漸增加，最大徑向應力出現在外表面。轉子溫升使得永磁體的徑向應力有所增加，且徑向應力沿半徑方向的分布規律與轉子高速運行但尚未發熱狀態類似。

圖11～13所示為三種運行狀態下的永磁體環向應力云圖，兩種方法得到的沿半徑方向永磁體環向應力分布如圖14所示。結果表明，兩種方法得到的永磁體環向應力也相一致。靜態時，永磁體的環向應力為壓力。高速運行狀態下巨大的離心力使得永磁體內的環向應力由壓力變為拉力，轉子發熱使得永磁體的環向拉應力進一步增加。在高速且轉子發熱狀態下的永磁體內表面處，永磁體的環向拉應力達到最大值，約為18 MPa，其值小于永磁體的抗拉強度(約為35 MPa)，永磁體不會被拉應力所破壞。

圖11 靜態時永磁體的環向應力云圖

圖12 高速無溫升時永磁體的環向應力云圖

圖13 高速且轉子發熱時永磁體的環向應力云圖

圖14 永磁體環向應力分布

3.2 非導磁金屬護套應力分析

限于篇幅原因，這里僅給出非導磁金屬護套Mises等效應力的計算結果。Mises等效應力是徑向應力和環向應力的綜合計算結果，可反映徑向應力和環向應力的計算精度。

三種運行狀況下，有限元法得到的非導磁金屬護套Mises等效應力云圖如圖15～17所示，解析法和有限元法得到的沿非導磁金屬護套半徑方向的Mises等效應力分布如圖18所示。

圖15～18表明，解析解和有限元法得到的非導磁金屬護套Mises等效應力相一致，解析解也能準確計算非導磁金屬護套的Mises等效應力。由于永磁體與非導磁金屬護套之間采用過盈配合，靜態時非導磁金屬護套內具有一定的預應力，其性質為拉力。高速離心力及轉子發熱均使得非導磁金屬護套內的等效Mises應力增加，與轉子溫升相比，高速離心力對護套應力的影響更大。三種運行狀態下，非導磁金屬護套的Mises等效應力均沿著半徑方向而逐漸減小，最大應力出現在護套內表面。在本例中，非導磁金屬護套的Mises等效應力最大值約為335 MPa，遠小于非導磁金屬護套的抗拉強度(約為1 000 MPa)，不會對護套造成損壞。

圖15 靜態時護套的Mises等效應力云圖

圖16 高速無溫升時護套的Mises等效應力云圖

圖17 高速且轉子發熱時護套的Mises等效應力云圖

仿真分析的結果表明，本文推導的解析解能夠準確計算考慮過盈配合、轉速及溫升梯度等因素影響下非導磁金屬護套永磁體轉子的應力。

4 試驗分析

通過試驗來直接測量電機轉子內的應力比較困難，但我們可以借助電機的高速運行試驗來間接驗證解析解的計算結果。高速永磁電機的試驗平臺如圖19所示，電機參數與第三節的仿真參數一致。電機轉子采用主動電磁軸承支撐，dSPACE控制器和開關功率放大器用于控制主動電磁軸承線圈中的電流，進而產生懸浮轉子的電磁力。

在空載狀態下，通過變頻器將電機逐漸加速至額定轉速，并持續運行一段時間。整個試驗過程中電機穩定運行，未發現異常，圖20為額定轉速下的電流波形。結果表明，在24 000 r/min的額定轉速下，電機的相電流波形為正弦波，電機能夠在額定轉速下可靠工作，永磁體未被高速離心力及轉子溫升熱應力所破壞。因此，基于本文提出的解析解而設計的轉子強度能夠滿足實際運行要求，解析解的應力分析結果正確。

5 分析與討論

基于本文提出的轉子強度解析解，深入研究靜態過盈量δ2、非導磁金屬護套厚度、轉速及溫升等參數對轉子應力的影響。為簡化分析過程，近似將轉子溫升當作常數，即，ΔTr=ΔTm=ΔTs=常數。靜態時的接觸壓強(P1,P2)和非導磁金屬護套最大Mises等效應力σmax隨靜態過盈量和護套厚度的變化關系分別如圖21和22所示。接觸壓強(P1,P2)和非導磁金屬護套最大Mises等效應力σmax隨轉速和溫升的變化關系分別如圖23和24所示。

圖20 額定轉速下的相電流波形Fig.20 Waveform of phase current at rated speed

圖21 接觸壓強與靜態過盈量、護套厚度的關系Fig.21 Relationships between contact pressures and sleeve thickness, static interference fit

圖22 護套最大等效應力與靜態過盈量、護套厚度的關系

圖21和22表明，當其他參數恒定時，接觸壓強(P1、P2)和非導磁金屬護套的最大Mises等效應力隨著靜態過盈量δ2的增加而大幅增大；接觸壓強(P1、P2)隨著非導磁金屬護套厚度的增加而大幅增加，但護套最大Mises等效應力卻隨著護套厚度的增加而略有減小。靜態時，永磁體與非導磁金屬護套之間的接觸壓強P2略小于轉子鐵芯與永磁體之間的接觸壓強P1，且兩者均隨著過盈量δ2和護套厚度的增加而增大。