隨機(jī)地震作用下TMD等效附加阻尼比研究

賀 輝， 譚 平, 林松偉, 向 越， 蘭 李

(1. 湖南工學(xué)院 土木與建筑工程學(xué)院， 湖南 衡陽 421002;2. 廣州大學(xué) 土木工程學(xué)院， 廣州 510006； 3. 廣東省建筑設(shè)計(jì)研究院有限公司， 廣州 510405)

調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(tuned mass damper, TMD)作為一種被動(dòng)控制裝置，已被廣泛應(yīng)用于高層高聳結(jié)構(gòu)[1]。一般情況下，TMD由質(zhì)量塊、彈簧以及阻尼元件組成[2]。高聳高層結(jié)構(gòu)安裝TMD，主要是為了增加結(jié)構(gòu)的阻尼，達(dá)到控制結(jié)構(gòu)振動(dòng)的目的[3]。TMD控制效果越好，結(jié)構(gòu)增加的阻尼也就越大，結(jié)構(gòu)增加的這部分阻尼比被稱為TMD等效附加阻尼比[4]。1977年，McNamara 基于高斯白噪聲外激勵(lì)以結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)均方值相等為準(zhǔn)則推導(dǎo)了TMD等效附加阻尼比理論公式[5]。Luft以TMD等效附加阻尼比最大作為優(yōu)化條件給出了TMD最優(yōu)設(shè)計(jì)參數(shù)[6]。王肇民以電視塔結(jié)構(gòu)作為工程背景，給出了風(fēng)荷載作用下TMD給結(jié)構(gòu)第一階模態(tài)的等效附加阻尼比理論公式[7]。

目前，應(yīng)用TMD來控制結(jié)構(gòu)的風(fēng)振響應(yīng)已經(jīng)得到了人們的廣泛認(rèn)可[8]，但是地震作用下TMD的有效性還沒有統(tǒng)一的定論[9-10]。已有研究表明，TMD的減震性能很大程度上取決于地震動(dòng)特性[11-13]。Villaverde等人假定結(jié)構(gòu)-TMD體系前兩階模態(tài)阻尼比相等給出了地震作用下TMD等效附加阻尼比公式[14]。然而，文獻(xiàn)[14]給出的TMD等效附加阻尼比公式僅在TMD頻率比等于1且TMD阻尼比滿足一定條件的情況下成立[15]。更重要的是，它忽略了地震動(dòng)特性對TMD等效附加阻尼比的影響，因此其計(jì)算精度有待驗(yàn)證。鑒于此，有必要考慮地震動(dòng)特性對TMD等效附加阻尼比進(jìn)行更深入地研究。事實(shí)上，以往的TMD等效附加阻尼比研究多數(shù)是基于單自由度主結(jié)構(gòu)展開，僅能得到TMD提供給結(jié)構(gòu)第一階模態(tài)的附加阻尼比，無法準(zhǔn)確評估TMD提供給結(jié)構(gòu)高階模態(tài)的等效附加阻尼比。

在此背景下，本文將基于考慮場地因素的過濾高斯白噪聲Kanai-Tajimi功率譜模型，推導(dǎo)出一個(gè)能準(zhǔn)確評估隨機(jī)地震作用下TMD提供給結(jié)構(gòu)任意階模態(tài)的等效附加阻尼比理論公式。本文將從結(jié)構(gòu)-TMD理論模型、結(jié)構(gòu)隨機(jī)地震響應(yīng)分析以及TMD等效附加阻尼比理論公式推導(dǎo)等方面逐一展開研究。

1 結(jié)構(gòu)-TMD理論模型

假定結(jié)構(gòu)有n個(gè)自由度，且TMD與第n個(gè)自由度相連，可將結(jié)構(gòu)-TMD體系表示為圖1所示的理論模型。圖1中:mn、kn和cn分別表示結(jié)構(gòu)第n個(gè)自由度的質(zhì)量、剛度與阻尼系數(shù)；mt、kt和ct分別表示TMD質(zhì)量、剛度和阻尼系數(shù)；xn表示結(jié)構(gòu)第n個(gè)自由度相對于地面的位移，xt為TMD相對于結(jié)構(gòu)第n個(gè)自由度的位移。

圖1 結(jié)構(gòu)-TMD理論模型Fig.1 Theoretical models

{FTMD}

(1)

式中

(2)

(3)

結(jié)構(gòu)阻尼矩陣采用Caughey阻尼矩陣，TMD對結(jié)構(gòu)的作用力可表示為

(4)

TMD運(yùn)動(dòng)方程為

(5)

將TMD看作一個(gè)子結(jié)構(gòu)，忽略TMD對主結(jié)構(gòu)自振特性的影響，此時(shí)將主結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)分解，考慮結(jié)構(gòu)第j階模態(tài)φj時(shí)，引入表1所示的系統(tǒng)參數(shù)。

表1 系統(tǒng)參數(shù)定義

進(jìn)一步可將結(jié)構(gòu)-TMD體系的模態(tài)運(yùn)動(dòng)方程表示為

(6)

式中，uj表示結(jié)構(gòu)第j階模態(tài)廣義坐標(biāo)，此時(shí)

(7)

Hj(iλj)=

(8)

其中

(9a)

(9b)

2 結(jié)構(gòu)隨機(jī)地震響應(yīng)分析

地震動(dòng)功率譜模型采用Kanai和Tajimi等提出的過濾白噪聲模型，其加速度功率譜密度函數(shù)為[16-17]

(10)

式中：S0為基巖白噪聲強(qiáng)度；ωg和ζg分別表示場地特征頻率與特征阻尼比；ωg和ζg的取值可通過實(shí)際地震記錄擬合得到，也可由表2直接確定。

表2 場地土參數(shù)設(shè)計(jì)值[18-19]

Kanai-Tajimi功率譜模型將場地視為單自由度線性濾波器，由基巖白噪聲通過土層過濾得到，由此可將場地的過濾效應(yīng)表示成傳遞函數(shù)形式

(11)

將ω=λjωj代入式(11)，可得

(12)

式中，主結(jié)構(gòu)第j階模態(tài)頻率與場地特征頻率比τj=ωj/ωg。進(jìn)一步將土層看作一個(gè)與上部結(jié)構(gòu)串聯(lián)的系統(tǒng)，由此可得結(jié)構(gòu)相對于基巖白噪聲的位移動(dòng)力放大系數(shù)為

Hg,j(iλj)=H(iλj)H′(λj)=

(13)

式中

(14a)

(14b)

采用SRSS方法計(jì)算地震作用下結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)均方值

(15)

其中

(16)

式中

(17)

3 TMD等效附加阻尼比

將結(jié)構(gòu)-TMD體系等效為一個(gè)第j階模態(tài)阻尼比為ζe,j的等效結(jié)構(gòu)，類似地，可將等效結(jié)構(gòu)相對于基巖白噪聲的位移動(dòng)力放大系數(shù)表示為

(18)

式中

(19)

等效結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)均方值可表示為

(20)

其中

(21)

(22)

整理得

(23)

其中

(24)

則TMD提供給結(jié)構(gòu)第j階模態(tài)的等效附加阻尼比理論公式為

(25)

其中

(26)

為了對式(25)的有效性進(jìn)行驗(yàn)證，定義以下三種TMD等效附加阻尼比計(jì)算方法：

方法一：使用本文所提理論公式計(jì)算TMD等效附加阻尼比；

方法二：使用文獻(xiàn)[5]的TMD等效附加阻尼比公式

(27)

方法三：使用文獻(xiàn)[14]的TMD等效附加阻尼比公式

(28)

事實(shí)上，ζs2,j與ζs3,j均是基于單自由度主結(jié)構(gòu)推導(dǎo)而來，無法得到TMD提供給結(jié)構(gòu)高階模態(tài)的等效附加阻尼比，因此方法二與方法三僅考慮TMD對結(jié)構(gòu)第1階模態(tài)阻尼比的影響。

4 參數(shù)分析

考慮結(jié)構(gòu)第一階模態(tài)(j=1)，令φ1,n=1和η1=1，假定TMD頻率比與阻尼比采用Den Hartog公式[20]，對ζs1,1進(jìn)行如圖2所示參數(shù)分析。由圖2可以觀察到以下現(xiàn)象：

(1) 結(jié)構(gòu)與場地特征頻率比τ1小于等于1時(shí)，特征阻尼比ζg越小，TMD等效附加阻尼比ζs1,1越大。然而，當(dāng)τ1>1時(shí)，隨著ζg增大，ζs1,1卻會變小;

(2) 當(dāng)τ1≤1時(shí)，τ1對ζs1,1的影響相對較小。但是，當(dāng)τ1>1時(shí)，τ1的增大會使ζs1,1迅速變小;

(3)ζs1,1與結(jié)構(gòu)阻尼比ζ1呈負(fù)相關(guān)關(guān)系；

(4) TMD質(zhì)量比μ1存在一個(gè)臨界值|μ|，當(dāng)μ1≤|μ|時(shí)，隨著μ1增大，ζs1,1會隨之增大。當(dāng)μ1>|μ|時(shí)，隨著μ1增大，ζs1,1會迅速減小。值得一提的是，隨著μ1增大，ζs1,1可能會小于0。也就是說， TMD質(zhì)量比太大可能會放大結(jié)構(gòu)響應(yīng)。

為了進(jìn)一步研究地震動(dòng)特性對TMD等效附加阻尼比的影響規(guī)律，令ζ1=0以及ζg=0.80，將TMD等效附加阻尼比進(jìn)行如圖3所示的對比分析。從圖3中可以看出：

(1) TMD質(zhì)量比μ1小于1%時(shí)，三種方法計(jì)算出來的TMD等效附加阻尼比ζs,1基本一致；

(2) 方法二得到的TMD等效附加阻尼比大于方法一與方法三，這是由于方法二的TMD等效附加阻尼比公式是基于外荷載激勵(lì)形式推導(dǎo)而來，無法適用于地震作用下TMD等效附加阻尼比的計(jì)算。這一現(xiàn)象也說明相對于結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)控制而言，TMD更有利于控制結(jié)構(gòu)的風(fēng)振響應(yīng)。

(3) 方法二與方法三得到的TMD等效附加阻尼比與TMD質(zhì)量比μ1成正相關(guān)關(guān)系，不存在一個(gè)臨界值|μ|，因此隨著TMD質(zhì)量比μ1的增大，與方法一會存在很大的差異。

(4) 當(dāng)τ1較小時(shí)(如τ1=1)，方法一與方法三的計(jì)算結(jié)果相近。但是，當(dāng)τ1較大時(shí)(如τ1=10)，隨著μ1的增大，方法一與方法三計(jì)算結(jié)果的差距也會越來越大，且方法三計(jì)算出來的TMD等效附加阻尼比偏大。這是因?yàn)榉椒ㄈ雎粤说卣饎?dòng)特性對TMD等效附加阻尼比的影響，導(dǎo)致計(jì)算過程中夸大了TMD提供給結(jié)構(gòu)的等效附加阻尼比。

(a) μ1=0.1，ζ1=0

(b) τ1=10，ζg=0.80圖2 TMD等效附加阻尼比分析Fig.2 Analysis results of the equivalent additional damping ratio of TMD

圖3 TMD等效附加阻尼比對比分析Fig.3 Comparison analysis results of the equivalent additional damping ratio of TMD

為了對上述現(xiàn)象進(jìn)行更深入地研究，對結(jié)構(gòu)位移放大系數(shù)進(jìn)行分析。方法三假定結(jié)構(gòu)-TMD體系前兩階模態(tài)阻尼比一致，本質(zhì)上是直接從結(jié)構(gòu)相對于地面的位移放大系數(shù)H1(iλ1)出發(fā)求解TMD等效附加阻尼比。而本文則考慮場地土對地震動(dòng)頻譜特性的影響，給出了結(jié)構(gòu)相對于基巖的位移放大系數(shù)Hg,1(iλ1)。對比圖4與圖5(a)可知，當(dāng)τ1較小時(shí)(如τ1=1)，H1(iλ1)與Hg,1(iλ1)的變化規(guī)律基本一致，TMD質(zhì)量比增大，二者的峰值均變小。

圖4 主結(jié)構(gòu)相對于地面的位移動(dòng)力放大系數(shù)Fig.4 Analysis results of the displacement dynamic amplification factor of structure to ground

(a) τ1=1，ζg=0.80

(b) τ1=10，ζg=0.80圖5 主結(jié)構(gòu)相對于基巖的位移動(dòng)力放大系數(shù)Fig.5 Analysis results of the displacement dynamic amplification factor of structure to bedrock

然而，當(dāng)τ1較大時(shí)(如τ1=10)，無控狀態(tài)下的Hg,1(iλ1)曲線存在兩個(gè)較為明顯的峰值。第一個(gè)峰值出現(xiàn)在場地特征頻率附近，主要是由于地震加速度功率譜在該處的值較大，這一個(gè)峰值與場地因素息息相關(guān)，可將其定義為場地共振峰值。第二個(gè)峰值出現(xiàn)在結(jié)構(gòu)自振頻率附近，主要由結(jié)構(gòu)參數(shù)決定，因此可將其定義為結(jié)構(gòu)共振峰值。由5(b)可知，TMD雖然能有效控制結(jié)構(gòu)共振峰值，卻會放大結(jié)構(gòu)的場地共振峰值，并且TMD質(zhì)量比越大，場地共振峰值放大效應(yīng)越明顯。一般情況下，方法三會忽略場地共振峰值對TMD等效附加阻尼比的影響，因此會夸大TMD提供給結(jié)構(gòu)的等效附加阻尼比。而本文推導(dǎo)的TMD等效附加阻尼比公式考慮了結(jié)構(gòu)場地共振峰值的影響，理論上來說，更貼近工程實(shí)際。

5 工程算例

以某景觀塔作為工程算例，來展示TMD等效附加阻尼比的求解流程。景觀塔共32層，總高度168 m，采用筒體結(jié)構(gòu)形式，筒體直徑12 m，高寬比約為14。景觀塔頂部觀光層根據(jù)建筑功能和建筑體型采用鋼框架結(jié)構(gòu)，通過鋼支撐和鋼梁與核心筒連接，景觀塔結(jié)構(gòu)模型如圖6所示。結(jié)構(gòu)各階模態(tài)阻尼比均取0.02。將結(jié)構(gòu)28層的258 t消防水箱作為TMD的附加質(zhì)量，用于控制結(jié)構(gòu)第1階模態(tài)響應(yīng)。

圖6 肇慶景觀塔結(jié)構(gòu)模型Fig.6 Structural model of the view tower

為了對本文所推導(dǎo)的TMD等效附加阻尼比理論公式進(jìn)行時(shí)程驗(yàn)證，選擇如圖7(a)～(c)所示的三組經(jīng)典地震記錄(1940 El Centro, 1994 Northridge以及1995 Kobe)作為地震輸入，將地震記錄幅值調(diào)整為0.7 m/s2，Spencer等[21]通過數(shù)值擬合得到三組地震記錄的場地特征頻率以及特征阻尼比分別為17 rad/s和0.3，由此可將三組地震記錄功率譜與Kanai-Tajimi功率譜進(jìn)行對比，結(jié)果如圖7(d)所示，可以看出Kanai-Tajimi功率譜會夸大地震動(dòng)的低頻能量，但由于本文選擇的三組地震記錄低頻能量較低，且能量大多集中于頻段[1, 100]Hz內(nèi)，在此頻段內(nèi)，Kanai-Tajimi功率譜與三組地震記錄的功率譜是較為吻合的。

(a) El Centro

(b) Northridge

(c) Kobe

(d) 功率譜對比圖7 地震記錄Fig.7 Earthquake records

首先，對結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)分析，表3為結(jié)構(gòu)前10階模態(tài)參數(shù)，可以看出，結(jié)構(gòu)前10階模態(tài)累計(jì)質(zhì)量參與系數(shù)已經(jīng)達(dá)到99.52%，因此本文重點(diǎn)介紹TMD對于結(jié)構(gòu)前10階模態(tài)的等效附加阻尼比。根據(jù)結(jié)構(gòu)模態(tài)分析結(jié)果，采用Den Hartog公式計(jì)算TMD頻率比與阻尼比。表4為TMD相對于結(jié)構(gòu)前10階模態(tài)的參數(shù)，從表4可以看出：

(1) 方法一得到的TMD提供給結(jié)構(gòu)第1階模態(tài)的附加阻尼比遠(yuǎn)大于其他高階模態(tài)，這是因?yàn)樵O(shè)置TMD的主要用途是控制結(jié)構(gòu)的第1階模態(tài)響應(yīng)，且TMD參數(shù)也是根據(jù)結(jié)構(gòu)第1階模態(tài)確定的；

(2) 方法一得到的TMD提供給結(jié)構(gòu)高階模態(tài)的等效附加阻尼比可能小于零，也就是說，TMD可能會放大結(jié)構(gòu)的高階模態(tài)響應(yīng)；

(3) 由于方法二與方法三是基于單自由度主結(jié)構(gòu)推導(dǎo)而來，無法計(jì)算TMD提供給結(jié)構(gòu)高階模態(tài)的等效附加阻尼比，因此方法二與方法三從理論上來說是不完備的。而本文推導(dǎo)的等效附加阻尼比理論公式不僅能計(jì)算TMD提供給結(jié)構(gòu)高階模態(tài)的等效附加阻尼比，還能通過結(jié)構(gòu)模態(tài)坐標(biāo)值考慮TMD布置位置對其等效附加阻尼比的影響，因此本文推導(dǎo)的等效附加阻尼比理論公式更完備。

(4) 方法二與方法三計(jì)算的TMD提供給結(jié)構(gòu)第1階模態(tài)的等效附加阻尼比均大于方法一。這是因?yàn)榉椒ǘ腔谕夂奢d激勵(lì)形式推導(dǎo)而來，而方法三無法考慮地震動(dòng)特性對TMD等效附加阻尼比的影響，因此這兩種方法的計(jì)算結(jié)果會偏大。本文推導(dǎo)的TMD等效附加阻尼比理論公式考慮了地震動(dòng)特性引起的結(jié)構(gòu)場地共振峰值的影響，因此計(jì)算結(jié)果更貼近工程實(shí)際。

表3 結(jié)構(gòu)前10階模態(tài)參數(shù)

表4 TMD相對于結(jié)構(gòu)前10階模態(tài)的參數(shù)

對結(jié)構(gòu)進(jìn)行時(shí)程響應(yīng)分析，來驗(yàn)證TMD等效附加阻尼比的正確性。需要指出的是，本文時(shí)程分析均基于Etabs有限元模型展開，且在時(shí)程分析過程中，方法二與方法三僅考慮了TMD對結(jié)構(gòu)第1階模態(tài)阻尼比的影響。圖8表示地震作用下結(jié)構(gòu)加載與自由振動(dòng)兩階段的頂層位移響應(yīng)時(shí)程，從圖中可以看出，使用本文推導(dǎo)的TMD等效附加阻尼比能從結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)角度更準(zhǔn)確地評估TMD減震性能。由此可知，使用等效附加阻尼比指標(biāo)評估TMD對結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)的控制效果是可行的。

為了對比三種方法的計(jì)算精度，以在景觀塔有限元模型中添加TMD的時(shí)程分析結(jié)果為標(biāo)準(zhǔn)，對結(jié)構(gòu)頂層位移響應(yīng)進(jìn)行如表5所示的誤差分析。表中，結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)均方差只考慮其加載階段的響應(yīng)。由表5可知，El Centro地震作用下，方法二和方法三計(jì)算結(jié)果誤差較大，特別是方法三所得結(jié)構(gòu)頂層位移響應(yīng)峰值誤差達(dá)到了21.12%，所以方法二和方法三會夸大TMD提供給結(jié)構(gòu)的等效附加阻尼比，計(jì)算精度不滿足工程應(yīng)用需求。Kobe地震作用下，相對于結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)峰值，方法一所得結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)均方差誤差更大。考慮到方法一所得結(jié)構(gòu)頂層位移響應(yīng)峰值與均方差的誤差平均值均小于1%，可認(rèn)為使用本文推導(dǎo)的TMD等效附加阻尼比理論公式能從結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)峰值與均方差角度更準(zhǔn)確地評估TMD減震性能。結(jié)合圖9所示的結(jié)構(gòu)各樓層位移響應(yīng)峰值與均方差可知，使用本文推導(dǎo)的TMD等效附加阻尼比計(jì)算的各樓層位移響應(yīng)與TMD控制下各樓層位移響應(yīng)基本一致，再次驗(yàn)證了使用等效附加阻尼比指標(biāo)來評估TMD減震性能的合理性與有效性。

(c) Kobe圖8 結(jié)構(gòu)頂層位移響應(yīng)時(shí)程Fig.8 Time history of structural top floor displacement responses

(a) El Centro

(b) Northridge

(c) Kobe圖9 結(jié)構(gòu)樓層位移響應(yīng)峰值與均方差Fig.9 Peak and MSE value of displacement responses of structure

表5 結(jié)構(gòu)頂層位移響應(yīng)誤差分析

6 結(jié) 論

(1) 本文推導(dǎo)了隨機(jī)地震作用下TMD提供給結(jié)構(gòu)任意階模態(tài)的等效附加阻尼比理論公式。

(2) 參數(shù)分析結(jié)果表明，TMD等效附加阻尼比與結(jié)構(gòu)場地因素緊密相關(guān)。結(jié)構(gòu)與場地特征頻率比小于等于1時(shí)，場地特征阻尼比越小，TMD等效附加阻尼比越大。然而，當(dāng)結(jié)構(gòu)與場地特征頻率比大于1時(shí)，隨著特征阻尼比的增大，TMD等效附加阻尼比卻會變小。

(3) 算例分析結(jié)果表明，使用TMD等效附加阻尼比指標(biāo)來評估其減震性能是可行的，且本文推導(dǎo)的TMD等效附加阻尼比公式考慮了結(jié)構(gòu)場地因素的影響，能從結(jié)構(gòu)地震位移響應(yīng)角度更準(zhǔn)確地評估TMD減震性能。

(4) TMD雖然能有效控制結(jié)構(gòu)共振峰值，卻會放大結(jié)構(gòu)的場地共振峰值，并且TMD質(zhì)量比越大，場地共振峰值放大效應(yīng)越明顯。