滾塑工藝在加熱階段的兩種傳熱模型的比較研究

葉冬蕾，劉學軍，王 曉

（北京工商大學人工智能學院，北京 100048）

0 前言

本文研究的加熱階段是指從滾塑模具在烘箱內開始受熱到其內部粉料開始熔融之間的這一段過程，并將該過程所花費的時間簡稱為加熱時間。在加熱階段，粉料顆粒與內部空氣一邊運動，一邊混合。模具內壁面、粉料顆粒、內部空氣三者彼此之間都有對流換熱或導熱。在加熱過程，滾塑模具表面和模具內部的溫度不僅與模具的幾何形狀和尺寸大小、模具材料與粉料的物性參數、粉料的質量有關，應該還與模具轉動的方式與轉速有關。這是因為后者直接影響了粉料和空氣在模具內部的混合程度與運動狀態。Olinek等[1]通過實驗研究了單軸轉動的圓筒形模具內部粉料的運動情況，根據模具轉速由低到高依次將粉料的運動狀態分為5種情況，分別是滑動狀態、雪崩狀態、翻滾狀態、瀑布狀態、離心狀態。Nguyen等[2]應用光滑粒子流體動力學方法（SPH）模擬了粉料在圓筒形滾塑模具內部的流動狀態，其計算結果與實驗結果吻合較好。但在他們的計算中也沒有考慮任何傳熱的因素。

由于在加熱階段，滾塑模具內部的粉料與空氣的混合過程是運動和傳熱機理都非常復雜的氣固兩相流，因此通過建立傳熱理論模型來研究粉料的運動狀態對滾塑加熱過程的影響是比較困難的。目前已有的滾塑傳熱模型都不考慮模具內部粉料的運動狀態。根據這些模型對粉料運動的處理方式，可以大致上將其分為兩類——tumbling模型和static bed模型。tum?bling模型[3?5]假設粉料與空氣混合非常均勻，整個混合物與模具內壁面發生對流換熱。static bed模型[6?8]假設加熱過程剛一開始，粉料就均勻緊密地黏附在模具內壁面上，即認為粉料在模具內部是離心運動狀態。而在這一粉料層內部包裹的是內部空氣。該模型的傳熱機理是模具內壁面與粉料層進行導熱，而粉料層同時與內部空氣進行對流換熱。由于滾塑模具的轉速比較慢，一般情況下粉料的運動狀態不會出現離心模式。因此在粉料開始熔融前的加熱階段，static bed模型與實際情況相差較大，故不在本文的研究范圍內。

本文將采用兩種傳熱模型來分別仿真計算圓筒形模具表面及其內部的溫度，即所謂的模具溫度和模內溫度。并將計算結果與實驗結果相比較，以分析每種傳熱模型計算誤差產生的原因。第一種傳熱模型是在傳統tumbling模型的基礎上改進所得。在第一種模型中不是簡單地將粉料和內部空氣的混合物當成是同一種的單相流體，而是把這兩者的運動當成是由兩種不同流體組成的兩相流流動。顯然該模型比傳統的tum?bling模型更符合實際，同時又避免了追究粉料顆粒運動細節所帶來的計算復雜性。第二種傳熱模型是在傳統tumbling模型的基礎上做了兩點簡化。一是忽略了模具的溫度梯度，二是忽略了模具外形的影響。這樣就可以對模具及其內部混合物列出常微分形式的能量守恒方程，數學求解變得非常容易。由于模具的厚度遠遠小于其平均半徑，另外模具的熱導率也遠遠大于內部空氣和粉料的熱導率，因此上述兩點簡化是合理的。本文對這兩種傳熱模型的比較研究可以為滾塑工藝加熱階段的理論分析和仿真計算提供理論依據。

1 計算參數及實驗結果

如圖1所示，圓筒形鋼制模具在電機帶動下繞軸線O做單軸旋轉，其內部裝有質量為0.21 kg的聚乙烯粉料。模具的外表面被通電的加熱帶均勻加熱，其熱流密度為6.9 kW/m2。鋼制模具的內徑為92 mm，壁厚為2 mm，其內部空間的軸向長度為146 mm。粉料的表觀密度為317 kg/m3，熱導率為0.1 W/（m?K），環境溫度下的比熱容為660 J/（kg?K）。模具和粉料的初始溫度均為10℃。采用圓柱坐標系研究該流動與傳熱問題。如圖1所示，r為徑向坐標，θ為周向坐標，軸向坐標z過軸心O并與紙面垂直。

圖1 圓筒形滾塑模具的橫截面示意圖Fig.1 Schematic of cross?section of cylindrical rotational mold

圖2給出了模具外表面及其內部的實測溫度隨加熱時間的變化規律。上述兩種傳熱模型的仿真結果將與圖2所示的實驗結果進行比較。

圖2 滾塑模具外表面及其內部的實測溫度Fig.2 Tested temperatures of outside surface and internal space of rotational mold

2 傳熱模型

2.1 第一種傳熱模型

如果想要精確地研究粉料和內部空氣的混合過程和運動狀態，則需要跟蹤粉料顆粒的運動軌跡，并考慮粉料顆粒與內部空氣之間的各種相互作用力，那么就必須采用兩相流的歐拉?拉格朗日法來進行仿真。雖然該種方法的計算精度高，但計算量和計算難度非常大。在本模型里，不是將粉料看成固體顆粒，而是看成另一種連續的流體介質。由于一般情況下滾塑粉料的顆粒很細小，在模具內部空間的分布范圍較廣，所占的體積百分比也超過10%，因此將粉料看成連續的流體跟實際情況的差異并不大。這樣就可以采用兩相流的歐拉?歐拉法來仿真粉料和空氣在模具內的流動與傳熱。本文將采用FLUENT軟件中多相流功能模塊里的Mixture模型來進行上述的仿真計算，它是歐拉?歐拉法中最簡單的一種計算模型。

如圖1所示，第一種傳熱模型的計算區域包括模具本身和模具內部的由粉料和空氣組成的混合物。將粉料看成連續的流體就需要給其賦予相應的物理性質參數。粉料流體的密度、熱導率和比熱容采用前述第1節中所給出的物性參數。但目前被看作流體的粉料的黏度系數沒有任何實驗數據可供查詢，也無法由精確的計算公式得出，本文將采用式（1）[9]近似計算粉料流體的黏度系數。

式中μa——內部空氣的動力黏度，Pa?s

μp——粉料流體的動力黏度，Pa?s

ρa——內部空氣的密度，kg/m3

ρp——粉料的表觀密度，kg/m3

2.2 第二種傳熱模型

在第二種傳熱模型里，假設粉料與內部空氣充分混合，即在任意時刻內部混合物的溫度與內部空氣的溫度和粉料的溫度都相等。由于滾塑模具的壁厚很小，因此可以忽略模具壁的溫度梯度。也就是說在本傳熱模型里，內部混合物和模具的溫度都只隨時間變化，而與空間位置坐標無關。根據能量守恒原理可知，電加熱帶傳給模具的熱量等于模具內能的增量與內部混合物內能的增量之和，同時模具與內部混合物的對流換熱量等于內部混合物內能的增量。由此可以得到式（2）和式（3）。初始條件為t=0，Tm=Tap=T0。

式中Ai——模具內壁面的面積，m2

AO——模具外壁面的面積，m2

cap——內部混合物的定壓比熱容，根據內部空氣和粉料的質量比按式（4）計算所得，J/（kg·K）

式中ca——內部空氣的定壓比熱容，J/（kg·K）

cm——模具的定壓比熱容，J/（kg·K）

cp——粉料的定壓比熱容，J/（kg·K）

hi——模具內壁面與內部混合物間的平均表面傳熱系數，W/（m2·K）

Ma——內部空氣的質量，kg

Mm——模具的質量，kg

Mp——內部粉料的質量，kg

q——模具外壁面的熱流密度，W/m2

t——時間，s

T0——模具和內部混合物的初始溫度，℃

Tm——模具的溫度，℃

Tap——內部混合物的溫度，℃

圓筒形模具內壁面上在加熱階段的平均傳熱系數hi可按式（5）計算。關于該公式的使用方法以及Nu數和Pr數的定義式詳見文獻[10]。

式（2）和式（3）是簡單的線性常微分方程，計算量很小，可直接采用MATLAB軟件求解。為減小仿真計算的難度，在應用上述這兩種傳熱模型時，都先假設粉料具有常物性，即統一采用初始溫度為10℃時的物性參數。后面還會在考慮粉料的物性參數隨溫度變化的情況下分別采用這兩種傳熱模型再次進行仿真計算，并通過計算結果與實驗結果的比較來分析粉料變物性對傳熱模型仿真精度的影響。

3 結果與討論

3.1 計算結果與實驗結果的比較

如圖3所示，由這兩種傳熱模型仿真所得的模具溫度比其實測值都要偏高一些。主要原因是在實驗中，電加熱帶的發熱量總會有少部分會通過外表面的隔熱層以及模具的兩端散出去，致使實際的加熱功率要比仿真計算所采用的名義加熱功率低一些。另外還可以看出，第一種傳熱模型對模具溫度的仿真精度要高于第二種傳熱模型。因為在第一種傳熱模型里，采用的是FLUENT軟件中兩相流的Mixture模型來進行仿真，即認為模具內部的混合物是由粉料和內部空氣這兩種流體均勻混合而成的。因此內部混合物與模具內壁面進行對流換熱的強度比粉料處于實際的運動狀態時要大，這樣更多的熱量就由模具傳遞給內部混合物，從而使得模具溫度的計算值又會降低一些。即由第一種傳熱模型仿真所得的模具溫度會更靠近實驗結果一些，這樣就抵消了一部分由于實驗中加熱功率損失所造成的模具溫度的計算誤差。

圖3 模具溫度的計算值與實測值的比較Fig.3 Comparison of calculated results with tested results for mold temperatures

在時間過了120 s后，模具的實測溫度隨時間增加的速率明顯變緩。這是因為雖然此時模內溫度還沒有達到粉料的熔融溫度，但靠近模具內壁面有少量粉料的溫度已經升到了其熔融溫度，并開始慢慢熔融。由于粉料熔融時發生相變會吸收大量的熔融潛熱，因此使得模具自身吸收的熱量比以前減少，溫升也就顯著變慢。但本文的傳熱模型研究的是在粉料開始熔融之前的加熱過程，沒有考慮相變吸熱，因此模具溫度的計算值隨時間增加的速率并沒有明顯的變緩。根據圖3所示模具溫度的實測值隨時間的變化規律，粉料開始熔融的時間應該在120～150 s之間。所以在時間過了150 s后，模具溫度的計算值與實測值的誤差開始急劇增大，這表明本文的傳熱模型已經不再適用于此后的加熱過程。在150 s時，第一種傳熱模型對模具溫度的仿真誤差為7.3%，第二種傳熱模型對模具溫度的仿真誤差為12.1%。

如圖4所示，由第一種傳熱模型計算所得的模內溫度比實驗結果偏高，而由第二種傳熱模型計算所得的模內溫度比實驗結果偏低。這兩種傳熱模型計算所得的模內溫度與實驗結果的誤差都是隨著加熱時間變得越來越大。如前所述，第一種傳熱模型高估了內部混合物與模具內壁面間的對流換熱強度，致使更多的熱量由模具傳遞給內部混合物，因此由第一種傳熱模型所得的模內溫度計算值比實測值高一些。在150 s時，第一種傳熱模型對模內溫度的仿真誤差為13.5%，第二種傳熱模型對模內溫度的仿真誤差為19.5%。

圖4 模內溫度的計算值與實測值的比較Fig.4 Comparison of calculated results with tested results for internal temperatures

在第二種傳熱模型里，可能是由于采用式（5）計算所得的模具內壁面平均的傳熱系數hi不準確從而造成了模內溫度的計算誤差比較大。模具內壁面瞬時的傳熱系數隨時間先急劇減小，然后減小的速率變緩，最后隨時間趨于穩定[10]。式（5）中的平均傳熱系數hi是將瞬時傳熱系數在整個加熱時間內進行積分，然后再除以加熱時間得到的。但從模具受熱到粉料剛開始熔融之間所花費的加熱時間很難精確得出。在推導式（5）時所采用的加熱時間可能比實際的加熱時間要長，致使由式（5）算出的平均傳熱系數hi比實際值偏小。即低估了模具內壁面與內部混合物間的對流換熱強度，從而使得由第二種傳熱模型得出的模內溫度偏低，同時這也是造成該傳熱模型算出的模具溫度偏高的另一個原因。實際上模具內壁面的傳熱系數受很多因素的影響，如模具的形狀大小、加熱的熱流密度、粉料在模內空間的體積百分比、模具的轉速等[11]。而式（5）只考慮了粉料在模內空間體積百分比的影響，沒有考慮其他因素的影響，也會因此產生計算誤差。

由以上分析比較可以看出，這兩種傳熱模型對加熱階段的模具溫度都具有足夠的仿真精度，但對模內溫度的仿真精度都不高，當然第一種傳熱模型相對要好一些。仿真精度主要取決于對模具內壁面與內部混合物的對流換熱強度能否準確模擬。第一種傳熱模型的計算區域同時包括模具本身和內部混合物，因此在仿真時無需事先知道模具內壁面上的傳熱系數，而是通過把模具自身的導熱與其內壁面和內部混合物間的對流換熱耦合在一起來解決這個問題。而第二種傳熱模型的計算區域不包括內部混合物，因此必須已有準確的模具內壁面傳熱系數作為輸入參數，否者無法得到精度較高的計算結果。但到目前為止還沒有一個完善的理論公式或實驗關聯式可用來準確計算該傳熱系數。這就是第二種傳熱模型的仿真精度比第一種傳熱模型低的主要原因。但是從另一方面來講，第一種傳熱模型由于需要仿真較為復雜的兩相流問題，為保證疊代計算的穩定性和收斂性，所采用的時間步長很小，另外其仿真區域同時包括模具本身和模內空間，因此計算量非常大。而第二種傳熱模型只需求解簡單的線性常微分方程組，計算量要小得多。

3.2 粉料物性參數的影響

嚴格來講，在滾塑的加熱階段，粉料的物性參數如密度、熱導率和定壓比熱容都會隨著溫度的升高而變化。粉料的定壓比熱容是指在壓力恒定的條件下，單位質量的粉料的溫度每升高1 K所需要吸收的熱量。在以往的傳熱模型里，為減小仿真計算的難度，都是假設粉料具有常物性。如前所述，在圖3和圖4里的計算結果也是按照環境溫度下的常物性仿真得到的。根據文獻[12]的實驗結果可知，在粉料開始熔融之前，其密度和熱導率隨溫度變化很小。但定壓比熱容隨溫度變化很大，按照溫度每升高1 K就增加16.4 J/kg?K的速率來變化。因此有必要分別采用本文的兩種傳熱模型，將粉料的密度和熱導率仍然當作常數，而將定壓比熱容隨溫度按照上述線性關系變化，重新進行計算以研究變物性對仿真精度的影響。

在圖5和圖6中分別給出了當考慮變物性時即定壓比熱容隨溫度增大時，由第一種模型仿真得出的模具溫度和模內溫度，并將其與假設常物性時的仿真結果以及相應的溫度實測值分別進行了比較?？梢钥闯鲈诳紤]變物性后，由第一種傳熱模型計算所得的模具溫度和模內溫度都比假設常物性時變低了一些，二者都更接近實驗結果。這是因為隨著加熱過程的進行，由于粉料的定壓比熱容隨粉料溫度的升高而增大，即要讓粉料產生溫升則需要吸收更多的熱量。但模具外壁面上的加熱功率是不變的，因此考慮增大的定壓比熱容后，模具溫度和模內溫度的增速都會變緩，而且隨著加熱過程的進行，二者變緩的程度也越來越大?？偟膩碚f考慮了變物性后，第一種傳熱模型的仿真精度有所提高，尤其是當用來計算模內溫度時，其仿真精度的改善更為明顯。在150 s時，第一種傳熱模型對模具溫度的仿真誤差減小為4%，對模內溫度的仿真誤差減小為4.8%。

圖5 第一種傳熱模型的模具溫度的計算值與實測值的比較Fig.5 Comparison of calculated results by the first model with tested results for mold temperatures

圖6 第一種傳熱模型的模內溫度的計算值與實測值的比較Fig.6 Comparison of calculated results by the first model with tested results for internal temperatures

由圖6還可以看出，在120 s后，第一種傳熱模型仿真所得的模內溫度由以前的高于實驗結果變成了低于實驗結果。一方面由于粉料的定壓比熱容隨粉料溫度的升高而增大，致使仿真所得的模內溫度升高的速率低于假設常物性時的情形。另一方面在120 s后，有少量的粉料逐漸開始熔融。由實驗結果看出，此時模具溫度升高的速率明顯降低，這意味著有更多的熱量由模具傳遞給了內部混合物。這些多出來的熱量一部分用于粉料的熔融相變吸熱，另一部分則用于模內溫度的繼續升高。由于在120～180 s這一段時間里，開始熔融的粉料還比較少，因此前述第一部分熱量所占的比例還不大，而第二部分熱量所占的比例比較大，從而使得實際的模內溫度快速升高，就造成了此后模內溫度的實測值變得高于計算值。

在圖7和圖8中分別給出了當考慮變物性時即定壓比熱容隨溫度增大時，由第二種傳熱模型仿真得出的模具溫度和模內溫度，并將其與假設常物性時的仿真結果以及相應的溫度實測值分別進行了比較。結果發現考慮變物性后，采用第二種模型幾乎沒有改善模具溫度的計算精度，但在加熱時間90 s后反而會使得模內溫度的計算精度明顯變差。這個變差的原因可能還是由于所采用的模具內壁面與內部混合物間的傳熱系數不準確造成的。

圖7 第二種傳熱模型的模具溫度的計算值與實測值的比較Fig.7 Comparison of calculated results by the second model with tested results for mold temperatures

圖8 第二種傳熱模型的模內溫度的計算值與實測值的比較Fig.8 Comparison of calculated results by the second model with tested results for internal temperatures

由以上分析可以看出，除非預先能獲得比較準確的模具內壁面上的平均傳熱系數，否則第二種傳熱模型對模內溫度的仿真誤差比較大，而且隨著加熱過程的進行，這個誤差變得越來越大。但是如前所述，第二種傳熱模型對模具溫度的仿真誤差還是可以接受的，這主要是因為模具溫度受內壁面上傳熱系數的影響程度不像模內溫度那么大。當模具溫度升高到粉料的熔融溫度時，可以認為模內的粉料開始熔融了。即準確地仿真模具溫度也就意味著可以準確地預測加熱時間?？紤]到第二種傳熱模型的計算量比第一種傳熱模型小很多，因此采用第二種模型來仿真模具溫度和預測加熱時間就具有極大的優勢。但如果需要較為準確地仿真模內溫度，則還是應該采用計算量更大、更復雜的第一種傳熱模型。

4 結論

（1）兩種傳熱模型對模具溫度的仿真精度都比對模內溫度的仿真精度要高；無論是用于仿真模具溫度還是模內溫度，第一種傳熱模型的精度都要高于第二種傳熱模型，但前者的計算量要遠遠大于后者的計算量；

（2）當考慮變物性時，第一種傳熱模型的仿真精度有所改善，尤其是對模內溫度的仿真精度改善更為顯著；第二種傳熱模型對模具溫度的仿真精度幾乎沒有改善，對模內溫度的仿真精度反而變得更差；

（3）綜合來看，第二種傳熱模型在計算模具溫度時具有一定的優勢，但不適用于計算模內溫度；而第一種傳熱模型，尤其是在考慮變物性的情況下，更適用于計算模內溫度。