奇特征有限域上的辛圖

蘇 磊 磊,南 基 洙,韋 揚(yáng) 江

(1.大連理工大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 遼寧 大連 116024； 2.南寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院， 廣西 南寧 530001 )

0 引 言

在本文工作之前，研究者利用辛空間中的一維子空間和它們的正交性來定義辛圖．Rotman研究了Z2上的辛圖[1]．Tang等進(jìn)一步對有限域上的辛圖進(jìn)行了探究[2]．利用組合的方法，Meemark等分別在Zpn、有限局部環(huán)和有限交換環(huán)上定義并研究了辛圖[3-5]．利用矩陣的方法，Li等介紹了有限域上辛圖的次成分[6]、Zpn上的辛圖[7]，及Zpq上的辛圖[8]．Gu研究了Zpn上辛圖的次成分[9]．最近，Su等利用有限域上辛空間中的二維非迷向子空間和它們的交定義了一類新的辛圖[10]．

1 Γ的性質(zhì)

定義1圖G中所有從頂點(diǎn)x到y(tǒng)的路的最短長度稱為x到y(tǒng)的距離，記作dG(x，y)．

定義2[9]令圖G是一個頂點(diǎn)數(shù)為v的k-正則圖．若圖G中的任意兩個不同頂點(diǎn)之間有c1，c2，…，cd-1或者cd個公共鄰接點(diǎn)，則稱圖G是一個參數(shù)為(v，k，{c1，c2，…，cd})的d-Deza圖．特別地，2-Deza圖即為通常的Deza圖

引理1[11]辛圖是頂點(diǎn)可遷的．特別地，Sp2ν(q)頂點(diǎn)可遷地作用在Γ上．

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引理3[11]若ν=2，則Γ是一個參數(shù)為

的強(qiáng)正則圖．

下面考慮ν≥3時的Γ的結(jié)構(gòu)．

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性質(zhì)2令ν≥3．對于Γ中的任意兩個相鄰頂點(diǎn)V1和V2，有

□

性質(zhì)3令V1和V2為Γ中的任意兩個不相鄰頂點(diǎn)．

(1)若ν≥4，則|N(Γ，V1，V2)|=q+1，2q+1，(q+1)2．

(2)若ν=3，則|N(Γ，V1，V2)|=q+1，2q+1．

證明(1)令V3是V1和V2的公共鄰接點(diǎn)．

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由性質(zhì)1、2和3，有以下定理．

定理1(1)若ν=3，則Γ是一個參數(shù)為

的4-Deza圖．

(2)若ν≥4，則Γ是一個參數(shù)為

的5-Deza圖．

2 次成分Γ1

定理2若ν=2，則Γ1是一個參數(shù)為

(q(q+1)，q-1，q-2，0)

的強(qiáng)正則圖．

證明由引理3可知，|V(Γ1)|=q(q+1)，且存在q-1個頂點(diǎn)與任意的V1∈Γ1相鄰．

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定理3若ν≥3，則Γ1不是正則圖．

定理4令ν≥3，對于Γ1中的任意兩個相鄰頂點(diǎn)V1和V2，有

q2+q-2

證明令V1∩V2=〈D〉，V3是V1和V2的公共鄰接點(diǎn)．

假設(shè)〈D〉V0，有其中若〈D〉?V3，則其中〈s1e1+s2e2〉≠〈k1e1+k2e2〉，〈s1e1+s2e2〉≠〈m1e1+m2e2〉．于是V3的個數(shù)為(q+1)-2=q-1．若〈D〉V3，則其中l(wèi)≠0或n≠0．從而V3的個數(shù)為q2-1．

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定理5令ν≥3，對于Γ1中的任意兩個不相鄰頂點(diǎn)V1和V2，有

|N(Γ1，V1，V2)|=2q，q，0

□

□

3 次成分Γ2

定理7若ν=2，則Γ2是一個參數(shù)為

(q3，q2-1，{q-2，q-1，q+1})

的3-Deza圖．

□

引理4令V1是Γ2中的任意一個頂點(diǎn)．

證明(1)令V2與V1相鄰．

□

由引理4，有以下定理．

定理8若ν≥3，則Γ2不是正則圖．

定理9令ν≥3，對于Γ2中的任意兩個相鄰頂點(diǎn)V1和V2，有

證明令V1∩V2=〈D〉，V3是V1和V2的公共鄰接點(diǎn)．

假設(shè)〈D〉V3．因為〈D〉V0，所以D=H+k1e1+k2e2，其中有

□

(1)若ν≥4，則|N(Γ2，V1，V2)|=q-1，q+1，2q，q(q+1)．

(2)若ν=3，則|N(Γ2，V1，V2)|=q-1，q+1，2q．

□

(1)若ν≥4，則|N(Γ2，V1，V2)|=q，q+1，2q，2q+1，q(q+2)．

(2)若ν=3，則|N(Γ2，V1，V2)|=q，q+1，2q，2q+1．

證明(1)令V3是V1和V2的公共鄰接點(diǎn)．不失一般性，可以假設(shè)x3=0且y3≠0．為方便起見，記D1=H1+k1e1+k2e2，D2=H2+n1e1+n2e2，X1=x1H1+x2H2+s1e1+s2e2且X2=y1H1+y2H2+y3N+t1e1+t2e2．

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(1)若ν≥4，則|N(Γ2，V1，V2)|=q+1，2q+1，(q+1)2．

(2)若ν=3，則|N(Γ2，V1，V2)|=q+1，2q+1．

證明與性質(zhì)3的證明方法類似可得．

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由引理5、6和7，有以下定理．

定理10令V1、V2是Γ2中的任意兩個不相鄰頂點(diǎn)．

(1)若ν≥4，則|N(Γ2，V1，V2)|=q-1，q，q+1，2q，2q+1，q(q+1)，q(q+2)，(q+1)2．

(2)若ν=3，則|N(Γ2，V1，V2)|=q-1，q，q+1，2q，2q+1．

4 結(jié) 語