基于核心素養下的教學設計
——橢圓及其標準方程第二課時

劉錦貴（廣東省陽江市第一中學，廣東 陽江 529500）

一、內容和內容解析

本節課內容是新人教A 版選擇性必修第一冊第三章第一節《橢圓》.在學習這部分內容之前，我們學習了橢圓的定義及其標準方程，并且學習了使用定義及待定系數法求橢圓的標準方程，在曲線與方程中學習了直譯法求軌跡方程.本節課作為橢圓標準方程的第2 課時，重在處理課本108頁例題2 與例題3，從中得到形成橢圓的另一些方法，并從例題2 與例題3 中體會橢圓與圓之間的關系.

二、目標和目標解析

1.加深橢圓概念的理解，進一步探討生成橢圓的方法.

2.通過幾何直觀想象感受橢圓與圓之間的關系.

三、教學問題診斷分析

1.學生在初中時學習了直徑所對的圓周角是直角，垂徑定理，需要引導學生將這些學過的內容與高中必修二中垂直與斜率相乘等于-1 聯系起來.

2.學生剛剛學習橢圓，對橢圓的概念及其標準方程掌握得還不夠深入，求軌跡方程的方法思路還有待加強.

3.在探究圓與橢圓之間的關系時，較為抽象，需借助多媒體輔助教學.

四、教學支持條件分析

學校教室已安裝西沃一體機，實物投影儀，幾何畫板.

五、教學過程設計

（一）復習回顧

1.定義：我們把平面內與兩個定點F1，F2的距離的和等于常數（大于｜F1F2｜）的點的軌跡叫作橢圓.｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a（2a＞｜F1F2｜）.

2.標準方程.

焦點在x軸：；

焦點在y軸：.

鞏固練習：已知點B（-3，0），C（3，0），且△ABC的周長為16，求頂點A的軌跡方程.

解：設點A的坐標為（x，y）.

因為｜AB｜＋｜AC｜＋｜BC｜＝16，

所以｜AB｜＋｜AC｜＝10＞｜BC｜.

由橢圓定義知點A的軌跡是橢圓，根據橢圓定義及標準方程可知2a＝10，c＝3.

所以b2＝a2-c2＝16，

所以頂點A的軌跡方程是.

設計意圖：幫助學生回顧橢圓的定義及標準方程，回顧求軌跡方程的一般思路，為接下來的內容提供基礎.

（二）學習新知

例1如圖1，在圓x2＋y2＝4 上任取一點P，過點P作x軸的垂線段PD，D為垂足，當點P在圓上運動時，線段PD的中點M的軌跡是什么？為什么？

圖1

解：設點M的坐標為（x，y），點P的坐標為（x0，y0），

因為點P（x0，y0）在圓x2＋y2＝4 上，

把x0＝x，y0＝2y代入①得x2＋4y2＝4，即.

所以點M的軌跡是橢圓.

練習1：（課本115 頁第9 題）如圖2，DP⊥x軸，D為垂足，點M在DP的延長線上，且，當點P在圓x2＋y2＝4 上運動時，求點M的軌跡方程，并說明軌跡形狀.

圖2

解：設點M的坐標為（x，y），點P的坐標為（x0，y0），

因為點P（x0，y0）在圓x2＋y2＝4 上，

所以點M的軌跡是一個橢圓.

師生活動：

提出問題：從例1 中你能發現圓與橢圓之間的關系嗎？

學生回答：橢圓可以由圓壓縮得到.

從而得出形成橢圓的一個方法.

進一步提問1-1：回想一下有關圓的知識，你能想到什么？

學生回答：圓的定義，半徑，對稱，直徑所對的圓周角是直角，垂徑定理……

進一步提問1-2：回想必修二斜率知識，直徑所對的圓周角是直角，與斜率有什么關系？

學生回答：斜率相乘等于-1.

利用幾何畫板演示給學生看，如圖3 所示，讓學生觀察幾何畫板的動態演示.

圖3

進一步提問1-3：我們通過幾何畫板演示可以看到圓上的動點P滿足kAP×kBP＝-1，橢圓里面是否存在類似的結論呢？

學生回答：kAM×kBM＝-0.25，為負常數.

進一步提問1-4：是否到兩個定點的斜率之積為一個負常數的動點的軌跡就是橢圓，請看例題3.

設計意圖：讓學生從直觀想象中觀察出圓與橢圓之間的關系，培養學生直觀想象的學科素養，為接下來例題2 的引出做好了鋪墊.

例2 如圖4 所示，設點A，B的坐標分別為（-5，0），（5，0）.直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是-，求點M的軌跡方程.

圖4

解：設點M的坐標為（x，y），

解：設點M的坐標為（x，y），則，

化簡得點M的軌跡方程為.

當t＞0 時，點M的軌跡是一條神秘曲線；

當t＝-1 時，點M的軌跡是圓；

當t＜0 且t≠-1 時，點M的軌跡是橢圓.

師生活動：

提問：你能得出什么結論呢？

學生回答：一個動點到兩個定點連線的斜率之積是一個負常數（不等于-1）的軌跡為橢圓，但要注意去掉不符合的兩個點.

進一步提問：這個負常數t是否具備什么特點？

設計意圖：讓學生認識到橢圓還有其他產生方式，感受橢圓蘊含著豐富的、奇妙的性質，促使學生掌握坐標法、數形結合的數學思想方法，并由淺入深，一步一步得到一些新的結論，為接下來的拓展做鋪墊.

（三）拓展思考

思考1：已知點A，B的坐標分別為（-a，0），（a，0），M是橢圓（a＞b＞0）異于A，B的一點，直線AM，BM的斜率之積是否為定值？如是，求出定值；反之，說明理由.

所以直線AM，BM的斜率之積為定值.

得出一個結論：直線AM，BM的斜率之積為定值.

思考2：已知A，B是橢圓＝1（a＞b＞0）上關于原點對稱的兩點，M是橢圓上異于A，B的一個動點，直線AM，BM的斜率都存在，且kAM·kBM≠0，請問：直線AM，BM的斜率之積是否還為定值？如是，求出定值；反之，說明理由.

解：設點M的坐標為（x，y），點A的坐標為（x1，y1），點B的坐標為（-x1，-y1），

所以直線AM，BM的斜率之積為定值.

得出一個結論：直線AM，BM的斜率之積為定值-.

拓展練習2：已知P是橢圓＝1（0＜m＜4）上任意一點，M，N是橢圓上關于坐標原點對稱的兩點，且直線PM，PN的斜率分別為k1，k2（k1k2≠0），若｜k1｜＋｜k2｜的最小值為1，則橢圓E的方程為_________________________.

圖5

解：連接BO并延長交橢圓于點B1，連接AB1，

因為M，O分別是AB，BB1的中點，

所以OM∥AB1，即kOM＝kAB1，

設計意圖：進一步體會圓與橢圓之間的關系，并形成一些相關的結論，為以后更好地學習有關橢圓的性質奠定基礎.

六、教學反思

本節課由例題2 和例題3 得到形成橢圓的另外一些方法，并從得到這些方法的過程中，體會圓與橢圓之間的關系；同時，將圓中的有關結論推廣到橢圓中，得到有關橢圓的一些結論，并將得到的結論應用于解題中.在教學的過程中，教師應充分利用多媒體軟件輔助教學，讓學生更好地直觀想象、感受圓與橢圓的關系.