初中數學中的化歸思想案例分析

陳春宇（吉林師范大學，吉林 長春 130000）

一、引言

素質教育正在逐步取代應試教育，如何將學生的綜合能力提升，成為當前教師需要解決的重點問題.我們知道數學這門學科是一個具有較強邏輯性的科學，數學中的知識大多都具有連貫性；教材中的數學知識編排也是由淺至深，由易到難.化歸思想貫串整個數學學習過程中，是一個極其重要的解題思想，那么這就要求教師能夠在教學過程中滲透化歸思想，實現學生在學習了某些新的偏難的知識后，能夠自覺選擇并熟練運用化歸思想將問題進行簡單化處理.這樣來看，基于數學核心素養下的化歸思想，既有助于提升學生的邏輯推理能力和數學運算能力，又能夠有效地鍛煉學生的數學思維，讓學生能夠擁有良好的數學素養，增強課堂教學質量，提升學生的學習效率，這無疑是一種提升學生綜合能力的有效途徑.下面筆者將結合初中數學教學內容中所涉及的能夠充分體現化歸思想的案例來進行具體分析.

二、在有理數的運算中體現的化歸思想

在初中數學人教版教材中，七年級上冊第一章節的內容就是有理數，初中階段最先接觸的數的運算也是有理數的運算.有理數的運算包括有理數的加法、減法、乘法、除法以及乘方，在這些有理數的運算過程中隱藏著許多化歸思想.

在進行有理數的減法運算時，我們應先將減法轉化為加法，再根據有理數的加法法則來進行計算.例如，當計算8-(-2)時，我們要將括號之前的減號變為加號，再將括號中的減數變成它的相反數，經過轉化后得到8＋2 ＝10.因為減去一個負數這樣的逆向思維學生會很難理解，所以將減法運算變為加法運算就是一個化繁為簡的過程，學生更易接受.學生后面還要學習有理數的加減法混合運算，這樣的轉化方法，使混合運算統一為加法運算，再結合適當的加法運算律來計算，就會使原本復雜的混合運算變得容易計算.

有理數的除法運算與有理數的減法運算有著類似的轉化思路，就是先將除法轉換為乘法，再根據有理數的乘法法則來進行計算.例如，當計算時，我們要將除號先變為乘號，再將除數變為它的倒數，經過轉化可以得到.學生先學習了乘法，自然會對乘法有著固化思維，除法是乘法的逆運算.因此，將除法轉化為乘法更易讓學生理解和計算.

先學了加法，就把減法轉化為已熟悉的加法來計算；先學了乘法，就把除法轉化為已熟悉的乘法來計算.減法法則和除法法則是有理數運算中最典型的化歸思想，是我們學習數學必須掌握的最基本的兩種運算法則.

三、在代數式的運算中體現的化歸思想

在初中階段的代數式的運算過程中，課標要求學生熟練掌握去括號法則、合并同類項法則以及整體代入法則，以實現整式的化簡求值.

將b＝2 代入，得原式＝8b＝8×2＝16.

該題要求“化簡”式子，顧名思義，就是將5（a＋b-c）-3（a-b-c）-2（a-c）化繁為簡，即要求運用化歸思想來解決該問題.這類題的化歸思想為：當遇到幾個整式相加減的式子，如果有括號的就先去掉括號，然后進行合并同類項的過程，將同類項的系數相加減，字母連同它的指數都不變，最后將原來較為復雜的整式轉化為簡單的有理數相加減的形式來得到最簡代數式.

例2代數式x2＋4x-3 的值為3，則2x2＋8x-7 的值為多少？

解：由題意得x2＋4x-3＝3，則x2＋4x＝6.

又因為2x2＋8x-7＝2（x2＋4x）-7，

故原式＝2×6-7＝5.

本題是求代數式的值，但根據已知條件求出x的值再求代數式的值會很麻煩，所以本題中可以先根據已知條件求出x2＋4x的值，將x2＋4x看成一個整體，再找出2x2＋8x-7與x2＋4x的關系，目的是從2x2＋8x-7 中變出這個整體，即變為2(x2＋4x)-7，最后將x2＋4x整體代入后求值.整體代入法則是求代數式的值的一般方法，即將所求的代數式變形為已知的代數式表示的形式，然后代入數值進行計算的解題方法.運用這種化部分為整體的化歸思想來解決此類問題，可以使得解題步驟更為簡單.

四、在解方程與解方程組的運算中體現的化歸思想

前面所學過的有理數和代數式的運算均為接下來的解方程和解方程組奠定了化歸思想基礎.解方程和解方程組的基本思路就是將未知數的次數由高次轉化為低次、將無理方程轉化為有理方程、將分式方程轉化為整式方程以及將多元方程轉化為一元方程，在這些轉化過程中無一不是運用了化歸思想，即不斷通過變形和轉化將原方程變成與它等價的最簡單的方程的過程.化歸思想是學生會求解方程和方程組的核心思想.

例3求一元二次方程x2-5x＝0 的根.

解：等式左邊提出公因式x，可得x（x-5）＝0，

解得x1＝0，x2＝5.

降次法是指將高次方程轉化為低次方程，本題求一元二次方程，就是將一元二次方程降次為一元一次方程來求解.

例4解無理方程.

解：將等式兩邊分別平方，得x＋2＝16，解得，x＝14.

經檢驗，x＝14 是原方程的根，所以原方程的根是x＝14.

本題原式為一個無理方程，解無理方程關鍵是要去掉根號，將其轉化為整式方程.經過將等式兩邊平方后去掉了根號，得到了一個有理方程，再對等式兩邊進行移項后得到了方程的根.

例5解分式方程.

解：將分式去分母，兩邊同乘x-1，得

1-2（x-1）＝-3，

將等式兩邊去括號，得1-2x＋2＝-3，

移項后整理，得2x＝6，

解得x＝3，

經檢驗，x＝3 是方程的根，

所以x＝3 是原方程的解.

解分式方程最基本的思想就是將分式方程轉化為整式方程.首先將方程的兩邊乘方程中各分式的最小公分母，通分去掉分母，將分式轉化為整式方程.再進行去括號和合并同類項的運算，從而求得方程的根.這里要注意整式方程的解不一定是分式方程的解，但整式方程的解中一定包含了分式方程的解，因此要逐一檢驗所得到的整式方程的解，這個過程叫作驗根，要檢驗求出來的根是否為原式的增根，增根是在把分式方程轉化為整式方程的過程中產生的，要去掉增根才能得到原分式方程真正的根.

例6解二元一次方程組

解：令x＋2y＝9 為①式，3x-2y＝-1 為②式，

則①＋②得4x＝8，

解得x＝2.

把x＝2 代入①中，得2＋2y＝9，

消元法是指通過有限次變換，消去原式中的某些元素.本題求二元一次方程組的解，利用加減消元法和代入消元法將二元一次方程轉化為兩個一元一次方程進行求解.這種將未知數個數由多化少，逐一求解的消元思想，同樣也體現了數學的化歸思想.

五、在一元一次方程的應用問題中體現的化歸思想

實際問題與數學模型的轉化思想是解決數學問題的關鍵.把實際問題轉化成一個數學問題，這個過程被稱為數學建模的過程.建構的數學模型要遵循簡化原則、可推導原則、反映性原則，其具體步驟如下：

①審題明意：從閱讀問題、理解問題的實際背景出發，看問題中一共涉及幾個量，分析已知條件，明確各數量間的關系，然后概括出問題的數學實質.

②數學建模：找出能夠表示實際問題中全部含義的一個等量關系，建立一個數學模型.

③問題標準化：將建好的數學模型轉化為方程（組）、不等式組、函數等常規的數學問題，進而解決實際問題.

下面我們以解決實際問題中的商品打折促銷問題的過程為例，來深刻體會實際問題與數學模型的轉化中所滲透的化歸思想.

例7某商店將某種數碼相機按進價提高了35%后，打出“九折酬賓，再讓利50 元運輸費”的廣告進行促銷，結果這種數碼相機每臺仍可獲利208 元.問：每臺數碼相機的進價是多少元？

解析：題目中涉及數碼相機的進價、利潤率、折扣、讓利以及利潤這幾個量，然后找到本題的等量關系轉化為數學模型：根據商品利潤＝商品售價-商品進價，得到該相機的利潤＝［進價＋（利潤率×進價）］×折扣-讓利-進價.

首先設每臺數碼相機的進價為x元，然后將已知量代入建好的模型后得到一個一元一次方程：（x＋0.35x）×0.9-50-x＝208，解得x＝1200，故每臺數碼相機的進價為1200 元.

實際數學問題的解決離不開數學建模，數學建模的本質就是構建適當的等量關系，使得原來的問題情境轉化為容易解決的問題的方法，是化歸思想的集中體現.數學教學的終極目的就是讓學生能夠實現將實際問題轉化為抽象的數學模型并進行解釋與應用.

六、在幾何問題中體現的化歸思想

解決初中數學的幾何問題時，需要經常與轉化思想相結合.在初中數學七年級上冊人教版教材中的第四章為幾何圖形初步，第一節的內容就要求學生能夠識別立體圖形的展開圖.在探求立體圖形平面展開圖時，教師讓學生在頭腦中想象出沿著立體圖形的棱角適當剪開的過程，這是由抽象到具體、由立體到平面的轉化過程.在幾何這一部分的學習中還有很多地方也滲透了化歸思想，例如，化曲為直的思想、合同變換的思想等.這些均能體現化歸思想在初中幾何中的重要地位.

例8如圖2，圓柱形的玻璃杯高為14 cm，底面周長為32 cm，在杯內壁離杯底5 cm 的點B處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿3 cm 與蜂蜜相對的點A處，求螞蟻從外壁A處到內壁B處的最短距離（杯壁厚度不計）.

圖2

解：如圖3 所示，將該圓柱的側面展開，點A′為點A關于EF的對稱點，

圖3

則螞蟻從外壁A處到內壁B處的最短距離為20 cm.

本題的情景設置在一個圓柱形的物體上，圓柱的表面是曲面，如果直接去思考問題會很抽象，不易理解.但是，只要我們想象這個圓柱側面展開后的樣子，將曲面化為“直線”平面圖形；將螞蟻的運動軌跡由曲線變為直線.經過這樣的轉化后再對問題進行思考就會覺得清楚易懂了.運用化曲為直的思想能夠訓練學生的數學思維，培養學生的探究能力.

例9已知梯形ABCD中，CD∥AB，∠A＋∠B＝90°，M，N分別為AB和CD的中點，求證：MN＝.

圖4

合同變換的思想是指圖形在進行平移、對稱、旋轉的變換下，與其本身全等的變換.本題的證明中首先過點N分別作NE∥AD，NF∥BC，交AB于點E，F，這也可以等同于NE是AD向右平移后的線段，NF是BC向左平移后的線段.因為∠A＋∠B＝90°，所以∠NEF＋∠NFE＝90°，所以兩線段平移之后形成的△NEF是一個直角三角形.于是，解題思路就轉化為證明MN為Rt △NEF斜邊上的中線，又轉化為2MN＝EF＝AB-CD，即可證明結論.合同變換思想在初中數學的平面幾何中比較常見，所以也是要求學生能夠領悟的一個思想方法.

七、在找規律問題中體現的化歸思想

解答探索數學規律的問題時，我們要認真觀察題目中給出的數字、式子或圖形的變化規律，在閱讀和觀察的基礎上理解其實質、方法和思想，再結合數字、式子或圖形的特征和意義解題.這類問題的主要類型有：閱讀和觀察特殊范例，推出一般結論再運用；閱讀解題過程，總結解題思路和方法，再進行運用；閱讀新知識，研究新問題等.下面給出一道運用“閱讀和觀察特殊范例，推出一般結論再運用”的典型化歸思想方法來解決問題的例題：

例10一個自然數的立方，可以“分裂”成若干個連續奇數的和.例如：23，33和43分別可以按如圖5 所示的方式“分裂”成2 個、3 個和4 個連續奇數的和，即23＝3＋5；33＝7＋9＋11；43＝13＋15＋17＋19……若113也按照此規律來進行“分裂”，則113“分裂”出的奇數中，最大的奇數是什么？

圖5

解析：23＝3＋5，“分裂”的第一個數是3＝2×1＋1，33＝7＋9＋11“分裂”的第一個數是7＝3×2＋1，43＝13＋15＋17＋19“分裂”的第一個數是13＝4×3＋1，從而可知n3“分裂”出的奇數中第一個數是n（n-1）＋1.通過觀察還可知，每組數的底數是幾就“分裂”出幾個奇數，又因為每兩個相鄰的奇數之間相差2，并且從第一個奇數往后數還有（n-1）個奇數，則n3“分裂”出的最后一個奇數是n（n-1）＋1＋2（n-1），故113按照此規律“分裂”出的奇數中，最大的奇數是n（n-1）＋1＋2（n-1）＝11×（11-1）＋1＋2×（11-1）＝131.

該例題的解題方法就是通過觀察題目中給出的三個自然數的立方“分裂”的特殊的情形，總結出兩個一般規律，即n3“分裂”出的第一個奇數n（n-1）＋1 和最后一個奇數n（n-1）＋1＋2（n-1），這是從特殊到一般的轉化過程.總結出自然數的立方“分裂”的一般規律后，再將題目中所要求出的特殊值113的底數11 代入最后一個奇數n（n-1）＋1＋2（n-1）這個一般規律中求出最后結果，此過程為從一般到特殊的轉化過程.

從特殊到一般的數學思考方式是化歸思想中重要的一部分，也就是從特殊的事例中總結出一般規律的過程，這種數學思考方式就叫作從特殊到一般.從特殊到一般再從一般到特殊這種反復的認識過程正是人們認識事物的基本過程，在數學中也不例外，我們可以讓學生充分發揮自己的探究能力，培養學生的數學思維，在認識數學的活動中起到重要的作用.

八、結束語

在初中數學教學中，有很多問題都蘊含著化歸思想，靈活地運用化歸方法能夠幫助學生學習和理解各種數學知識.本文詳細闡述了初中數學教學中的化歸思想的內涵以及對典型的化歸思想案例進行分析，希望可以為廣大數學教師提供參考，促進我國教育事業的發展和進步.經過分析表明，無論是在有理數的運算、代數式的運算、解方程與解方程組的運算中，還是在方程的應用、幾何的構成和變化的規律問題中，都有極其明顯的體現.我們也可以清楚地看出化歸思想的運用可以讓解題思路更加靈活，讓解題方法更加多樣.這也更加印證了在數學教學中滲透化歸思想的重要性.因此，教師在教學過程中應多挖掘、多思考培養學生化歸思想的教學方法，讓學生能夠熟練掌握化歸思想，使學生能夠通過化歸思想解決各種問題，培養學生自主學習、獨立思考的意識，激發學生對數學學習的興趣.