控制力約束條件下的噴水推進船魯棒控制

曾 宏，秦梓荷，蔣 一，黃 堅

（1．珠海云洲智能科技股份有限公司，廣東珠海 519000；2．中國船舶科學研究中心，江蘇無錫 214082）

0 引言

近10年來，無人系統的研發得到了極大程度的發展，其中作為核心內容的運動控制問題在控制學界得到了密切的關注。無人艇作為無人駕駛領域的一個重要研究方向，其運動控制的主要研究點包括路徑規劃、路徑跟蹤和編隊航行等[1-4]。國內外成型的無人艇，大多采用噴水推進滑行艇的基本船體形式，因此重點研究噴水推進無人艇的運動控制具有十分重要的意義。

在控制器設計方面，噴水推進無人艇與常規的螺旋槳推進船舶有一定的差異。與常規固定螺旋槳不同，噴水推進器能為船舶提供矢量推力。通過改變噴口射流方向產生轉艏力矩，從而噴水推進船不需要安裝舵機，然而推力偏角會產生橫向推力，造成縱向推力與轉艏力矩具有耦合關系，加大了控制器設計的難度。

針對水面無人艇及無人潛器的運動控制，可使用PID（Proportion Integral Differential）、自適應、反步法和自抗擾等控制方法，且已有大量的研究文獻[5-7]。然而，以上文獻都只將控制算法執行到控制力/力矩設計的層面，對具體硬件的控制則未加考慮。

要研究噴水推進船的運動控制，首先需要噴水推力大小與主機轉速的關系。針對該問題，高雙[8]及BA等[9]研究了特定航速下噴水推進器的推力計算問題。然而，雖然噴水推力大小雖然由主機轉速直接決定，還受到進水口流速（即船體航速）的影響。噴水推力與轉速和航速具有復雜的多元關系，難以通過水動力計算確定不同航速和主機轉速下的推力數值。

查閱相關文獻可知，目前尚未有學者對噴水推力、主機轉速和航速三元關系的計算開展相關研究。為此，本文以解決該問題出發，創建了一種推力-航速-轉速三元關系的擬合方法。在此基礎上，進一步研究了輸入量飽和約束下的噴水推進船航速航向魯棒控制問題，設計了相應的航速、航向控制律。最后，通過指定航速下的路徑跟蹤仿真，驗證了所提出控制律對航速和航向聯合控制時的有效性。

1 噴水推進船舶水面運動模型

船舶的空間運動具有6個自由度，然而在研究水面船舶運動控制的過程中，通常習慣性地忽略船舶的橫搖、縱搖和升沉運動。此外，假設船體關于中縱剖面對稱（即左右對稱），且設隨體坐標系的原點位于船體重心處。參考文獻[10-11]，船舶的水面3自由度運動方程可按如下方式表達：

式中：(x,y)為船舶在北東坐標系下的位置；ψ為艏向角；u、v、r分別為船在隨體坐標系下前進、橫移、轉向角的變化速率；轉艏力矩τr、縱向推力推力τu、推力τv為主動控制輸入量；m11、m22、m33為與船體慣性力相關的運動系數；du、dv、dr、d|u|u、d|v|v和d|r|r等系數與船體運動的流體阻尼相關；ξu、ξv、ξr為環境擾動力在3個自由度的分量，同時符合如下限定條件：外界擾動ξu、ξv、ξr大小有界，且擾動力上界可知，船舶水面運動模型見圖1。

圖1 船舶水面運動模型

與螺旋槳動力船舶相比，噴水推進船的控制力形式有明顯的區別，且區別在于噴水推進器的矢量推力形式，通過噴水推進器的噴口轉動裝置代替了傳統的舵機。在不考慮倒車斗使用的情況下，噴水推進船的控制力包括噴水推力T和推力偏角產生的轉艏力矩N，具體的控制力形式如式（2）所示：

式中：T為噴水推進器的總推力；xT為噴水口到船體重心的縱向距離；δ為噴水推進器的噴口轉角，出于簡便以及習慣性稱呼的原因，在下文的表述中將噴口轉角改稱為舵角。

式（2）中，雖然噴水推進器有縱向、橫向和艏搖3個自由度的控制輸入量，但實際上控制輸入量只有2個，即推力T和舵角δ，控制系統在本質上仍是欠驅動的。

2 噴水推進器推力函數模型建立

要進行后續的控制律設計和運動控制仿真模擬，首先需要知悉噴水推進器的推力函數關系。對噴水推進器而言，噴水推力大小取決于噴口水流速度，即由泵葉轉速n決定（由發動機轉速通過減速箱得到，本文中假設減速比為1），但還受船舶航速的影響。

分析可知，噴水推力、船舶航速以及主機功率三者關系具備唯一性。以HJ364型44號葉輪的Hamilton噴水推進器為例，其軸功率Pe和輸入轉速n之間存在關系Pe= 4 4.5(n/ 1 000)3，且不同軸功率下的航速-推力曲線圖譜如圖2所示。

圖2 航速-推力曲線圖譜

在圖2中，功率100 kW、200 kW至600 kW分別對應轉速為1.31×103r/min、1.65×103r/min、1.89×103r/min、2.08×103r/min、2.24×103r/min、2.38×103r/min。根據不同航速，提取圖2中數據獲得如表1所示。

表1 推力-航速-轉速關系表

經過反復嘗試以及多方案對比，設計得到如下推力函數模型：

式中：f1與f2均為只與vs有關的簡單初等函數。

針對表1中的數據，根據航速值重新繪制推力-轉速曲線，并按式（3）進行最小二乘擬合，擬合結果如圖3所示。

圖3 推力-轉速特性圖譜

圖3中實線表示實際值，虛線為擬合曲線。對圖3中的函數值進行整理，并對f1與f2分別采用二項式擬合，所得表達式為

結合式（3）與式（5），計算得到表1中各工況下推力的擬合曲線，如圖4所示。圖4中，實線表示各功率下的實際推力曲線，虛線表示擬合公式的推力計算值，計算值與實際值具有良好的一致性。

圖4 擬合推力與實際推力對比圖

3 航速航向魯棒控制算法設計

對于欠驅動的水面船舶而言，通常對航速和航向的控制律進行分離設計，本文中也采用相同的控制器設計策略?？紤]到噴水推進器實際推力和外界波浪擾動的不確定性，采用了滑?？刂圃O計航向的魯棒控制律。航速控制律的設計相對較為簡單，不需要使用滑?？刂品椒?。

3.1 航速魯棒控制律設計

定義期望航速為ud，且航速誤差為繼而設計如下Lypunov函數：

對式（7）兩邊求導可得：

根據式（8），設計期望推力控制律為

式中：

從而Lyapunov函數V1是漸進收斂的，航速誤差也將在有限時間內收斂于零。然而式（9）中的符號切換律sgn()有可能導致系統發生抖震現象[12]。為此，改進式（11）的控制律為

式中：

式中：0＜κ1＜1為切換函數的邊界層寬度。

將式（12）代入式（8）可得：

對于式（14），根據的數值大小，可分為2種情況依次討論。

根據文獻[13]可知，V1滿足如下的時間函數關系：

3.2 航向魯棒控制律

定義為ψ期望艏向角，同時艏向角誤差為在此基礎上，進一步定義如下了滑模動態面：

式中：λ為正常數。

定義如下Lyapunov函數：

對上式兩邊進行求導可得：

針對上式，設計期望舵角dδ的控制律如下：

其中切換律sat(S1)具有如下格式：

且2κ為小于1的正常數。

將式（21）與式（22）代入式（20）可得：

式中：

同理式（14）至式（17）的證明過程，也可分兩種情況推導得到V2滿足如下的時間函數關系

則V2將在有限時間內收斂到區間內，通過適當減小κ，并增大k2的取值，可以使滑模面S1逐漸趨近于0。根據滑模理論可知，艏向誤差也將趨近于0。

3.3 主機模型和噴口轉角模型

噴泵的轉速調節模型可以使用發動機調速模型代替。主機模型可以通過一個一階慣性環節進行描述，則有

式中：˙為主機轉速角加速度；為指令轉速；Kn為轉速上升時間常數。在本文控制器設計過程中，限定主機最大轉速為2 300 r/min，最大轉速加速度為50。

噴口轉動控制可以參照舵機伺服系統，看作一個一階慣性過程，其運動特性可參照文獻[14]表示為如下函數形式：

式中：δ為噴口角；dδ為期望噴口角；Kδ為角度控制增益。噴口角度及角速度存在硬件性能限制：

通過采用式（25）與式（26）的主機和噴口轉角模型，結合前文的推力和舵角控制律，即可完成對噴水推進船的航速航向控制與仿真驗證。

4 仿真驗證與分析

為了驗證所提出的控制律能夠實現對噴水推進船航速和航向的同時控制，本文進行了指定航速下的路徑跟蹤控制。仿真中使用Line-of-sight（LOS）導航法進行路徑跟蹤的艏向規劃律設計，具體在文獻[15-16]中已經有了詳細的論述，本文由于篇幅有限不進行論述。

本文采用文獻[17]的無人艇運動模型，通過對水動力系數進行適當整理和轉化，可以獲得如下的船舶運動參數：m11=2.4×103kg，m22=3.35×103kg，m33=2.49×105kg，du=255 kg/s，d|u|u=50 kg/m，dv=2.92×103kg/s，d|v|v=2.27×103kg/m，dr=1.22×104kg/s，d|r|r=1.2×104kg/rad。

該艇設計水線長5.2 m，排水量1.9 t，噴水口距離船體中心xj=2.01 m，仿真中選取前文中的HJ364噴水推進器，并假設實際推力比估計推力小10%，即T=0.9?？刂破髦械钠渌麉等≈登闆r如下：k1=0.8，k2=0.1，κ1=0.05，κ2=0.02，λ=0.25，Kn=20，Kδ=10。

考慮到波浪擾動對航向控制的影響，本文模擬了海浪有義波高1.25m環境下的運動情況。波浪擾動使用文獻[18]中的模型進行計算，其 中 ，表示傳遞函數，且wu、wv、wr均為零均值高斯白噪聲，噪聲能量譜密度分別為0.01，0.005和0.1。仿真中，u,v,rξ ξ ξ的最大值分別達到了0.1 m/s2、0.04 m/s2和2 (°)/s2，符合實際的航行情況。

無人艇運動初始條件設置為：ψ=135°，u=9 m/s，v=0，r=0，n=1 450 r/min，δ=0°。仿真中設置期望航速ud=10 m/s，路徑跟蹤及航速航向控制仿真結果如圖5～圖9所示。圖5中虛線表示期望航線，實線為無人艇的實際航行軌跡。

圖5 無人艇航行軌跡

圖6和圖7分別展示了0～200 s時間范圍內的無人艇航速和主機轉速響應情況。圖6中，虛線表示期望航速，實線表示實際航速。在估計推力存在誤差的情況下，仍能保證航速達到期望值。

圖6 無人艇航速-時間曲線

在圖7中，航速在初始階段有約0.2 m/s的超調量和短期振蕩，主要原因是主機轉速加速度和一階操控模型的限制。當航速達到期望值時，無法瞬間下降到適當值，如圖8中初始階段所示。圖12中主機轉速的小幅振動，原因是為應對外界波浪擾動的補償量。

圖7 主機轉速-時間曲線

圖8和圖9分別展示了0～200 s時間范圍內的無人艇艏向和舵角響應情況。從圖8中可以觀察出，即使期望航向是時變量，實際航向扔能在舵角控制律的作用下較為理想地達到期望值。艏向在70 s和110 s時間附近存在階躍情況，原因是在仿真中為了符合實際情況，設置了船舶的艏向角范圍為(-180°, 180°]。為使船體在持續環境擾動下仍能保持艏向的穩定性，舵角存在持續性的低頻擾動補償，如圖9所示。

圖8 艏向時間曲線

圖9 舵角時間曲線

綜合圖5～圖9的仿真結果可知，在式（3）推力-轉速函數及式（12）、式（21）推力與舵角控制律的聯合作用下，能夠有效地實現對帶有控制力約束的噴水推進船的魯棒運動控制。

5 結論

本文通過擬合分析的方式，設計得出噴水推力關于主機轉速和船舶航速的函數關系式，所得函數具有形式簡單易于計算的優點。通過與原始推力圖譜對比，擬合函數的推力估計誤差小于3.61%，能夠滿足運動控制的精度需求。在此基礎上開展了噴水推進船航速與航向魯棒控制律設計，控制器設計過程中充分考慮到了控制機構的約束條件，將控制律落腳到主機轉速和舵角的具體控制分配層，完成了對噴水推進船的全過程控制。通過一個指定航速下的路徑跟蹤仿真試驗，驗證了本文控制方法在應對推力不確定和外界擾動時，同時進行航速與航向魯棒控制的可行性。