一種新的配對等級資料統計推斷方法*

南方醫科大學公共衛生學院生物統計學系(510515) 吳研鵬 周立志 陳平雁

【提 要】 目的 針對配對等級資料，提出一種新的統計推斷方法，并通過統計模擬，與經典的非參數檢驗方法進行比較。方法 基于配對等級資料差值的離散性和多項分布特征，構造一種新的統計量AOC(average order change)，即加權平均等級差，以及相應檢驗方法。應用Monte Carlo技術，比較AOC檢驗與Wilcoxon符號秩檢驗(Wilcoxon法)、Pratt法的統計性能。結果 在樣本量小于30時，三種方法的I類錯誤率偏于保守，其中Wilcoxon法偏離設定水平較大；在樣本量大于或等于30時，I類錯誤率均接近設定水平，以AOC檢驗更接近設定水平。當樣本量小于20時，檢驗效能以Wilcoxon法較低，AOC檢驗和Pratt法相當；在樣本量大于或等于20時，三種方法的檢驗效能非常相近。結論 在統計性能方面，AOC檢驗與Pratt檢驗表現相當或略優。在統計量意義上，AOC更能直觀表達等級變動情況。

配對等級資料在醫學研究中頗為常見，其特點之一是可能會有較大比例的零差值(zero differences)和相同秩(ties)[1-2]。對于相同秩，已有對應的校正方法[3]。對于零差值，大部分非參檢驗包括最常用的Wilcoxon符號秩檢驗，是刪除零差值的數據后進行分析。這種處理的缺陷是損失信息，特別是零差值的比例較大時，會使統計推斷產生偏倚[4-5]。對此問題，Pratt[5]提出的處理方法是，先對包含零差值的所有差值進行排秩，然后刪去零差值觀測單位，再運用Wilcoxon法對剩下的秩次進行檢驗。目前，有關Pratt法的模擬研究較少，其統計性能如何尚待回答[6]。因此，本研究基于不損失信息和更具可解釋性的前提，提出一種新的比較配對等級資料的統計方法。

原理和方法

1.統計模型

假設某項臨床試驗一組病例的樣本量為N，療效評價指標為疾病嚴重程度，分為K個等級，治療前后疾病嚴重程度等級的變化即等級差用D(D1，D2，…，DN)表示。顯然，Di的取值范圍為-(K-1)～(K-1)，所有可能的取值個數為2K-1，每種可能取值對應的頻數為Fi，對應頻率為fi=Fi/N，概率為πi。具體構成見表1。

表1 配對等級數據等級差的分布

這里，我們根據加權平均等級差的思想定義一個統計量AOC(average order change)，即

(1)

這里差值Di在配對等級數據中可看作兩組前后的等級變動級數，級數為正，表示向上變動級數，級數為負，表示向下變動級數，為0表示級數不變。fi表示等級變動級數Di對應的頻率。由公式(1)定義的AOC則表示總的等級變動級數的均值，當AOC取0時，配對兩組等級前后變動的均值為0，表示治療前后無差異。

AOC的方差估計為

(2)

由于fi服從對應概率為πi的多項分布[7]，進一步得出

(3)

在AOC=0的原假設下，可以構建如下檢驗統計量z，

(4)

2.模擬方法

基于雙變量正態分布產生配對等級數據[8]。在雙變量正態分布中，參數μ1和μ2分別對應配對兩組的均值，σ1和σ2對應各自的標準差，協方差大小由相關系數ρ決定，即ρσ1σ2。在以上參數組合下，運用Monte Carlo技術模擬生成特定的雙變量正態分布數據，然后根據結局等級數，對雙正態分布數據進行等面積劃分。本研究只考慮臨床常見的三等級，四等級和五等級分類的配對資料比較，即對生成的雙變量正態數據進行三等分，四等分，五等分。具體模擬參數設置如下：

(1)雙變量正態分布設置：配對兩組無差異情況下，則μ1=μ2=0；存在差異情況，設μ1=0，μ2=0.3，0.5，0.8，1.0，1.3，1.5，1，8，2.0；

(2)雙變量正態相關系數：ρ=0.2，0.4，0.7；

(3)等級數：K=3，4，5；

(4)樣本量N=10，15，20，25，30，35，40，45，50，55，60，65，70，75，80，85，90，95，100；

檢驗水準設置為雙側0.05，每種參數組合模擬次數為10000次，采用R 3.6.3編程實現。

結 果

不同等級數和相關系數組合下，AOC檢驗、Wilcoxon法和Pratt法的I類錯誤率隨樣本量變化的模擬結果見圖1。圖1中每個子圖中橫軸表示樣本量，縱軸表示I類錯誤率，按等級數K和相關系數ρ大小分別以橫向和縱向排列，并給出對應組合下的零差值的比例大小(%)。顯然，高相關系數低等級水平下，零差值比例更高。可以看出，當樣本量小于30時，三種方法的I類錯誤率均偏離設定水平0.05較大，且絕大多數是小于設定水平；當樣本量大于或等于30時，三種方法的I類錯誤率均接近設定水平，以AOC檢驗更接近設定水平，而且，樣本量的增大對I類錯誤率沒有趨勢性影響。

圖1 不同等級水平和相關系數下的I類錯誤率比較

圖2展示不同等級數和相關系數組合下，三種方法檢驗效能的比較。每個子圖中，橫軸為樣本量，縱軸表示檢驗效能，按等級數K和相關系數ρ大小分別以橫向和縱向排列，并給出對應組合下的零差值的比例大小(%)。可見，當樣本量小于20時，檢驗效能以Wilcoxon法較低，AOC檢驗和Pratt法相當；當樣本量大于或等于20時，三種方法的檢驗效能非常相近。

圖2 不同等級水平和相關系數下的檢驗效能比較

實例：瑞典一項研究招募了92名患者，使用Rand-36健康生活質量表，記錄該組病人在參與心臟康復計劃之前和3個月后的健康質量評價[9]。Rand-36中感受評價指標分為5個等級，分別賦值為：1(很差)，2(較差)，3(一般)，4(較好)，5(很好)。該組病人在基線值和治療3個月后的自我評價健康情況見表2。

表2 心臟康復病人在基線和隨訪的自我健康評價

對表2資料采用AOC檢驗，定義等級差為治療后-基線(治療前)，得統計量AOC為0.577，95%置信區間為0.266～0.886，P值為0.00026。采用Wilcoxon法和Pratt法的P值分別為0.00031和0.00045。在檢驗水準0.05下，三種檢驗均顯示差異顯著，但AOC可以直觀表示治療后患者的健康水平平均改善了0.577個等級。

討 論

本研究根據加權平均的思想，提出了AOC統計量，其優點是直觀和良好的解釋性，而且充分利用了零差值的信息。

在統計性能的I、II類錯誤方面，模擬研究提示，AOC檢驗與Wilcoxon法、Pratt法相當或略優，特別是在零差值比例很大或樣本量較小的情形。

本研究存在一定的局限性。首先在模擬方面，目前只是在方差齊性和雙變量正態分布的假設下模擬數據。然而在實踐中，常會出現異方差和非正態分布情況，該種情況下的統計性能表現需要進一步驗證。其次，新方法的提出是基于漸進正態分布下的推導，小樣本的精確檢驗還需進一步研究。

綜上所述，本研究建立的AOC檢驗具有良好的解釋性和較為可靠的統計性能，可應用于配對等級資料的檢驗。