基于幾何相位超表面的Ince-Gaussian矢量渦旋光場聚焦

張雪妍，郁步昭，王吉明*，吳 彤，赫崇君，劉友文，路元剛

(1.南京航空航天大學 理學院， 南京 211106；2.南京航空航天大學 空間光電探測與感知工業和信息化部重點實驗室， 南京 210016)

引 言

超表面由亞波長尺寸的周期性諧振微元構成，是一種可以靈活調控電磁波的超薄的表面器件。當電磁波入射該諧振微元時，可產生異常的相位突變。通過設計不同的微結構以及微結構的旋轉角度等，改變幾何相位(geometric phase,GP)的積累，可以實現對電磁波振幅、相位、偏振的調制。1956年，喇曼實驗室的PANCHARATNAM提出電磁波在偏振態轉化過程中會產生一個額外的相位[1]。1984年，英國的BERRY提出了幾何相位的概念[2]，因此幾何相位也稱PB相位(Pancharatnam-Berry,PB)[1-2]，其數學含義是一個內在的拓撲效應。在設計超表面時，通常應用不同旋轉角的納米粒子產生幾何相位突變，并以此調控光束。

在光學設計中，聚焦是最基礎的功能之一，用超表面透鏡代替傳統的光學元件，可以減小介質厚度差異和曲面誤差，從而避免球差。2012年，拋物線梯度幾何相位理論應用于線偏振轉換超表面的設計[3]，通過調整各個偶極天線的方向角φ，局部相位突變為±2φ，正負號由入射旋性決定。2014 年，基于Si的全介質超表面開始用于替代透鏡使用[4]。2016 年，一種以SiO2為基底、TiO2為微結構的超表面被報道，在可見光波段可作為高數值孔徑和高效率的超透鏡[5]。現有研究表明，超表面有望在便攜式成像系統、加密信息傳輸、光捕獲與光操控、激光超精細加工等領域獲得實質性應用[6-9]，實現波束整形、超分辨成像、全息成像、光子信息轉換等功能[10-14]。

厄米-高斯光束(Hermite-Gaussian beam,HGB)和拉蓋爾-高斯光束(Laguerre-Gaussian beam,LGB)，分別是自由空間傍軸波動方程(paraxial wave equation,PWE)在直角坐標和圓柱坐標下的已知精確解。2004年，BANDRES等人在橢圓柱面坐標下求得PWE的精確解析解，并引入構成PWE的精確解和正交解的第3類傍軸波動方程完整解系的因斯-高斯(Ince-Gaussian,IG)模式光束，IG模式是HGB和LGB之間的連續過渡模式[15-17]，有望被應用于微粒操控[18-19]、光學通信[20-21]等領域。正交偏振的IG奇模和偶模疊加，可生成具有豐富空間結構的復雜矢量光場[22-23]。進一步引入渦旋相位，攜帶軌道角動量的IG矢量渦旋光具備了更加豐富的信息。

本文中基于幾何相位控制原理，設計并優化了超表面結構，使其針對Ince-Gaussian矢量光依然具有良好的聚焦功能，同時研究了IG矢量渦旋光經超表面的聚焦特性。

1 超表面相位調控及聚焦原理

光在改光學元件中傳播時，由于不同位置的厚度不同，光在介質中積累的相位不同，可實現波前的調控，即斯涅耳定律。以透鏡為例，從中心到邊緣的厚度呈梯度變化，所產生的光程差會形成一定的梯度。對于超表面，該定律可以進行推廣，即廣義斯涅耳定律。電磁波通過超表面，會產生一定梯度的相位突變。

根據費馬原理，光從一點傳播到另一點時，無論傳播路徑如何，其光程保持一定。如圖1a中的折射模型，有：

k0nisinθidx+(φ+dφ)=k0ntsinθt+φ

(1)

式中，k0=2π/λd為波數，λd為設計所需的工作波長，ni和nt分別為入射和透射介質的折射率，θi和θt分別為入射和透射光路與法線的夾角，φ和φ+dφ是兩條光路通過不連續界面時相位不連續產生的相位變化。設定波長為λ0，推得廣義斯涅耳的折射公式[24]：

(2)

Fig.1 Generalized Snell’s law schematic

同理，根據圖1b中的反射模型，有：

k0nisinθi+(φ+dφ)=k0nisinθr+φ

(3)

式中，θr為反射介質折射率，廣義斯涅耳定律的反射公式為[24]：

(4)

(4)式表明，只要改變每一點的相位突變dφ/dx，使其呈一定的梯度變化，即可實現對波前的靈活調控。若想實現聚焦功能，則需要將超表面上的相位梯度設計成拋物線分布，每一點相位分布應滿足：

(5)

式中，f為焦距，rNF為微結構所在位置到超表面中心的距離。在實際設計時，設工作波長為λd，表面上位于(x，y)的納米微粒所產生的相位突變φNF為[5]：

(6)

根據相位突變值為超表面納米結構指向角的2倍，位于(x，y)的納米結構沿軸向旋轉角度θNF為[5]：

(7)

2 超表面的結構設計及優化

2.1 聚焦超表面的優化過程

首先結合線偏振光，設計并優化初始的聚焦超表面結構。聚焦波長532nm的線偏振光，以長方體TiO2為微結構，長250nm，寬95nm，高600nm，在SiO2的襯底上以325nm為周期按四邊形排成晶胞，如圖2a所示。根據聚焦公式(7)式，確定不同位置微元的特定旋轉角度，設計焦距為4μm。圖2b為532nm的線偏振光通過該原始超表面(見圖2a)后，焦點位置的xy橫截面的光強分布，圖2c為軸向xz面的光強分布。可以看出，該結構對線偏振光有初步的聚焦功能，但聚焦特性不理想。進一步優化TiO2的結構，將長方體改為橢圓柱，其它參量不變。圖2d為初始結構經過第1次優化后的微結構為橢圓柱結構，橢圓的長軸為250nm，短軸為95nm，橢圓柱高600nm。在以SiO2的襯底上，4個橢圓柱為一組，以正方形晶胞排布成陣列。以532nm的線偏振光入射，橫向和軸向的聚焦特性如圖2e和圖2f所示。相比于初始結構，該優化結構能較好地實現緊聚焦，表明聚焦特性有了顯著的提升。需要注意的是，聚焦場沿軸向為約2000nm的長焦深，也意味著透過超表面軸向聚焦特性有待提升。

Fig.2 Optimization of linear polarization focusing metasurface

為進一步優化聚焦特性，第2次優化過程在保持圖2d中微元結構和材料不變的基礎上，調整微粒的排布使其更趨近于環狀分布，將原有的4個微元組成的正方形晶胞優化為7個微元組成的正六邊形晶胞，如圖2g所示。以532nm的線偏振光照射該超表面，得到的圖2h、圖2i分別為焦點位置橫向和軸向的光強分布圖。從圖2h可以看出，相比于優化前的聚焦場，有著更少的雜散光和旁瓣。圖2i中，沿軸向光場聚焦也更集中，表明優化后的整體結構可以在設計好的焦距位置有效匯聚光場。

經過兩次優化后得到的聚焦超表面結構如圖3所示。圖3a中以SiO2為襯底，厚度H=600nm，上方微元呈橢圓柱結構，由TiO2制成，長軸R1=250nm，短軸R2=95nm，高度H=600nm；每個橢圓柱之間的間距D=325nm，如圖3b所示，7個微元為一組構成正六邊形晶胞；圖3c為線偏振聚焦超表面結構。

Fig.3 Parameters and performance of metasurface

2.2 針對IG矢量光場的超表面優化

沿z軸傳播的傍軸場為U=Ψ(ξ,η,z)eik0z，其中(ξ,η)是軸上位于z處的光束橫截面上的坐標，Ψ滿足近軸波動方程。在橢圓坐標系中，得到波動方程的解為高斯光束調制形式并在右側插入因斯多項式的乘積，得到奇偶IG模式的一般表達式[15]：

(8)

(9)

而IG矢量光場可以由兩個具有偶模和奇模IG模式的正交偏振分量疊加構成，用瓊斯矢量表示為:

(10)

式中，Ge,px,mx,εx和Go,py,my,εy分別為x、y偏振分量，下標px,mx,εx和py,my,εy分別是光場x分量和y分量IG模式的階數、級數、橢圓參量，δ是x、y分量之間的相位延遲。

為了適用于IG矢量光，這里仍采用線偏振聚焦的正六邊形超表面結構，因該結構對不同偏振態都有相同的匯聚能力，所以理論上并不影響聚焦效果。選取4階的IG矢量光為入射光場[23]，其入射光場強度分布及聚焦光場如圖4所示。其中，圖4a為波長532nm的4階IG矢量光場強度分布；圖4b經過正六邊形聚焦超表面后焦平面處的光場強度分布。可以發現，該結構雖然能夠起到匯聚的作用，但對于IG復雜矢量光場，內部強度信息并不能很好在聚焦場中體現，所以需要進一步優化結構。

對整體結構分析，能夠影響聚焦特性的因素之一是正六邊形的空間方位角。此處，作者嘗試將具有六邊形晶胞的超表面結構整體逆時針旋轉30°，仿真結果如圖4c所示。與優化前相比，焦平面位置的光場強度信息更完善、詳細。進一步對比入射光場與聚焦光場，提取電場的x方向分量Ex和y方向分量Ey，如圖4d所示，從左到右分別依次為：4階IG矢量光場入射光(見圖4a)的Ex分量、Ey分量；經過優化超表面結構后的聚焦場(見圖4c)中的Ex分量、Ey分量。對比分析可以發現，經優化后，主要空間強度結構信息在聚焦過程中能夠實現較好的傳遞。

3階IG矢量光場的聚焦場空間結構較4階聚焦場更為簡單。進一步對3階IG矢量光場的超表面聚焦進行研究，如圖5所示。其中，圖5a為波長532nm的3階IG矢量光場，圖5b為3階IG矢量光場的超表面聚焦場橫向平面的光強分布，圖5c為3階IG矢量光場的超表面聚焦場在軸向平面的光強分布。從圖中可以看出，3階IG矢量光場聚焦后內部強度信息同樣有缺失，但IG模式的基本結構仍然可以保持。分析圖4b與圖5b，觀察到經超表面得到的不同階聚焦場均呈現一定的非軸對稱性，表現為一、三象限與二、四象限的聚焦光斑強弱不同。這主要是受具有六邊形晶胞的超表面結構的整體旋轉角度所影響。結構設計時，通過中心旋轉超表面至適當的角度可減弱這種非軸對稱性，從而實現優化。

Fig.4 Structure optimization of the 4th-order IG vector light field focusing metasurface

3 IG矢量渦旋光場的超表面聚焦

在研究IG矢量光場聚焦特性基礎上，進一步研究攜帶軌道角動量的IG矢量渦旋光場的超表面聚焦特性。

3.1 渦旋光的超表面聚焦

為研究具有渦旋相位的IG矢量光，首先研究優化后的六邊形超表面結構是否能對渦旋光聚焦。圖6a中，入射光為拓撲荷數L=-5的532nm環狀渦旋光；圖6b和圖6c中，Ex和Ey分量具有相反的渦旋相位，整個環上為5個周期,在[-π,π]之間周期變換，且x和y之間存在π/2的相位延遲，其中圖6b關于縱軸互為反相，圖6c關于橫軸互為反相。

經過超表面聚焦后得到焦點位置光場如圖6d所示。可以發現，該結構對渦旋光在4μm的焦點位置也能夠較好聚焦，但環狀上光強分布并非理想均勻化分布，這與超表面正多邊形晶胞結構有關。圖6e和圖6f分別為焦平面聚焦場的Ex分量和Ey分量的相位。可以看出，環帶上相位分布呈現0～2π循環交替的5個周期。對比聚焦場Ex分量(見圖6e)和Ey分量(見圖6f)的相位可發現，兩者之間同入射場一樣存在π/2的相位延遲。至此，可以判斷該聚焦結構可以用于渦旋光的聚焦實驗。

3.2 IG矢量渦旋光的超表面聚焦特性

對4階IG矢量渦旋光進行聚焦。考慮分量Ex具有渦旋相位，拓撲荷數L=-1，Ey分量無渦旋相位，結果如圖7所示。圖7a中從左至右為入射的4階IG矢量光，入射光Ex分量的相位和Ey分量的相位。圖7b中從左到右為焦點位置橫截面的電場強度，聚焦場x分量的相位和y分量的相位。對比圖7b中Ex分量的相位和Ey分量的相位，可以發現兩者之間存在著π/2的相位差。焦點位置的電場與入射的4階IG矢量渦旋光比較，表現為聚焦后光場結構對稱性的破缺。原因在于將Ex和Ey分量疊加后相位正負情況相反，引起的振幅減弱，所以聚焦后的結果存在信息缺失，僅保留了正負一致的重疊部分，與拓撲電荷Lx=-1有關。進一步研究較為簡單的3階IG矢量渦旋光，分析聚焦特性。

Fig.6 Electric field and phase distribution of annular vortex light after focusing

Fig.7 The 4th-order IG vector light field and metasurface focusing field(Lx=-1,Ly=0)

圖8a從左至右依次為：3階IG矢量光的Ey分量相位分布；拓撲荷數L=-1時，Ex分量相位分布；L=1時，Ex分量相位分布。圖8b從左至右依次為：拓撲荷數L=-1時，焦點處橫向的電場強度；聚焦光場Ex分量的相位分布；聚焦光場Ey分量的相位分布。保持其它條件不變，變換Ex分量拓撲荷數L=1，經由超表面聚焦得到圖8c，從左至右依次為：焦點處橫向的電場強度；聚焦光場Ex分量的相位分布；聚焦光場Ey分量的相位分布。對比拓撲荷數L=-1和L=1時的聚焦場，圖8a中的Ex分量相位分布在[-π,π]之間，且關于縱軸反相。對比聚焦后的結果(見圖8b和圖8c)，可以觀察到L=-1的結果和L=1的結果也是相反的。

進一步研究矢量場中渦旋相位與聚焦場結構破缺的關系，保持Ex分量為平面相位，Ey分量攜帶渦旋相位，聚焦場及相位分布如圖9所示。圖9a中從左到右依次分別為：Ex分量相位分布；L=-1時Ey分量相位分布；L=1時Ey分量相位分布。圖9b和圖9c中從左到右依次為L=-1和L=1時，焦點橫截面場強分布、Ex和Ey分量相位分布。可以看出，Ey分量攜帶渦旋相位時，聚焦場特征與前述所歸納的結論類似，聚焦場不再具有對稱性。不同之處在于，Ex分量攜帶渦旋相位時，聚焦場在橫向上對稱性被破壞，而Ey分量攜帶渦旋相位時，聚焦場在縱向上有對稱性的破缺，且當L=-1時，上方結構破缺，而L=1時下方結構破缺。這證實了聚焦場的信息缺失與相位渦旋的旋向有關，當旋向相反時得到的結果相反。對其它不同拓撲荷數L進行分析，可以得到相似的結果。如圖10所示，僅Ey分量攜帶渦旋相位，其中圖10a為L=-0.5時焦點橫截面場強分布，圖10b為L=0.5時焦點橫截面場強分布。同樣在聚焦場縱向上產生破缺，且L=-0.5時，上方結構破缺，L=0.5時，下方結構破缺，符合前述結論。

Fig.8 The 3rd-order IG vector light field and metasurface focusing field(Lx=±1,Ly=0)

Fig.9 The 3rd-order IG vector light field and metasurface focusing field (Lx=0,Ly=±1)

Fig.10 The 3rd-order IG vector metasurface focusing field

4 結 論

本文中以3階和4階IG矢量渦旋光場為例，研究了復雜矢量光場的超表面聚焦特性。研究結果表明，IG矢量光場經超表面的聚焦場保持原有的基本空間結構，中心結構信息會有損失，與設計的結構的尺度有關。IG矢量渦旋光場聚焦后出現了空間結構對稱性的破缺，來源于渦旋相位的存在。因此，復雜矢量光場的聚焦不單單和超表面結構有聯系，還和入射矢量光場的空間結構有關，在進行相關超表面設計時，需同時考慮超表面聚焦性能和入射光場的矢量結構，二者的相關匹配度如何提升還需要進一步研究。