基于課程思政的線上、線下混合式教學(xué)模式的探索與實踐
——以泰勒級數(shù)為例

李慶賓 薛均曉*

（1.鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院 河南·鄭州 450046；2.鄭州大學(xué) 河南·鄭州 450001）

國無德不興，人無德不立，學(xué)校教育的根本在于立德樹人[1]。2020年6月，教育部印發(fā)《高等學(xué)校課程思政建設(shè)指導(dǎo)綱要》[2]，立足于解決培養(yǎng)什么人、怎么培養(yǎng)人、為誰培養(yǎng)人這一根本問題，圍繞全面提高人才培養(yǎng)能力這個核心點，在全國所有高校、所有專業(yè)全面入推進課程思政建設(shè)，形成廣泛共識[3]。《高等數(shù)學(xué)》課程主要面向大一新生，學(xué)習(xí)和生活方式發(fā)生的巨大變化、網(wǎng)絡(luò)信息的魚龍混雜，難免使其焦慮、彷徨、甚至三觀出現(xiàn)認識障礙。因此，如何推動高等數(shù)學(xué)與課程思政融合發(fā)展，潛移默化地引導(dǎo)學(xué)生健康、積極成長，是每一位教師必須思考并著力解決的問題。

本文以“泰勒級數(shù)”為例，通過合理整合教學(xué)資源，深入挖掘思政精髓，運用現(xiàn)代信息技術(shù)重構(gòu)教學(xué)過程。借助雨課堂平臺，采取線上、線下相結(jié)合的“人機共教”模式，拓展課堂教學(xué)限制，給予學(xué)生足夠的自主學(xué)習(xí)空間，以便能更好調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。在學(xué)習(xí)過程中，啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)中的簡潔美、思考數(shù)學(xué)知識中蘊含的哲學(xué)思想，養(yǎng)成透過事物的表面去分析本質(zhì)的處事作風(fēng)，同時，鼓勵學(xué)生要敢于取舍，倡導(dǎo)簡樸節(jié)約、與自然和諧共生的生活理念。

1 教學(xué)痛點及對策

泰勒級數(shù)是高等數(shù)學(xué)中的一個重要知識點[4]，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點之一。受課堂時間的限制，多數(shù)教師在講授這部分內(nèi)容時，側(cè)重介紹展開方法和技巧，這就容易導(dǎo)致學(xué)生學(xué)完之后，只是記住幾個常用展開式，會把簡單函數(shù)展開成冪級數(shù)，至于為什么可以這樣去展開，展開之后又能夠做什么，鮮有學(xué)生明白。基于此，在教學(xué)設(shè)計上增加了線上自主學(xué)習(xí)模塊，以彌補課堂教學(xué)時間的限制，教學(xué)內(nèi)容上增加了軟件作圖和應(yīng)用舉例部分，幫助學(xué)生更好地理解泰勒級數(shù)的逼近思想和應(yīng)用。

2 教學(xué)設(shè)計案例

2.1 授課對象及其特征

授課對象為2020級航空航天類一年級學(xué)生，教學(xué)班規(guī)模是118人；學(xué)生均是理科生，高中時期曾接觸過簡單的微積分知識，有一定的基礎(chǔ)，而且多數(shù)學(xué)生學(xué)習(xí)態(tài)度認真，愿意學(xué)習(xí)，喜歡質(zhì)疑，課堂氛圍比較活躍。

2.2 教學(xué)重難點分析

教學(xué)重點：幫助學(xué)生理解泰勒級數(shù)的基本概念，使其熟練掌握函數(shù)展成泰勒級數(shù)的充要條件和方法，了解泰勒級數(shù)的逼近思想和簡單應(yīng)用。教學(xué)難點：如何使泰勒級數(shù)出現(xiàn)比較自然，符合學(xué)生的認知規(guī)律；怎樣借助信息化軟件進行可視化教學(xué)，幫助學(xué)生更好理解泰勒級數(shù)。

2.3 教學(xué)目標設(shè)計

知識目標：學(xué)生能夠理解泰勒級數(shù)的定義，掌握函數(shù)展成冪級數(shù)的直接展開法，了解用多項式逼近函數(shù)的思想和應(yīng)用。能力目標：通過問題驅(qū)動、啟發(fā)為主的學(xué)習(xí)過程，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力、直覺判斷能力和概括總結(jié)的能力，體驗利用逼近思想解決數(shù)學(xué)問題的樂趣，增強應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的意識和水平。素養(yǎng)目標：培養(yǎng)學(xué)生勤于思考、勇于創(chuàng)新的思想意識，注重理實一體，踐行知行合一的良好品格以及團隊協(xié)作精神。

2.4 教學(xué)方法和流程

在教學(xué)過程中嘗試“人機”共教的模式，采用問題驅(qū)動、歸納總結(jié)、圖形結(jié)合等多種教學(xué)方法開展教學(xué)活動。分散教學(xué)難點和教學(xué)目標，通過課前導(dǎo)學(xué)、課中教學(xué)、課后鞏固三個環(huán)節(jié)，以“提出問題→分析解決問題→總結(jié)概念或方法”為主線進行討論學(xué)習(xí)，注重學(xué)生的學(xué)習(xí)參與度，激發(fā)學(xué)生求知欲，增強學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。

2.4.1 課前導(dǎo)學(xué)

課前通過雨課堂平臺發(fā)布短視頻、課件和教案，明確是預(yù)習(xí)任務(wù)和學(xué)習(xí)目標，教師線上適當引導(dǎo)，幫助學(xué)生理清知識脈絡(luò)，指導(dǎo)學(xué)生完成課前自主學(xué)習(xí)部分，增強課堂聽課效果。

圖1：自主學(xué)習(xí)內(nèi)容

對于問題1，學(xué)生很容易想到等式兩邊逐階求導(dǎo)解決，得到系數(shù)的表達式，然后督促學(xué)生觀看微視頻掌握泰勒級數(shù)的定義。而問題2，可以在線引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合檢測知識點進行總結(jié)。復(fù)習(xí)部分的內(nèi)容是泰勒中值公式，提示學(xué)生關(guān)注泰勒多項式和余項的結(jié)構(gòu)，并與泰勒級數(shù)相比較，找出異同之處。要求學(xué)生將解題過程拍照上傳至學(xué)習(xí)平臺，教師課前了解預(yù)習(xí)情況，及時調(diào)整授課課件。

2.4.2 課中教學(xué)

通過課前預(yù)習(xí)，學(xué)生掌握了泰勒級數(shù)的概念，并能夠按要求寫出一個函數(shù)的泰勒級數(shù)。課堂教學(xué)主要集中在展開條件、展開方法及應(yīng)用上，教學(xué)設(shè)計如圖2。

圖2：課堂教學(xué)設(shè)計流程

問題3可以采取小組討論的形式，使學(xué)生明確泰勒級數(shù)雖然是由函數(shù)來確定的，但與函數(shù)本身并不一定是相等的，學(xué)生很自然會去思考：兩者要相等，需要什么樣的條件呢？這就是第4個問題，此時不要急于理論證明，可以先讓學(xué)生將其與泰勒中值公式相比較，去觀察，多數(shù)學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)要使兩者相等，泰勒中值公式后面的余項需要“消失”，也即極限為0，嚴格的理論證明可以略講。至此，重要的理論知識點已經(jīng)基本完成，可以再次帶領(lǐng)學(xué)生梳理知識脈絡(luò)，結(jié)合具體的例子鞏固練習(xí)，總結(jié)直接展開法的步驟（問題5）。最后借助Matlab軟件展示泰勒多項式與函數(shù)的逼近過程，通過求無理數(shù)e的近似值來介紹泰勒級數(shù)的簡單應(yīng)用，幫助學(xué)生理解函數(shù)展成泰勒級數(shù)的必要性和合理性。

課堂實時融入思政教育，泰勒展開的本質(zhì)是以曲代曲，以性質(zhì)優(yōu)良的多項式來代替復(fù)雜函數(shù)，這體現(xiàn)了一個非常重要的數(shù)學(xué)思想—化繁為簡。教育學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時，要學(xué)會透過表面的復(fù)雜現(xiàn)象發(fā)掘背后的簡單原理，這就是數(shù)學(xué)的簡潔美，從符號到語言，從方法到思想無處不在。也可以給學(xué)生介紹一些因化繁為簡而提高效率的成功案例，例如蘋果公司在1996年陷入經(jīng)濟危機，正是喬布斯舍棄了不合理的研發(fā)和生產(chǎn)，專精發(fā)展，才使公司獲得巨大成功。同時，化繁為簡也是一種生活哲學(xué)，當我們的欲望少一些，就會活得簡單愉悅，反而更容易過上自己想要的生活，倡導(dǎo)“綠色簡約”的生活態(tài)度。

2.4.3 課后鞏固

3 教學(xué)反思

教學(xué)過程緊扣“以學(xué)生為中心”的理念，圍繞教學(xué)目標設(shè)計問題，從怎么展開到為什么要展開，由淺入深開展教學(xué)，給學(xué)生清晰的層次感，促使學(xué)生積極思考。教學(xué)模式采用線上線下相結(jié)合的形式，簡單內(nèi)容放在課前自主學(xué)習(xí)，課堂上有充裕的時間啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生，借助雨課堂平臺不懂、投票、測試、討論功能，與學(xué)生充分互動，力爭每個人都有發(fā)揮和表現(xiàn)的機會，做到人人有參與、人人有收獲。

百年大計，教育為本，教育大計，教師為本[5]。當代大學(xué)教師需轉(zhuǎn)變教育觀念，深入挖掘?qū)W科中的思政元素，積極營造課堂正能量，提高課程思政教育的精準性、融合性、有效性，同時，教師也要緊跟時代步伐，學(xué)習(xí)信息化教學(xué)手段，將課程思政與智慧教學(xué)深度融合，堅持為祖國培養(yǎng)堪當民族復(fù)興重任的時代新人。