深度教學：讓空間觀念的發展落到實處
——《圓柱的認識》教材解讀與教學建議

○蔣姆妹 吳建玲

《圓柱的認識》是學生在學習了圓和長方體、正方體的認識及圓柱的初步感性認識的基礎上進行教學的，同時也為后續立體圖形相關知識的學習作了很好的鋪墊，起著承上啟下的作用。學生雖然在五年級上冊已認識了長方體和正方體，但它們都是由平面圍成的立體圖形，而圓柱有一個面是曲面，這對于學生來說是一個很大的飛躍。因此，《圓柱的認識》是本單元的一個教學難點。

實施有深度的教與學，是發展學生核心素養的有效途徑。在《圓柱的認識》一課中，筆者結合多版本教材，重構教學文本，力求以深度教學引發學生的深度學習，讓空間觀念的發展落到實處，以培養學生的數學核心素養。

一、多版本教材對比分析

人教版教材《圓柱與圓錐》單元是圍繞“圓柱”“圓錐”兩條主線展開教學的，先學習圓柱的認識、表面積、體積，再學習圓錐的認識、體積，所以第一課時只安排圓柱的認識，不涉及圓錐的內容。對圓柱的認識分三個層次教學：第一層次從生活情境引入，結合實物圖片，從整體上感知圓柱；第二層次引導學生通過觀察、比較、交流等活動總結出圓柱的特征，同時通過快速旋轉長方形硬紙板的操作活動，體會圓柱體的形成過程；第三層次進一步探究圓柱側面展開后的長方形與圓柱相對應部分的關系。

北師大版教材《圓柱與圓錐》單元，第一課時安排了圓柱與圓錐的認識，題為《面的旋轉》，也分三個層次來認識：第一層次是結合生活中的情境，讓學生體會點、線、面、體之間的關系；第二層次是通過快速旋轉長方形、三角形硬紙板活動，讓學生體會圓柱體和圓錐體的形成過程；第三層次是先從實物圖形抽象出圓柱、圓錐的表象，再通過觀察、比較、操作等活動總結出圓柱和圓錐的特征。

蘇教版教材《圓柱與圓錐》單元，第一課時也安排了圓柱和圓錐的認識，先學習圓柱的認識，再學習圓錐的認識。認識圓柱時分兩個層次：先是找出生活中圓柱形的物體，初步感知圓柱；再結合實物通過觀一觀、摸一摸、比一比等活動總結出圓柱的特征。

臺灣部編版教材與人教版教材一樣，圓柱與圓錐也是分開認識的，圓柱的認識是先直接出示圓柱及圓柱的展開圖，再通過觀察、分析總結出圓柱的特征。

對比這幾個版本的教材，其共同點都是通過對圓柱體進行觀察、比較、分析等活動，總結出圓柱的特征。但這幾個版本又有自己的特點，蘇教版和臺灣部編版這兩個版本的教材側重讓學生知道圓柱的特征是什么，就沒有編排長方形硬紙板快速旋轉的操作活動。人教版和北師大版教材側重學生動手操作，編排了硬紙板快速旋轉的操作活動，使學生了解平面圖形與立體圖形之間的聯系和轉換。

教學時，教師可以活用教材，綜合各版本教材特點，取其優點，既讓學生掌握圓柱的特征，又讓學生經歷知識的形成過程，并且將圓柱的特征和圓柱的形成過程建立起聯系，使學生對圓柱的特征有更深刻的認識，進一步發展學生的空間觀念，讓核心素養落地。

二、重構教學文本，引發深度學習

結合以上各版本教材分析，進行重構文本。筆者認為，重構教學文本應基于學生視角，以問題引領的方式將學生的思維引向深入，在“大問題”的引領下幫助學生沉浸于相應的數學學習活動中，通過“問題鏈”引導學生步步深入地去思考，以達到深度學習。下面將以空間觀念發展如何落實到課堂中為目標進行教學設計。

1.圓柱的特征是什么？

從生活情境引入，結合實物圖片，從整體上感知圓柱，幫助學生建立圓柱的表象，然后引導學生通過觀察、比較、交流等活動，總結出圓柱的特征是什么。

《義務教育數學課程標準（2011 年版）》指出，在數學課程中應當注重發展學生的空間觀念，在這一環節注重引導學生根據物體特征抽象出幾何圖形，以發展學生的空間觀念。通過觀一觀、摸一摸、比一比等活動，總結出圓柱的特征，讓學生對圓柱的特征有個初步的感知。

2.圓柱為什么有這樣的特征?

圓柱為什么會有這樣的特征呢？引導學生從圓柱是怎么形成的去思考。

圓柱是由一個長方形繞其一邊旋轉一周而成的幾何體。具體形成過程如下：

（1）長方形A、B 兩點旋轉一周得到的是兩個圓。

圖1

（2）長方形兩條寬旋轉一周得到的是兩個圓面（也就是圓柱的兩個底面）；長方形其中一條長旋轉一周得到的是一個曲面（也就是圓柱的側面）。

圖2

（3）整個長方形旋轉一周形成一個圓柱。

圖3

圓柱除了可以由長方形旋轉而成，還可以由什么圖形通過怎樣的運動形成？引導學生說出可以由一個圓垂直向上平移而成。

圖4

思考圓柱是怎么形成的，可以讓學生明白圓柱為什么會有這樣的特征。

底面：長方形的兩條寬相等，也就是圓柱上、下兩個底面的半徑相等，所以圓柱上、下兩個底面是完全相同的圓；同時也因為圓柱是由圓垂直向上平移而成，也能說明圓柱上、下兩個底面是完全相同的圓。

側面：以長方形的一條長為軸，另一條長繞軸旋轉一周，得到的是一個曲面（也就是圓柱的側面），所以圓柱的側面是一個曲面；同時也因為圓是彎曲的弧線，所以它垂直平移后形成的圓柱的側面是一個曲面。

高：兩個底面之間的距離叫做圓柱的高，兩個底面是由無數個點組成的，所以和兩個底面垂直的線段有無數條（即有無數條高）；長方形的兩條寬互相平行，也就是圓柱上、下兩個底面的兩條半徑互相平行。平行線間的距離處處相等，可以推出兩個平行面之間的距離也處處相等，由此可以推出無數條高都相等；同時也因為圓是由無數個點組成的，它垂直平移后就形成了無數條高且都相等。

通過研究圓柱是怎么形成的，讓學生對圓柱的特征從知其然走向知其所以然。這樣既鞏固了圓柱的特征，又溝通了知識間的聯系，積累“點動成線”“線動成面”“面動成體”的活動經驗，從零維到一維、從一維到二維、從二維到三維的轉換，很好地發展了學生的空間觀念。

3.圓柱是怎么做成的？

知道了圓柱是怎么形成的，那圓柱是怎么做成的呢？

學生通過動手操作，很快就發現了圓柱是由一個長方形和兩個圓做成的。

教師追問：任意一個長方形和任意兩個相同的圓都能做成圓柱嗎？

結合圖示，引導學生發現長方形的長等于圓柱底面的周長，長方形的寬等于圓柱的高。讓學生明白不是任意一個長方形和任意兩個相同的圓就能做成圓柱的，必須是長方形的長與圓柱的底面周長相等才能做成一個圓柱。

接著出示以下練習：

上面五個圖形中，哪三個圖形可以做成圓柱？為什么？

引導學生說出由于圓柱側面（長方形）的長等于圓柱底面的周長，②③兩個圓的周長是18.84 厘米，不是圓柱側面（長方形）的長，而④⑤兩個圓的周長是12.56 厘米，恰好是圓柱側面（長方形）的長，所以要選①④⑤這三個圖。

由此總結出：圓柱側面（長方形）的長等于圓柱底面的周長，寬等于圓柱的高。

教師繼續追問：圓柱的底面周長只能等于圓柱側面（長方形）的長嗎？

先引發學生思考，再出示以下練習：

由以上四個圓和一個長方形可以做成幾種圓柱？引導學生發現圓柱的底面周長可以等于圓柱側面（長方形）的長，也可以等于圓柱側面（長方形）的寬，所以可以做成兩種圓柱，如圖所示：

通過以上練習，讓學生徹底明白了圓柱側面與圓柱底面及高之間的關系。

通過探究圓柱是怎么做成的，很自然地溝通了圓柱側面與圓柱底面和高的關系，使學生對圓柱的特征有了更深刻的認識，完成了從三維到二維再回到三維的轉換過程，發展了學生的空間觀念。

工欲善其事，必先利其器。本文僅以《圓柱的認識》教材解讀為引，以期達到拋磚引玉之效果。欲深度的教，必以教材為依托，深度解讀教材，靈活運用教材，達到對教材的再重組，用學生容易接受的方式展示出來，讓復雜的知識變簡單，再讓簡單的知識變得有深度，從而達到深度的教。同時，充分調動學生的主動性和創造性，耳到、眼到、手到、口到、心到，從而達到深度的學，引導學生用數學的眼光觀察世界、用數學的思維思考世界、用數學的語言表達世界。

資料存盤

1.《圓柱的認識》課標解讀。

《義務教育數學課程標準（2011 年版）》在學段目標的第二學段“圖形與幾何”中指出：

經歷從現實生活中的圓柱形物體中抽象出數學中圓柱形的過程，在認識圓柱的過程中，經歷觀察、操作、推理、想象等活動，逐步建立立體圖形與平面圖形的聯系，進一步發展空間觀念；

從觀察罐子、蠟燭等物體的形狀中，初步學習從數學的角度發現問題和提出問題，并能夠運用圓柱的相關知識解決一些實際問題，培養和發展應用意識和能力；

在解決圓柱的相關問題的過程中，培養學生積極主動參與數學活動的情感。

2.圓柱的認識歷程。

人類在圓柱的研究歷程中主要有以下三個重要的標志：

（1）古希臘時期，阿基米德在《球和圓柱》中闡述了他對圓柱側面積的研究結果：任何直圓柱曲面的面積，等于一個圓的面積，這個圓的半徑是圓柱的高和底面直徑之間的比例中項，即r2=hd。

（2）公元500 年左右，祖暅（祖沖之之子）在《綴術》中這樣記載“冪勢既同，則積不容異”，被后人稱之為“祖暅原理”。這也就是“等積原理”，意思是：夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平行平面的平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等。

（3）16 世紀下半葉，德國科學家開普勒（Kepler）在《酒桶的新立體幾何》中將酒桶看成由無數的圓薄片累計而成，進而求其體積，這是積分學的萌芽。