小學生理性思維培育的習題設計

○ 于 蓉

小學生的理性思維，在學習數學的過程中得到孕育，而理性思維水平如何，則必須通過解決數學問題來體現。為培育小學生理性思維的意識與能力，教師應設計具有層次性、多樣性、開放性、應用性、獨創性的習題，為學生提供思維訓練的機會。

一、串聯知識，圍繞深度理解設計

理解，是利用已有知識去發掘事實和方法背后的含義并謹慎地加以運用。衡量“理解”的一個基本指標是遷移，即把所學到的知識遷移到新的環境和挑戰中，而不僅僅是知識的回憶和再現。在習題設計中，可將各個知識點聯系起來，讓學生在問題解決中實現遷移，感悟知識的本質，感受數學思想方法，強化思維的培養。

【A 題】為慶祝中國共產黨建黨100 周年，社區計劃在街心公園新建一個造型為“100”的花圃。長方形的長是10 米，寬是3 米。這個花圃的總面積一共是多少平方米？

【B 題】為慶祝中國共產黨建黨100 周年，社區計劃在街心公園新建一個造型為“100”的花圃。如果在數字“1”里鋪滿黃花，剩下的圖形鋪滿紅花。已知紅花中正方形的面積是40 平方米，求鋪紅花的花圃面積。

比較兩題，A 題找到長方形的長與圓的直徑的關系，應用面積計算公式就能解答；而B 題的設計串聯了圓面積公式和組合圖形的面積，增強了整體思維的意識。計算鋪紅花的面積，需要進行分解，從圓的面積和中去掉重疊部分的面積，而重疊部分的面積可以分解為兩等份，每一等份的面積=圓面積這里的關鍵是無須求出半徑是多少，直接帶入r2的值即可。B 題的解決，需要的認知經驗學生都已具備，但在問題情境中需要喚醒學生的經驗，激活學生的思維，挑戰后，學生會豁然開朗，領悟蘊含在其中的轉化、分解等數學方法，增強整體思維的意識。

又如，劉德武老師設計的一道題目——

小剛比小麗快一些，小強比小麗慢一些，小亮比小麗快很多。

哪個圖是正確的？小麗跑第幾呢？

劉老師將“快一些、慢一些、快很多、第幾”融合在問題情境中，學生通過觀察兩幅圖中四個人不同的位置關系，確定標準量，分析標準量與比較量之間的關系推測結論，從而培養提升對比性觀察和選擇性思考的能力。

在數學中，同一對象常常有不同的表達形式。圍繞深度理解設計習題，旨在通過洞察、闡明、解釋、應用，從同一對象不同表達形式及其之間的聯系，使學生深刻把握數學對象的本質特征，提升分析問題和解決問題的能力。

圍繞深度理解設計習題，可以從以下幾點展開：

一是設計要求舉例的習題。學生根據數學規則、數學公式舉出恰當的例子，有正例有反例，可以看出學生是否真正理解規則與公式的內涵。

二是設計找相同與不同的習題。讓學生在看起來無關的兩個或幾個概念間找到內在聯系，在看起來相似的幾個概念間找出不同，進而認識數學對象的本質屬性。

三是設計解釋概念的習題。當學生用個性化的方式表征概念，用自己的方式重述概念時，會自覺遷移，主動尋找知識之間、知識與情境之間的聯系，從而觸及數學的本質。

二、形式多樣，圍繞思維過程設計

理性思維是一種建立在證據和邏輯推理基礎上的思維方式，是指對事物或問題進行觀察、比較、分析、綜合、抽象與概括的思維。學生做的習題多，并不代表思維水平會得到提高，而是要看學生做的什么習題，解題的思維過程是怎樣的。這就需要教師設計不同類型的習題，讓學生用圖表、符號、文字暴露思維過程，再對思維過程進行分析、評價，引導學生學會思考。

【A 題】在○里填上“＞”“＜”或“=”。

843×6○643×8

【B 題】在○里填上“＞”“＜”或“=”，并寫一寫或畫一畫，讓大家明白你是怎么想的。

843×6 ○ 643×8

比較兩題，A 題只需要填出比較結果，B 題不僅要寫出結果，還需要寫出思考過程?？催@三名學生的解題過程，雖然判斷的結果一樣，但學生的思維水平卻不在同一層次。生1是通過計算得出來，生2是將三位數進行拆分，通過圖式表達先找到相同部分，再比較不同部分的乘積，生3是組塊思維，根據數的特點，將三位數拆成百位和兩位數的組合，簡化了比較的過程，邏輯關系清晰。根據學生的表達過程，教師可以準確了解學生的思維狀態，知道自己教學中存在的問題，從而確定干預路徑，提升課堂教學效益。

圍繞思維過程設計習題，重點要關注思維過程，形式并不拘泥，可以多樣。在設計和運用的過程中，有兩點需要注意：

一是用題組的方式推進學生的思維過程。題組的設計往往是拾階而上的。先是基礎題，學生應用基本關系和定理能夠解決；然后是變式題，在第一題基礎上改變情境、變換數量關系表達，但基本關系和定理不變；再是拓展題，增加情境的復雜程度，或者將問題拓寬到其他領域。有層次地呈現習題，便于學生由淺入深、由表及里逐漸領悟思維的路徑與方法，積累可影響思維方式的解題經驗。

二是指導學生用數學的方式表達思維過程。數學方式的表達，不僅僅包括借助的素材，如符號、圖形、文字等，更為重要的，還需要強調表達的條理性與規范性。教師可以在習題中引導學生明確需要表達什么內容、如何表達，如要求畫出現象背后隱藏的數學規律、寫出發現的數量之間的關系、講出自己這樣做的道理等。

三、豐盈情境，圍繞思維品質設計

情境是提出問題的前提和基礎，問題是情境的核心和本質。理性思維屬于高階思維。高階思維具有社會性，內嵌在隱藏數學問題的社會情境中，存在于思維的整個循環運動過程中。

【A 題】求知書店五一期間圖書大促銷，《雪地尋蹤》一書的優惠情況如下：

購買套數單價（元）不足10 套22 10～29 套20 30～50 套18 50 套以上15

四（1）班13 人打算購買，四（2）班15 人打算購買。

①每個班分別購買，要花多少元？

②如果四（1）班、四（2）班合起來購買，一共需要多少元？

【B 題】求知書店五一期間圖書大促銷，《雪地尋蹤》一書的優惠情況如下：

購買套數單價（元）不足10 套22 10～29 套20 30～50 套18 50 套以上15

四（1）班13人打算購買，四（2）班15人打算購買。

①如果四（1）班和四（2）班合起來購買，一共要花多少元？

②如果四（1）班、四（2）班、四（3）班合起來購買，一共要花990 元。你知道四（3）班有多少人打算購買這本書嗎？

比較兩題，同樣是購書的情境，A 題第一問，學生根據數量關系“總價=單價×數量”即可解決，第二問需要將人數合起來，看總人數對應的單價，確定單價后再計算，基本的數量關系未變，隱藏在購書情境中，學生只需要根據單價與數量的對應關系篩選信息，但并未給學生帶來挑戰，情境的作用還未充分發揮。B 題的第一問相當于A題的第二問。在解決B 題第二問時，由于知道了總價是990 元，人數不確定，學生會用總價除以單價得到套數（一套對應一人），由于數據的巧合，可以用990÷18-（13+15）=27（人），也可以用990÷15-（13+15）=38（人），這兩個結果哪個合理？還是都可以存在？這時學生就需要進行思辨，單價是18 元時，總套數是 55 套，與 50 套以上單價 15 元沖突，可以確定990 元購買的單價是15 元，共購買66 套。問題的調整，學生計算出的信息需要根據情境進行選擇，情境中呈現出的信息就有了價值，當學生根據信息進行思辨、斟酌時，也是理性思維孕育的過程。

好的情境，是指蘊含著數學問題、為了揭示數學內容本質的載體。這樣的情境需要教師自己去尋找和創造，如在個人情境、職業情境、教育情境、公共情境、科學情境中挖掘素材、提煉問題，讓學生用數學的眼光觀察、用數學的方式分析，在解決問題的過程中學會思考。豐富的情境能夠讓學生面對習題時，學會去粗取精、去偽存真，對問題本身進行重新理解，打破刷題的慣性，靜下心來思考問題，在解決真實問題的過程中提升思維品質。

理性思維屬于科學思維的一種，數學學習本質上是科學研究的過程，學生在這個過程中理解數學本質，領會數學思想方法。教師應充分認識到習題設計對于理性思維培育的價值，并有意識地在習題中滲透數學思想方法、訓練學生的思維方式、提升思維品質，從而使他們在面對一個問題無從下手或只是感性判斷時，能嘗試探索、理性分析、創造性思考，而不是人云亦云。