基于等周定理的探究及其應(yīng)用

龍媛

摘要：等周定理在數(shù)學(xué)發(fā)展史上占有重要地位，是一個(gè)古典幾何問(wèn)題，本論文主要從笛卡爾的論證，等周定理的發(fā)現(xiàn)、內(nèi)容、證明方法，在數(shù)學(xué)幾何證明中的推廣及在實(shí)際生活中的應(yīng)用。發(fā)現(xiàn)等周定理主要通過(guò)三種方法：觀察法、泡沫實(shí)驗(yàn)法和笛卡爾的數(shù)據(jù)驗(yàn)證;等周定理的內(nèi)容主要有兩種表述：第一種表述形式，在周長(zhǎng)一定的所有封閉平面曲線(xiàn)中，圓所圍的面積最大;第二種表述形式，在面積一定的所有封閉平面曲線(xiàn)中，圓所圍的周長(zhǎng)最小。

關(guān)鍵詞：等周定理;海角問(wèn)題;紀(jì)塔娜問(wèn)題

中圖分類(lèi)號(hào)：G4 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

1.等周定理

1.1等周定理的發(fā)現(xiàn)

1.1.1笛卡爾的論證

實(shí)際上十六世紀(jì)以前，還沒(méi)有任何數(shù)學(xué)家真正證明等周定理，但有意思的是，沒(méi)有任何數(shù)學(xué)家以及其他科學(xué)家懷疑過(guò)它的正確性，而且只要在需要的時(shí)候就毫不遲疑地使用它，同時(shí)期這幫人的舉動(dòng)，我們可通過(guò)笛卡爾的話(huà)得到理解，在《思想的法則》一書(shū)里，笛卡爾談到“為了用列舉法證明圓的周長(zhǎng)比任何具有相問(wèn)面積的其它圖形的周長(zhǎng)都小，我們不必全部考察所有可能的圖形，只需對(duì)幾個(gè)特殊的圖形進(jìn)行證明，結(jié)合運(yùn)用歸納法，就可以得到與對(duì)所有其它圖形都進(jìn)行證明得出的同樣結(jié)論”。

1.1.2現(xiàn)象

向日葵的子盤(pán)，千萬(wàn)種美麗的花朵，水管等管道都是接近于圓形的，大自然如此偏愛(ài)圓

形，這是為什么呢？

寒夜，一只貓鉆進(jìn)干草垛，把自己的身體盡可能蜷伏成球形，這是為什么呢？

如果你懂得一些物理知識(shí)，就會(huì)用表面張力予以解釋。再看看人或哺乳動(dòng)物，頭蓋骨都近于球形。

面積這些自然現(xiàn)象，容易使人們想到表面積和體積。當(dāng)體積一定時(shí)，球的表面積最小嗎？同樣地，當(dāng)表面積一定時(shí)，球的體積最大嗎？

大自然也偏愛(ài)圓形，當(dāng)我們用柔軟的細(xì)繩捆一束細(xì)桿時(shí)，這捆細(xì)桿總是近于圓形。

1.2等周定理的內(nèi)容

等周定理的內(nèi)容：

第一種表述形式：在周長(zhǎng)一定的所有封閉平面曲線(xiàn)中，圓所圍的面積最大。

第二種表述形式：在面積一定的所有封閉平面曲線(xiàn)中，圓所圍的周長(zhǎng)最小。

1.3等周定理的證明

以下是施坦納提出的一種方法。

證明：設(shè)K是周長(zhǎng)一定而面積最大的圖形，只要證K是一個(gè)圓即可。以下三步完成。

第一步：用反證法證明K是凸多邊形。若K是一個(gè)凹圖形，那就一定可以在它上面找到兩點(diǎn)A，B，其連線(xiàn)落在圖形K的外部。以AB為軸，把曲線(xiàn)AmB對(duì)稱(chēng)到另一側(cè)，稱(chēng)為曲線(xiàn)Am/M. 圖形AmBC與圖形A m/BC的周長(zhǎng)相等，而后者面積更大，這與K有最大面積矛盾。故K只能是凸圖形。

第二步：用反證法證明平分K的周長(zhǎng)的弦也一定平分其面積。設(shè)凸圖形K有最大面積，AB平分它的周長(zhǎng)，且弦AB把K分成兩部分，。若，不妨設(shè)>，以AB為軸把ACB對(duì)稱(chēng)到另一側(cè)AC/B處，則周長(zhǎng)ACBC/A等于K的周長(zhǎng)，但面積ACBC/A>K的面積，這與K有最大面積矛盾。所以，平分K的周長(zhǎng)的弦也一定平分其面積。

第三步：證明平分周長(zhǎng)、面積的弦是直徑，從而K為圓。

用反證法。設(shè)AB平分K的周長(zhǎng)和面積，在K地邊界上任取一點(diǎn)C，只需證ACB為半圓。若不然， ACB，將下圖1-5中的，剪下來(lái)，貼成另一個(gè)圖形，其中A/C/=AC，B/C/=BC， A/C/ B/=。這兩個(gè)圖形中，曲線(xiàn)ACB的長(zhǎng)等于曲線(xiàn)A/C/ B/的長(zhǎng)，但后者面積較大，與K有最大面積矛盾。故ACB為半圓，從而K使圓。

于是，證得了等周定理：在所有等周的平面封閉圖形中，以圓的面積為最大。

2.等周定理的推廣

2.1等周定理的推廣（一）

周長(zhǎng)相等的多邊形中，正多邊形的面積最大。

證明：在所有周長(zhǎng)相等的圖形中，正多邊形與圓形最接近，由等周定理的第一種表述知，正多邊形的面積最大。

因此，周長(zhǎng)相等的多邊形中，正多邊形的面積最大。

2.2等周定理的推廣（二）

周長(zhǎng)相等的正多邊形中，邊數(shù)越多，其面積越大。

證明：在周長(zhǎng)相等的正多邊形中，邊數(shù)越多，這個(gè)正多邊形就越接近與圓，由等周定理的第一種表述知，其面積越大。

因此，周長(zhǎng)相等的正多邊形中，邊數(shù)越多，其面積越大。

2.3等周定理的推廣（三）

圓的面積比同樣周長(zhǎng)的正多邊形面積大。

證明：在周長(zhǎng)相等時(shí)，由等周定理的第一中表述知，圓的面積比正多邊形的面積大。

因此，圓的面積比同樣周長(zhǎng)的正多邊形面積大。

3.等周定理的應(yīng)用

3.1紀(jì)塔娜問(wèn)題

紀(jì)塔娜是神話(huà)中的人物，傳說(shuō)古代非洲北部沿海地區(qū)某部落酋長(zhǎng)曾答應(yīng)給紀(jì)塔娜一塊“用灰鼠皮能包住”的土地。一塊灰鼠皮能?chē)啻蟮耐恋啬兀柯斆鞫利惖募o(jì)塔娜想出一個(gè)巧妙地辦法。她把灰鼠皮很細(xì)很細(xì)的線(xiàn)，再把這些線(xiàn)結(jié)成一條長(zhǎng)帶，用這條長(zhǎng)帶在海岸邊劃出了一塊意想不到的、非常大的土地這塊土地是一個(gè)半圓，海岸線(xiàn)（近似地看成直線(xiàn)）的一段是它的直徑。試證：紀(jì)塔娜所圍成的半圓形土地面積最大。

3.2海角問(wèn)題

將紀(jì)塔娜問(wèn)題稍作推廣，改為“在一個(gè)半島”（假定半島由一個(gè)角構(gòu)成，即所謂“海角”），那么問(wèn)題變?yōu)椋航o定一個(gè)角，求已知長(zhǎng)度的一條線(xiàn)和角的兩邊所圍出的最大面積，即已知角（海角）為YMX，線(xiàn)長(zhǎng)為L(zhǎng)，要求曲邊三角形XMY面積達(dá)到最大時(shí)，X，Y的位置和曲線(xiàn)XY的形狀應(yīng)是怎樣的？

先來(lái)看幾個(gè)特殊情形。若M=180o，則回到紀(jì)塔娜的原問(wèn)題。又如M=90o，仍可用鏡面反射來(lái)求解：首先關(guān)于一邊，然后再關(guān)于另一邊作鏡面反射，這時(shí)，曲線(xiàn)連同它的鏡像一起，構(gòu)成了長(zhǎng)為4L的封閉曲線(xiàn)。要想求出它圍出的最大面積，按等周定理，要求的圖形自然是圓。這個(gè)圓有兩條給定的對(duì)稱(chēng)軸XY/和Y Y/，中心在兩軸的交點(diǎn)M處，兩軸把圓面積和圓周同時(shí)分成四等分。因此，原問(wèn)題的解就是象限角形：中心在已知角頂點(diǎn)的圓的1/4。

4.用等周定理解釋實(shí)際生活中的現(xiàn)象

寒夜，一只貓鉆進(jìn)干草垛，把自己的身體盡可能蜷伏成球形，由等周定理的推廣知，表面積相等的所有立體圖形中，以球的體積最大，它是為了減少散熱面積，以保持自己體溫。 人在冬天天冷的時(shí)候，會(huì)把自己的身體盡可能蜷伏成球形，也是這個(gè)原因。

參考文獻(xiàn)

[1]張江華. 等周定理證明史[J]. 廣西民族大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版， 1995（1）：111-116.

[2]王三寶. 等周定理及其應(yīng)用[J]. 數(shù)學(xué)通訊， 1998（7）.

[3]魏明志. 從皇后紀(jì)塔娜圍地談?wù)?等周問(wèn)題"[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)， 2007， 000（005）：13-16.